第十一章电流的磁场 §11-1基本磁现象 §11-2磁场磁感应强度 一、磁场 时地场时 )电流 电流←→磁场→电流 实验和近代物理证明所有这些磁现象都起源于运动电荷在其周围产生的磁场，磁场 给场中运动电荷以作用力（变化电荷还在其周围激发磁场）。 1)作为磁场的普遍定义不宜笼统定义为传递运动电荷之间相互作用的物理场。电磁 场是物质运动的一种存在形式。 2)磁场相互作用不一定都满足牛顿第三定律。 二、 磁感应强度 实验发现： ①磁场中运动电荷受力与有关但F⊥)： ②当F=0时，的方向即B的方向（或反方向）： ③当LB时，户=户： ④F与m无关，户=gp×B。 描述磁场中一点性质（强弱和方向）的物理量，为一矢量。由 户=q心×B(B的单位：特斯拉) 为由场点唯一确定的矢量（与运动电荷无关）。B大小： B=Fmn ,(上B时)方向由上式所决定。 三、磁通量 1.磁力线 磁场是无源涡旋场 2.磁通量(B通量) Φm=Bcosads=Bndk=B●ds
第十一章 电流的磁场 §11-1 基本磁现象 §11-2 磁场 磁感应强度 一、 磁场 电流 磁铁 磁场 电流 磁铁 电流 磁场 电流 实验和近代物理证明所有这些磁现象都起源于运动电荷在其周围产生的磁场，磁场 给场中运动电荷以作用力（变化电荷还在其周围激发磁场）。 1)作为磁场的普遍定义不宜笼统定义为传递运动电荷之间相互作用的物理场。电磁 场是物质运动的一种存在形式。 2)磁场相互作用不一定都满足牛顿第三定律。 二、 磁感应强度 实验发现： ①磁场中运动电荷受力与 v ˆ 有关但 F v ˆ ˆ ⊥ ； ②当 0 F ˆ = 时， v ˆ 的方向即 B ˆ 的方向（或反方向）； ③当 v B ˆ ˆ ⊥ 时， max F ˆ = F ˆ ； ④ qv Fmax 与 qv 无关， F qv B ˆ ˆ ˆ = 。 描述磁场中一点性质（强弱和方向）的物理量，为一矢量。由 F qv B ˆ ˆ ˆ = （ B ˆ 的单位：特斯拉） 为由场点唯一确定的矢量（与运动电荷无关）。 B ˆ 大小： qv F B max = （ v B ˆ ˆ ⊥ 时）方向由上式所决定。 三、 磁通量 1. 磁力线 磁场是无源涡旋场 2. 磁通量（ B ˆ 通量） d B ds B ds B ds m n ˆ ˆ = cos = = •
Φn=∫dmn=∫Bs=∫Bcosads 巾n=∫B店 (单位：韦伯(wb)) 3.磁场的高斯定理 由磁力线的性质 fDds=∑g fB5=0 (fE=Σ9) §11-3比奥一萨伐尔定律 一、电流元di在空间（真空）某点产生的dB dBldsin(Idi,） r2 3 与电荷场相似，磁场也满足迭加原理 B-di 在国际单位制中(S1制)k=绘=10，真空磁导率，=4x10'Tm1(特米安 adB=L。dix产 4πr3 当有介质时，4=4o4, dB=“dlxr 4πr3 二、运动电荷的磁场（每个运动带电粒子产生的磁场） 设：单位体积内有各带电粒子，每个带电粒子带有电量为q,每个带电粒子均以 v运动，则单位时间内通过截面s的电量为qnvs,即 I=qnvs 代入上式(dl与同向)
= = = s s m d m Bn ds B cosds = • s m B ds ˆ ˆ (单位：韦伯（wb）) 3. 磁场的高斯定理 由磁力线的性质 D • ds ˆ = q ˆ ˆ 0 ˆ • = s B ds ( s • = qi E ds 0 1 ˆ ˆ ) §11-3 比奥—萨伐尔定律 一、 电流元 Idl ˆ 在空间（真空）某点产生的 dB ˆ 2 , ˆ) ˆ sin( r Idl Idl r dB 2 2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r Idl r k r I dl k r r r Idl dB k = = = 与电荷场相似，磁场也满足迭加原理 = = L L r Idl r B dB k 3 ˆ ˆ ˆ ˆ 在国际单位制中（SI 制） 0 7 10 4 − = = k ，真空磁导率 7 0 4 10− = TmA-1（特米安-1） 3 ˆ ˆ 4 ˆ 0 r Idl r dB = 当有介质时， = 0r ， 3 ˆ ˆ 4 ˆ r Idl r dB = 二、 运动电荷的磁场（每个运动带电粒子产生的磁场） 设：单位体积内有 n 各带电粒子，每个带电粒子带有电量为 q，每个带电粒子均以 v 运动，则单位时间内通过截面 s 的电量为 qnvs，即 I = qnvs 代入上式（ Idl ˆ 与 v ˆ 同向）
