西华大学：《流体力学》课程教学资源（PPT课件）第三章 一元流体动力学

83.3流体微团运动分析 流体微团速度分析公式 刚体的一般运动可以分解为平移和转动之和。流体运动除 了平移和转动之外,还有变形运动。 如图,流体微团内M(x,y,z)点处的瞬时速度为v(x,y,z,t) 则M点领域内M(x+dx,y+d,z+d)处的同一瞬时的速度为 v(x+dx,y+dy, Z+dz,t),ny M点x方向的速度可表示为 w(x+dx, y+dy, z+dz) Mo(r,y,z dx+xdy+-xdz OX 经配项整理,上式可写成 2021/2/22

2021/2/22 11 §3.3 流体微团运动分析 一、流体微团速度分析公式 刚体的一般运动可以分解为平移和转动之和。流体运动除 了平移和转动之外，还有变形运动。 如图，流体微团内 点处的瞬时速度为 则 点领域内 处的同一瞬时的速度为 ，则 点 方向的速度可表示为 经配项整理，上式可写成 M (x y z) 0 ， ， M0 v (x +dx，y+dy，z +dz，t) v(x，y，z，t) M(x +dx，y +dy，z +dz) M x dz z v dy y v dx x v v v x x x x x   +   +    = +

令 则 dx+E dy +8,dz+o dz-o, dy 同理,v、v可写成 +Edx+Eyy dy Ey dz+o, -o,d V,=V+E dx +E, dy +E, dz+o dy-o,dx 上式是流体微团的速度分解公式,也称亥姆霍兹速度 分解定理。右边第一项为平移速度,第二、三项为旋转和 变形引起的速度增量。 2021/2/22

2021/2/22 12 令 则 同理， 可写成 上式是流体微团的速度分解公式，也称亥姆霍兹速度 分解定理。右边第一项为平移速度，第二、三项为旋转和 变形引起的速度增量。           −    =        −   =         +   =           +   =   = y v x v 2 1 x v z v 2 1 x v z v 2 1 x v y v 2 1 x v y x z x z y x z xz x y xy x xx      、 、 、 dy y v x v 2 1 dz x v z v 2 1 dz x v z v 2 1 dy x v y v 2 1 dx x v v v x x y x z x z y x x x           −    −        −    +        +   +           +   +    = + vy vz  、  v  x = vx + xx dx + xy dy + xzdz +y dz −z dy v v dx dy dz dx dz y y yx yy yz z x  = + + + + − v v dx dy dz dy dx z z zx zy zz x y  = + + + + −

其中,5、5yE为相对线变形速度,、B3Ey2、E、Ex、E 为纯剪变形角速度,O、O、O2为旋转角速度矢量,并且 OZ Z 又=0i+O,j+2 当o≠0时,流动为有旋运动 当=0时,为无旋运动也称有势流动。 2021/2/22

2021/2/22 13 其中， 为相对线变形速度， 为纯剪变形角速度， 为旋转角速度矢量，并且 又 当 时，流动为有旋运动； 当 时，为无旋运动也称有势流动。 xy yx yz zy xz zx  、 、 、 、 、            =   =   = z v y v x v z zz y yy x xx    x、y、z   0  v 2 1 i j k x y z       = + + =                       −   =         −   =           −   = y v x v 2 1 x v z v 2 1 z v y v 2 1 y x z x z y z y x                       +   = =           +   = =           +   = = z v x v 2 1 y v z v 2 1 x v y v 2 1 z x zx xz y z yz zy x y xy yx       xx yy zz  、 、  = 0 

二、速度分解的物理意义 这里以流体微团平面运动为例,深入了解亥姆霍兹定理 的内容。如图,流体微团在初始时刻t为矩形ABCD,在tdt 时刻运动至ABCD位置并变形成为A"BCD设A点速度的 两个分量为、V、,C点的速度可化简为 V=V.+￡.dx+Ed xy uy-o dy V+E、dx+E.dy+Odx 将流体的运动过程分解为平移 线变形、旋转和纯剪变形运动 1、平移运动 C 平移表现在由A点到A点的位移 2021/2/22

2021/2/22 14 二、速度分解的物理意义 这里以流体微团平面运动为例，深入了解亥姆霍兹定理 的内容。如图，流体微团在初始时刻t为矩形ABCD，在t+dt 时刻运动至 位置并变形成为 。设A点速度的 两个分量为 ，C点的速度可化简为 将流体的运动过程分解为平移、 线变形、旋转和纯剪变形运动。 1、平移运动 平移表现在由A点到A'点的位移。 ABCD      = + + +  = + + − v v dx dy dx v v dx dy dy y y yx yy z x x xx xy z       vx 、vy ABCD

如果E=E=E=O=0,经过d时间后,矩形微团 ABCD平移到ABCD位置,微团形状不变。v、V称为流 体微团的平移速度,如图a所示 d uyd drd D d) 2021/2/22

2021/2/22 15 如果 ，经过dt时间后，矩形微团 ABCD平移到 位置，微团形状不变。 称为流 体微团的平移速度，如图a所示。 x y ABCD v 、v  xx =  yy =  xy =z = 0