我们还可以进一步推导出它们的递推关系由 f(a)+f(b)+2f(a+h2) 可以化为 72={a[f(a)+f(b)+hf(a+h2) [7+hf(a+h2) 类似地,有 T3=[2+h2(f(a+h)+f(a+3h3)) 2 般地,把区间[a,b逐次分半k-1次(k=1,2,…,y) 区间长度(步长)为h=b一2其中m=2为
我们还可以进一步推导出它们的递推关系.由 可以化为 类似地,有 一般地,把区间[a,b]逐次分半k-1次 , 区间长度(步长)为 ,其中 .为 2 2 2 [ ( ) ( ) 2 ( )] 2 h T f a f b f a h = + + + 1 2 1 2 1 { [ ( ) ( )] ( )]} 2 2 h T f a f b h f a h = + + + 1 1 2 1 [ ( )] 2 = + + T h f a h 3 2 2 3 3 1 [ ( ( ) ( 3 ))] 2 T T h f a h f a h = + + + +( 1, 2,..., ) k n = k k b a h m − = 1 2 k mk − =
叙述方便起见记T=T)那么, If(a)+ f()+2(> f(a+jhk 5 或 =[+h∑f(a+(2j-1)h6 从而有b b f(xdx=Tk 12 h f(EK) 其中E∈[a,b 按外推法的思想可以把(15看成是关于h
叙述方便起见,记 ,那么, (15) 或 (16) 从而有 (17) 其中 . 按外推法的思想,可以把(15)看成是关于 (1) T T k k = 1 (1) 1 [ ( ) ( ) 2( ( ))] 2 mk k k k j h T f a f b f a jh − = = + + + (1) 2 '' ( ) ( ) 12 b k k k a b a f x dx T h f − = − [ , ] k a b k h / 2 (1) (1) 1 1 1 1 [ ( (2 1) )] 2 mk k k k k j T T h f a j h − − = = + + −
误差为O(h的一个近似公式因此,复化梯形公 式的误差公式为 ∫(x)x-0=K+K2 ∑Kh=K+∑K份 为消去k项再取h=2替(18式中的 得 b f(x)x-7=∑K Khar ik+ 2 K+∑元Kh 4 (19)
误差为 的一个近似公式.因此,复化梯形公 式的误差公式为 (18) 为消去 项,再取 代替(18)式中的 , 得 (19) 2 ( ) O hk (1) 2 4 1 2 ( ) ... b k k k a f x dx T K h K h − = + + 2 2 2 1 1 2 i i i k k i k i i K h K h K h = = = = + 2 k h 1 1 2 k k h h + = k h (1) 2 2 1 1 2 1 1 ( ) 2 b i i k i k i k i a i f x dx T K h K h + + = − = = 2 2 1 2 1 1 4 4 i k i k i i K h K h = = +
用4乘(19)式再减去(18式得 b Lf(x dx-(T k 4-1 K h2) 34 2-4 ∑K 314--1 (20) (2) k h tk k1k=2.3 (21 这是误差为O(h外推公式 重复上述过程将区间逐次分半k-1次后,可
用4乘(19)式再减去(18)式,得 (20) 记 (21) 这是误差为 的外推公式. 重复上述过程,将区间逐次分半k-1次后,可 (1) (1) (1) 1 1 ( ) ( ) 4 1 b k k k a T T f x dx T + + − − − − 2 2 2 1 ( ) 3 4 1 i k i i k i i h K h = = − − 1 2 1 2 1 2 4 ( ) 3 4 1 i i i k i i K h − − = − = − (1) (1) (2) (1) 1 , 2,3,..., . 3 k k k k T T T T k n − − = + = 4 O h( )
以得到误差为O(h2)外推公式 41-1-1 k=2,3,,n,i=2,3 2) 当j=2时 2)=7X0+k=(47 3 当K=2时,有 72)=[4(f(a)+f(b)+2f(a+h2)-2h2(f(a)+f(b) =-h2[f(a)+4f(a+h2)+f(b)] 3 这是n-2的复化 Simpson公式的S不难验证对 般的k,x)=sk,这里,S是n=2的复化
以得到误差为 的外推公式 (22) 当j=2时 (23) 当K=2时,有 这是n=2的复化Simpson公式的 .不难验证,对 一般的k, ,这里, 是 的复化 2 ( )j O h k n j n = = 2,3,..., , 2,3,..., (1) (1) (2) (1) (1) (1) 1 1 1 (4 ) 3 3 k k k k k k T T T T T T − − − = + = − (2) 2 2 2 2 1 1 [4 ( ( ) ( ) 2 ( )) 2 ( ( ) ( ))] 3 2 2 h T f a f b f a h h f a f b = + + + − + 2 2 1 [ ( ) 4 ( ) ( )] 3 = + + + h f a f a h f b 2 S (2) 1 2 k T S k − = 1 2 k S − 1 2 k n − = ( 1) ( 1) ( ) ( 1) 1 1 4 1 j j j j k k k k j T T T T − − − − − − = + −