目 录 第一章数学基础.1 3.5参数曲线 139 1.1微积分内容回顾 .2 习题3.5. .143 习题1.1.12 3.6方法和软件综述 144 1.2舍人误差和计算机算术.15 第四章 数值微分与积分 .146 习题1.2. .23 4.1数值微分. .146 1.3算法和收敛性.27 习题4.1. .154 习题1.3. 33 4.2 Richardson外推法.157 1.4数值软件 .35 习题4.2. 162 第二章一元方程的求解 4.3数值积分基础 44164 2.1二分法. 习题4.3. ,171 习题2.1. 4,4复合数值积分 .173 2.2不动点选代· A 习题4.4.t.++04*444444179 习题2.2. 56 4.5 Romberg积分.182 习题4.5.186 2.3 Newton法代法 .58 习题2.3.65 4.6自适应求积方法 188 习题4.6. 194 2.4选代法的误差分析 69 4.7 Gauss求积 195 习题2.4 15 习题4.7* 200 2.5加速收敛. 4.8多重积分 201 习题2.5 习题48 212 2.6多项式的零点和M阳ller法. 81 4.9广义积分. 213 习题2.6 习题4.9. .217 2.7方法和软件综述. 4.10方法和软件综述.218 第三章插值和多项式逼近 .92 第五章常微分方程的初值问题 221 3.1插值和Lagrange多项式.94 5.1初值问题的基本理论 222 习题3.1.105 226 3.2差商. 108 5.2Eer法.227 习题3.2. .115 习题5.2.233 3.3 Hermite插值. 118 5.3高阶Taylor方法 235 习题3.3. 123 习题5.34.*.*44 240 3.4三次样条插值1 125 5.4 Runge-Kutta方法 241 习题3.4. 135 习题5.4. 248
5.5误差控制和Runge-Kutta-Fehlberg 习题7.4 .412 方法 250 7.5共轭梯度法 .415 习题5.5. 习题7.5. 426 5.6多步法 257 7.6 方法和软件综述 429 习题5.6. 。 .266 第八章 逼近论. 431 5.7变步长的多步法 8.1离散最小二乘词近. 432 习颗57 272 习题8.1 440 5.8外推法.，. 273 8.2正交多项式和最小二乘通近 444 习题5.8 278 习题8.2.t. 451 5.9高阶方程和微分方程组 278 8.3 Chebyshev多项式和幂级数的缩减 452 习题5.9 287 习题8.3 460 5.10稳定性 288 8.4有理函数通近. 461 习题5.10 296 习题8.4 471 5.11刚性微分方程 297 8.5 三角多项式通近 472 习题5.11. 303 习题8.5 478 5.12方法和软件综述. 304 8.6快速Fourier变换 479 第六章解线性方程组的直接法 306 习题8.6. 488 6.1线性方程组. 4307 8.7方法和软件擦述 习题6.1 316 第九章 逼近特征值. .490 6.2选主元策略 .320 9.1线性代数和特征值 490 习题6.2. 327 习题9.1 496 6.3线性代数和矩阵求逆 32 498 习题6.3. 337 习题9.2. 510 6.4矩阵的行列式 341 9.3 Householder法 514 习题6,4. .344 习题9.3. 521 6.5矩阵分解 346 9.4QR算法. 521 习题6.5. 353 习题9.4. ·530 6.6特殊类型的矩阵. 355 9.5方法和软件综述 533 习题6.6“ .366 第十章 非线性方程组的数值解 535 6.7方法和软件综述 369 10.1多变量函数的不动点.536 第七章矩阵代数中的迭代方法 373 习题10.1. ·542 7.1向量和矩阵范数 374 10.2 Newton方法 544 习题7,1. .382 习题10.2 7.2特征值与特征向量 384 10.3拟Newton方法 .552 习题7.2. 38g 习题10.3. 558 7.3求解线性方程组的迭代法 390 10.4最速下降技术. 539 习题7.3. 402 习题10.4. 564 7.4误差界和选代改进 406 10.5同伦和延拓法 565
目 录 习题10.5.572 12.2抛物型偏微分方程 629 10.6方法和软件综述.573 习题12.2.639 第十一章常微分方程的边值问题 .575 12.3双曲型偏徽分方程 642 11.1线性打把法. .576 习颗12.3.+.4 647 习题11.1.581 12.4有限元方法简介 649 11.2非线性问题的打配法 582 习题12.4. 660 习题11.2. .588 12.5方法和软件综述 662 11.3线性问题的有限差分法 589 部分习题答案 664 习题11.3. .594 英汉对限表.758 11.4 非线性问题的有限差分法 596 参考文献 .796 习题11.4 601 算法索引. 806 11.5 Rayleigh-Ritz方法 .601 符号注释表.808 习题11.5 .615 11.6方法和软件综述.616 三角学 810 第十二章偏微分方程的数值解 常用级数 .618 811 12.1椭圆型偏微分方程. .620 希腊字母表 812 习题12.1.627
第一章数学基础 在开始学习化学课程时，我们见到过理想气体定律； PV=NRT 这个方程表示了“理想”气体的压力P、体积V、温度T和摩尔数N的关系。其中，R是一个依 赖于测量系统的常量。 假定为了验证这个定律进行两个实验，在每个实验中都使用同样的气体。在第一个实验中： P=1.00atm, V=0.100m N=0.00420mol,R=0.08206 根据理想气体定律，气体的温度应是 T-微=0.040×082620.15K=17C 1.00×0.100 当人们测量气体温度时，会发现其真正温度是15℃。 图1.0 使用同样的R值和N值重复这个实验，但是把压力增加2倍同时把体积减小亏倍。因为乘 积PV不变，所以根据上面的公式计算出的温度仍是17℃，但是可以发现气体的实际温度现在 是19℃。 显然，理想气体定律值得怀疑，但是在得出理想气体定律在这种情况下不适用的结论之前， 应该检查一下数据，看一看实验结果是否是由于误差造成的。如果是由于误差造成的，或许能决 定实验结果需要精确到何种程度才能保证这个幅度的误差不再发生。 计算中所涉及的误差分析是数值分析中的一个重要问题，对此在1.2节予以介绍。在1.2节
2 第一章数学基础 的习题28中讨论了这个问题的一个特殊应用。 本章含有对其后各章要用到的初等一元函数微积分中的一些内容的简要回顾，还包括对于 收敛性、误差分析和数的机器表示的介细。 1.1微积分内容回顾 函数极限和连续性的概念是学习微积分的基础。 定义1.1定义在实数集X上的函数∫在点x。具有极限L,记为 imf ()=L 如果对任意给定的实数e>0,存在一个实数8>0，当x∈X且0<x一x。|<6时，就有 |f(x)-L|<e成立。（见图1.1.） ■ 0-060十0 图1.1 定义1.2设∫是定义在实数集X上的函数且x。∈X。如果 limf(z)=f() 则称f在点x。是连续的。函数∫称为在集合X上连续，如果它在集合X上的每一点都是连 续的。 ■ C(X)表示在X上连续的所有函数的集合。当X是实数轴上的一个区间时，记号中的括号 通常省略。例如，在闭区间[a,b]上连续的所有函数的集合记为C[a,b]。 实数或复数数列的极限可以类似地定义。 定义1.3设{x,}”,是实数或复数的一个无穷数列。称数列{x,}1具有极限x(或称收 敛于x),如果对任意e>0,存在一个正整数N(e),当n>N(e)时，就有|x,-x「<e成立。 记号 limx,=x,或x,→x当n→oo时 意思是数列{x,收敛于x。 ■