第七节正定二次型 线性代教
第七节 正定二次型
惯性定理 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质
一、惯性定理 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
定理1（惯性定理设有实二次型=xTx,它的秩 为r,有两个实的可逆变换 x=Cy及 x=Pa 使f=k1y+k2y吃+.+ky (k≠0) 及f=z+22z2+.+九，z (2,≠0) 则k1,k,中正数的个数与几1，.，几，中正数的个数 相等
( ) ( ) . , , , , 0 , 0 , , 1( ) , 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 相 等 则 中正数的个数与 中正数的个数 及 使 及 为 有两个实的可逆变换 定 理 惯性定理 设有实二次型 它的秩 r r r r i r r i T k k f z z z f k y k y k y k x Cy x Pz r f x Ax = + + + = + + + = = =
二次型的标准型重系数的个数为 二次型的征惯性指数， 负系数的个数为负惯性指数。 我们只讨征惯性指妫n 或负惯性指数n的n元二次型 我们有下面负定的概念 二、正（负）定二次型的概念 定义1设有实二次型f(x)=xA比， 如果对任何≠0，都有f(x)>0
二次型的标准型中正系数的个数称为 二次型的正惯性指数， 负系数的个数称为负惯性指数。 我们只讨论正惯性指数为n 或负惯性指数为n的n元二次型。 我们有下面正(负)定的概念。 二、正(负)定二次型的概念 定义1 f (x) x Ax, T 设有实二次型 = 如果对任何x 0,都有f (x) 0
显然f0)=0),则称为正定二次秀 并称对称矩阵4是正定的 如果对任何≠0都有f(x)<0, 则称为负定二次骈称对称矩形 是负定的 例如 f=x2+4y2+16z2为正定二次型 f=-x-3x3 为负定二次型 对于比较复杂的二次如何判定呢？ 我们有下面的判断方法
(显然 f (0 ) = 0 ), 则 称f为正定二次型, 并称对称矩阵A是正定的; 如果对任何x 0都 有f ( x ) 0 , 则 称f为负定二次型,并称对称矩阵A 是负定的. 例如 2 2 2 f = x + 4 y + 16 z 为正定二次型 22 2 f = − x 1 − 3 x 为负定二次型 对于比较复杂的二次型如何判定呢？ 我们有下面的判断方法