dB=鱼(qmysdl sin(d) 4π 在电流元内有dN=sdl个带电粒子以速度运动着，由迭加原理，每个带电离子以速度 运动所产生的磁场 B=dB=9Psm(成，) dN r2 B=Ho qixi 4πr3 (可以看成微观意义上的毕奥-萨伐尔定律) 例：一半径为R=1.0cm的无限长半圆柱面导体，沿尺度方向的电流I=5.04在柱面上均 匀分布。试求半圆柱面轴线O0'上的磁感应强度。 解：（目的：典型磁场的迭加计算）设x0y平面垂直于00轴，在圆柱面上引平行于00'z心 轴取一直线电流，宽度为dL,则 dl=IdL (面电流密度) πR dB-UdI=MldLldo 2脉2R-2nR,(dl=0 dB分解为dBx和dB。 2x Rsinato dBx =-dBsin0=Hol 2rR cos@tg dBy =dBcose=Hol 积分 B=如u0=R 2z2Rcs06=-41 π2R 品，=会ca0=会由95=0（可由对称性直接得） 8=Bi+B,7=-i=-637×10-i0 π2R1 三、毕奥萨伐尔定律的应用 1.载流长直导线的磁场 设长为L的直导线，其中电流为I,计算离直导线距离为a的P点的磁感应强度。左
( ) 2 0 sin( ˆ , ˆ) 4 r qnvs dl v r dB = 在电流元内有 dN = nsdl 个带电粒子以速度 v ˆ 运动着，由迭加原理，每个带电离子以速度 v ˆ 运动所产生的磁场 2 sin( ˆ , ˆ) r qv v r dN dB B = = 3 0 ˆ ˆ 4 ˆ r qv r B = （可以看成微观意义上的毕奥-萨伐尔定律） 例：一半径为 R=1.0cm 的无限长半圆柱面导体，沿尺度方向的电流 I=5.0A 在柱面上均 匀分布。试求半圆柱面轴线 OO’上的磁感应强度。 解：（目的：典型磁场的迭加计算）设 xoy 平面垂直于 OO’轴，在圆柱面上引平行于 OO’ze 轴取一直线电流，宽度为 dL，则 dL R I dI = （面电流密度） ,( ) 2 2 2 2 0 2 2 0 0 dl Rd R Id R IdL R dI dB = = = = dB ˆ 分解为 dBx 和 dBy。 = = = − = d R I dB dB d R I dB dB Y X cos 2 cos sin 2 sin 2 0 2 0 积分 R I R I d R I Bx 2 0 2 0 0 0 2 0 cos | 2 sin 2 = − = = − sin | 0 2 cos 2 2 0 0 0 2 0 = = = R I d R I By （可由对称性直接得） ( ) 37 10 ˆ 6. ˆ ˆ ˆ ˆ 5 2 0 i i T R I B B i B j X y − = + = − = − 三、 毕奥-萨伐尔定律的应用 1. 载流长直导线的磁场 设长为 L 的直导线，其中电流为 I,计算离直导线距离为 a 的 P 点的磁感应强度。左
8-B=会m,m 2 →I=+acot(π-a)=-acota dl=ada 而2= a2 sin2a sin2a B(cosa-cosa.) 4πaa Ana 讨论： 若为无限长直导线4=0，%=π →B=4,1 2πa (B与。，I,a以及导线的形状有关) B与距离a的一次方成反比。 2.载流圆线圈轴线上的磁场 设有圆形线圈L,半径为R,通以电流I,计算轴线上P点的磁感应强度，设P点 到线圈圆心O的距离是x。 B=fdBcosa -会成列 对轴上场点P,sn(dl,)=1。 x=rsina -会但m心 4n7咖2 acosafd B=fdBcosa=LoI x2 cosa = a-R fd-2mk R B=4R21 Γ2(R2+x2) 讨论：
