第9章常微分方程 9.1常微分方程的基本概念 9.2可分离变量的微分方程 9.3一阶微分方程与可降阶 的高阶微分方程 9.4二阶常系数微分方程 9.5常微分方程的应用举例 结束
9.1 常微分方程的基本概念 9.2 可分离变量的微分方程 9.3 一阶微分方程与可降阶 的高阶微分方程 9.4 二阶常系数微分方程 9.5 常微分方程的应用举例 第9章 常微分方程 结束
9.1常微分方程的基本概念 定义一 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶 无法示图片 一阶微分方程的一般形式是F(x,Jy,y)=0 二阶微分方程的一般形式是F(x,y',y")=0 前页后页结来
前页 后页 结束 含有未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。 定义一 9.1 常微分方程的基本概念 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程 定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶 一阶微分方程的一般形式是 二阶微分方程的一般形式是 F(x, y, y ) = 0 F(x, y, y , y ) = 0
注：在微分方程中，未知函数及自变 量可以不出现 例： +ay2=bx是一阶微分方程 d'y. +a +bx=x是二阶微分方程 d 前贡后页结束
前页 后页 结束 是二阶微分方程 d d d d bx x x y a x y + + = 2 2 注：在微分方程中，未知函数及自变 量可以不出现 是一阶微分方程 d d ay bx x y + = 2 2 例：
定义3能使微分方程成为恒等式的函数y=p(x) 叫做微分方程的解. 其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的 积分曲线 例如，y=e2是方程y'-2y=0的一个解. 我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原 函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个 解 前页后页结束
前页 后页 结束 定义3 能使微分方程成为恒等式的函数 y = (x) 叫做微分方程的解． 其图形是一条平面曲线，称之为微分方程的 积分曲线． 例如， x y e 2 = 是方程 y − 2y = 0 的一个解． 我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原 函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个 解．
例1已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)， 且在该曲线上任一点p(x,y处的切线斜率 等于该点的纵坐标的平方，求此曲线方程 解设所求曲线的方程为y与yx), 根据导数的几何意义及本题给出的条件，得 y=y2即 dy d 1 积分得x=-二+C V 又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得C= 3 2 31 故所求曲线的方程为x= 前页后页结求
前页 后页 结束 2 y = y 等于该点的纵坐标的平方，求此曲线方程． 例1 已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)， 且在该曲线上任一点 p(x, y) 处的切线斜率 解 设所求曲线的方程为y=y(x)， 根据导数的几何意义及本题给出的条件，得 2 y x y = d d 即 C y x = − + 1 积分得 又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得 2 3 C = 故所求曲线的方程为 y x 1 2 3 = −