第七章粘性流体 动力学基础 在研究粘性系数较小的流体在流速不大的 情况下,可以近似地看成是理想流体流动,用 前面讲的欧拉运动微分方程以及第六章理想流 体的势流理论来讨论。但若流体的粘性影响不 可忽略时,就不能用上述理论,要采取其他的 方法,也就是本章将讲述的内容
第七章 粘性流体 动力学基础 在研究粘性系数较小的流体在流速不大的 情况下，可以近似地看成是理想流体流动，用 前面讲的欧拉运动微分方程以及第六章理想流 体的势流理论来讨论。但若流体的粘性影响不 可忽略时，就不能用上述理论，要采取其他的 方法，也就是本章将讲述的内容
第一节纳维尔-斯托克斯 方程 粘性流体中的应力 粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑。 在粘性流体表面上任取一点N,过N作微元面积△A 其外法线方向矢量为n,切线方向为,N点的表面应力 分为法向应力p和切向应力τ,pn和τ随微元面积A在空 间的位置而变化。在直角坐标系中将p和沿x,y 个坐标轴分解成9个应力分量,即(nrn (注意:应力符号中的下标,下标第一个字母表示作用面的法线方 向,第二个字母表示应力作用线的指向。) 在这9个分量中,rn=rm, a,=r2,因此只 有6个独立分量
第一节 纳维尔-斯托克斯 方 程 一 粘性流体中的应力 粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑。 在粘性流体表面上任取一点N，过N作微元面积ΔA， 其外法线方向矢量为 ，切线方向为 ，N点的表面应力 分为法向应力pn和切向应力τ， pn和τ随微元面积ΔA在空 间的位置而变化。在直角坐标系中将pn和τ沿x，y，z三 个坐标轴分解成9个应力分量，即 。 （注意：应力符号中的下标，下标第一个字母表示作用面的法线方 向，第二个字母表示应力作用线的指向。） 在这9个分量中， ， ， ，因此只 有6个独立分量。 n zx xy zz yx yy yz xx xy xz p p p xy yx = xz zx = yz zy =
二粘性流体的运动方程 在粘性流体的任意点A附近,取一棱边平行 于坐标轴的平行六面体微团,其边长分别为dx dy、dz,表面应力在y轴上分量如图 y轴上合力为 )d+d-(n+xd)h(1) +T- dxdy-(T dz )dxdy+ pYdxdydz )dxdydz prdxdydz 流体微园质量与y轴加速度的乘积为 prdxdydz 由牛顿第二定律(1)=(2),化简
二 粘性流体的运动方程 在粘性流体的任意点A附近，取一棱边平行 于坐标轴的平行六面体微团，其边长分别为dx、 dy、dz，表面应力在y轴上分量如图。 y轴上合力为： （1） 流体微团质量与y轴加速度的乘积为 （2） 由牛顿第二定律（1）=（2），化简 dxdydz Ydxdydz y z p x dz dxdy Ydxdydz z dxdy dx dydz x dy dxdz dydz y p p dxdz p xy yy z y z y z y z y xy xy xy yy yy yy + + + = − + + − + + − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) dt dv Ydxdydz y
aT ap a du 对于x、轴同理有 d u (3) dt 方程(3)就是以应力表示的粘性流体运动微分方程,通 常X、Y、Z作为已知量,不可压缩流体P已知,方程应 包含六个应力及三个速度分量,共9个未知数。而方程 (3)加上连续性方程也只有4个方程,无法求解,必须 找出新的补充关系式
对于x、z轴同理有 （3） 方程（3）就是以应力表示的粘性流体运动微分方程，通 常X、Y、Z作为已知量，不可压缩流体 已知，方程应 包含六个应力及三个速度分量，共9个未知数。而方程 （3）加上连续性方程也只有4个方程，无法求解，必须 找出新的补充关系式。 dt dv y z p x Y xy yy zy x = + + − ( ) 1 = + + − = + + − dt dv z p x y Z dt dv x y z p X xz yx z z z xx yx z x x ( ) 1 ( ) 1
三应力与变形速度的关系 白牛顿内摩擦定律知,切应力与速度梯度关系为 dn 在层流中取正方形流体微元面积abcd,流层间存在相对 边线的转角为0=k轻时间d后变成abcd,ab 速度,在运动中必然变形 那么角变形速度为 牛顿内摩擦定律也可以写成x=d v+dv d
三 应力与变形速度的关系 由牛顿内摩擦定律知，切应力与速度梯度关系为 （4） 在层流中取正方形流体微元面积abcd，流层间存在相对 速度，在运动中必然变形，经时间dt后变成a ’b ’ c ’d ’ ，ab 边线的转角为 ， ，那么角变形速度为 ，牛顿内摩擦定律也可以写成 dn dv = − d dn dvdt d = tgd = dn dv dt d = dt d = −