= = 2 1 2 1 2 0 sin 4 A A A A r Idl B dB l = +a cot( −) = −a cot 2 sin ad dl = 而 2 2 2 sin a r = (cos cos ) 4 sin 4 1 2 0 0 2 1 = = − a I a I d B 讨论： 若为无限长直导线 1 = 0 ，2 = a I B 2 0 = （B 与 0 ，I，a 以及导线的形状有关） B 与距离 a 的一次方成反比。 2. 载流圆线圈轴线上的磁场 设有圆形线圈 L,半径为 R，通以电流 I，计算轴线上 P 点的磁感应强度，设 P 点 到线圈圆心 O 的距离是 x。 B = dBcos , ˆ) ˆ sin( 4 2 0 dl r r Idl dB = 对轴上场点 P， , ˆ) 1 ˆ sin( dl r = 。 x = rsin 2 2 0 sin 4 x Idl dB = = = dl x I B dB sin cos 4 cos 2 2 0 2 2 2 2 2 2 cos sin R x x R x R + = + = ， dl = 2R 2 1 2 ( ) 2 2 2 0 R x R I B + = 讨论：
①在圆心处，x=0 B=%1 2R ②x>R时， B=4R21 2x3 例：半径为R的薄圆盘上均匀带电，总电量为q。令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线 匀速转动，角速度为0，求轴线上距盘心x处的磁感应强度。 解：（目的：典型的磁场迭加计算）相当于一系列半径不同的同心圆电流产生的磁场的 迭加。圆盘上电荷面密度为。= R,取半径为，宽为dr的圆环。 dg=o·2md dl=dg=o2mdh”=oowd 2π 2π dB=、4r2d 2r+rg2+rxo0=0a” 4r2 22+xh 2hdtomp der') B=toooRr 8b2+x2)为 令：=r2+x2,则r4=(-x2)2,d4=48-x2)dn 当r=0时，入=x 当r=R时，1=(R2+r2)为 8=94-r=4o四R+2 2J1 2R产+g-2x B=49[R2+2r2 2m(2x B的方向：q>0时，o与相同 q<0时，o与相反 3.载流螺线管中的磁场
① 在圆心处, x = 0 R I B 2 0 = ② x R 时， 3 2 0 2x R I B = 例：半径为 R 的薄圆盘上均匀带电，总电量为 q。令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线 匀速转动，角速度为 ，求轴线上距盘心 x 处的磁感应强度。 解：（目的：典型的磁场迭加计算）相当于一系列半径不同的同心圆电流产生的磁场的 迭加。圆盘上电荷面密度为 2 R q = ，取半径为 r，宽为 dr 的圆环。 dq = • 2rdr dI dq rdr rdr = • = • = 2 2 2 dr r x r rdr r x r r x r dI dB 2 3 2 3 2 3 2( ) 2( ) 2 ( ) 2 2 3 0 2 2 2 0 2 2 2 0 + = + = + = + = + = R R r x d r dr r x r B 0 2 2 4 0 0 2 2 3 0 2 3 2 3 ( ) ( ) 2 ( ) 8 令： 2 2 2 = r + x ，则 4 2 2 2 r = ( − x ) ，dr 4( x )d 4 3 2 = − 当 r=0 时， = x 当 r=R 时， 2 1 ( ) 2 2 = R + r − + + = − = + − x R x R r B x d R r x 2 ( ) 2 2 (1 ) 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 ( ) 0 2 2 2 ˆ ( ) 2 2 ˆ 2 1 2 2 2 2 2 0 − + + = x R x R r R q B B 的方向： q 0 时， 与相同 q 0 时， 与相反 3. 载流螺线管中的磁场