表7-1 O(h O(h) O(h) O(h) 1:F1(h)=F(h) 2:F1()=F()3:F2(h) 2 2 4:F1()=F(1)5:F2(=)6:F3(h) 4h8 4h-8 h 7:F1(n=F(=)8:F2()9 -)10:F4(h) 例1设f(x余项的差分公式为
表7-1 例1 设 带余项的差分公式为 O h( ) 2 O h( ) 3 O h( ) 4 O h( ) 1 1: ( ) ( ) F h F h = 1 2 2 : ( ) ( )3: ( ) 2 2 h h F F F h = 1 2 3 4 : ( ) ( )5: ( )6 : ( ) 4 4 2 h h h F F F F h = 1 2 3 4 7 : ( ) ( )8: ( )9 : ( )10 : ( ) 8 8 4 2 h h h h F F F F F h = ' 0 f x( )
f(x)=,[f(x+h)-f(x-h)f(x0) ch h (5) 120 (11) 导出具有误差为O(h2的外推公式 解令 F1(h)=F(h)=,[f(x+h)-f(x0-h) ch 用h/2代替h,得 2 h f(x0)=F1()-f(x) 224 1920 (12) 为消去含h的项,用4乘(12)式减去(11)式得
(11) 导出具有误差为 的外推公式. 解 令 用 h/2代替h,得 (12) 为消去含 的项,用4乘(12)式减去 (11)式,得 2 ' ''' 0 0 0 0 1 ( ) [ ( ) ( )] ( ) 2 6 h f x f x h f x h f x h = + − − − 4 (5) 0 ( ) ... 120 h − − f x 2 ( )j O h 1 0 0 1 ( ) ( ) [ ( ) ( )] 2 F h F h f x h f x h h = = + − − 2 4 ' ''' (5) 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ... 2 24 1920 h h h f x F f x f x = − − − 2 h 2 h
(4) 3f(x)=4F()-F(h)+f (5) (x)+ 160 从而有 f()=F()+480(x)+(3) 这里 h、,F1(h/2)-F1(h) F2(h)=F1(=)+ 这时,F2(h逼近∫(x的误差为O(h4 重复用h2代替h并消去含h的项(=2,3,,j-1) (如h4,h5,到逼近f(x误差为O(硝 外推公式为
从而有 (13) 这里 这时, 逼近 的误差为 . 重复用h/2代替h并消去含 的项 ,得到逼近 的误差为 的 外推公式为 (4) ' (5) 0 1 1 0 3 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ... 2 160 h h f x F F h f x = − + + (4) ' (5) 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ... 480 h f x F h f x = + + 1 1 2 1 ( / 2) ( ) ( ) ( ) 2 3 h F h F h F h F − = + 2 F h( ) ' 0 f x( ) (4) O h( ) 2i h ( 2,3,..., 1) i j = − 4 6 ( , ,...) 如h h ' 0 f x( ) 2 ( )j O h
F(h)=,h、F1(h/2)-F(h) )+ 2.3.k 4--1 注意(14)式中第二项的分母为4-而不 是(10式中的2/-1这是由于(1)式中的余项 为关于h2的幂次而不是关于h的幂次 732 Romberg求积方法 Romberg求积方法是以复化梯形公式为基 础,应用 Richardson外推法导出的数值求积方 法 回忆72.1节的复化梯形公式分别把积分区
注意(14)式中第二项的分母为 而不 是(10)式中的 .这是由于(11)式中的余项 为关于 的幂次而不是关于h的幂次. 7.3.2 Romberg求积方法 Romberg求积方法是以复化梯形公式为基 础,应用Richardson外推法导出的数值求积方 法. 回忆7.2.1节的复化梯形公式,分别把积分区 1 1 1 1 ( / 2) ( ) ( ) ( ) 2,3,..., 2 4 1 j j j j j h F h F h F h F j k − − − − − = + = − 1 4 1 j− − 1 2 1 j− − 2 h
间[a,b]分为1,2,4等分的结果列入表7-2 表7-2 b-c 2′ =6 ff(a)+f(b)] 2 22 (b-a)3[fa)+/(b)+2/a+ 34h=(b-a)"{f(a)+f(b)+2/(a+h) f(a+2h3)+f(a+3h3)}
间[a，b]分为1,2,4等分的结果列入表7-2. 表7-2 k 1 1 2 2 3 4 1 2 k mk − = k k b a h m − = 1 h b a = − 2 1 ( ) 2 h b a = − 3 1 ( ) 4 h b a = − 1 [ ( ) ( )] 2 h f a f b + 2 2 [ ( ) ( ) 2 ( )] 2 h f a f b f a h + + + 3 3 { ( ) ( ) 2[ ( ) 2 h f a f b f a h + + + + 3 3 f a h f a h ( 2 ) ( 3 )]} + + +