Simpson公式 类似地,当j=3时 (2) (2) T(3)=T(2)+k (1672)-7X2) 15 k (24) 在实际计算中,经常直接应用(23)式和形式与(24) 式相类似的公式进行计算 所谓 Romberg求积方法,就是由上述两部分 组成第一部分,对积分区间逐次分半k-1次,用复 化梯形求积公式(16)计算T(k=12,)第二部 分,用外推公式(2)计算r(k=2,3,j=2,3,,k)
Simpson公式. 类似地,当j=3时, (24) 在实际计算中,经常直接应用(23)式和形式与(24) 式相类似的公式进行计算. 所谓Romberg求积方法,就是由上述两部分 组成.第一部分,对积分区间逐次分半k-1次,用复 化梯形求积公式(16)计算 ,第二部 分,用外推公式(22)计算 (2) (2) (3) (2) (2) (2) 1 1 1 (16 ) 15 15 k k k k k k T T T T T T − − − = + = − (1) ( 1, 2,...) T k k = ( ) ( 2,3,..., 2,3,..., ) j T k j k k = =
用 Romberg求积方法计算「f(x计算值的 过程如下:首先,令k=1,区间长度h=b-明用梯形 求积公式计算(表7-3中第一行);区间分半令 K=2区间长度h=2h,先按(16式计算T再按 外推公式(22)式计算T2(表73中第二行)再区 间分半令k-3,区间长度勾=h2=2先按(16) 式计算T,再按(2)式计算7(2)7表7-3中第 行)等等逐次分半区间k次后的计算结果如表 7-3所示(见下页)
用Romberg求积方法计算 的计算值的 过程如下:首先,令k=1,区间长度 ,用梯形 求积公式计算 (表7-3中第一行);区间分半,令 K=2,区间长度 ,先按(16)式计算 ,再按 外推公式(22)式计算 (表7-3中第二行);再区 间分半,令k=3,区间长度 ,先按(16) 式计算 ,再按(22)式计算 (表7-3中第 三行)等等,逐次分半区间k次后的计算结果如表 7-3所示(见下页). ( ) b a f x dx 1 h b a = − (1) T1 2 1 1 2 h h = (1) T2 (2) 2 T 3 2 1 2 1 1 2 2 h h h = = (1) T3 (2) (3) 3 3 T T
表7-3 h2 (2) 2 h3:7 (2) (2 (3) (k) k k k 表7-3中m的计算按行(k的序号)进行,每行第 1个元素x用复化梯形公式(6)计算其他元 素T均按(22)式用T屿7k(=2,3,…的组 合得到在实际应用中往往根据实际问题对计
表7-3 : : : : ……. 表7-3中 的计算按行(k的序号)进行,每行第 1个元素 用复化梯形公式(16)计算,其他元 素 均按(22)式用 与 的组 合得到.在实际应用中,往往根据实际问题对计 (1) T1 (1) T2 (2) T2 (1) T3 (2) T3 (3) T3 1 h 2 h 3 h k h (1) Tk (2) Tk (3) Tk ( ) k Tk (1) Tk ( )j Tk ( 1) j Tk − ( 1) 1 ( 2,3,..., ) j T j k k − ( )j − = Tk
算精确度的要求来确定区间逐次分半的次数. 常用不等式 k k (25) 作为达到精确度要求的判断准则,这里,￡是给 定的 的正数 例2用 Romberg求积方法计算 dx=n2=0.6931471(26) 01+x 的近似值,给定E=0.001 解首先令区间长度h=1用梯形求积公式计算 710=[f(0)+f(1=075000 2
算精确度的要求来确定区间逐次分半的次数. 常用不等式 (25) 作为达到精确度要求的判断准则,这里, 是给 定的一个小的正数. 例2 用Romberg求积方法计算 (26) 的近似值,给定 解 首先令区间长度 ,用梯形求积公式计算 1 0 1 ln 2 0.6931471... 1 dx x = = + = 0.001 1 h =1 (1) 1 1 [ (0) (1)] 0.7500000 2 h T f f = + = ( ) ( 1) [ ] j j T T k k − −
区间[O,1分半,令区间长度h2=h=按16式 计算 7(0)=7(+h2f(0 5)=0.708333 再按(23)式计算 72=(4×0.708333-0.7500000.69444 这时 [2)-72]=00138889 未达到精确度要求. 为此再将区间分半,令区间长度h=h 按(16式计算
区间[0,1]分半,令区间长度 ,按16式 计算 再按(23)式计算 这时 未达到精确度要求. 为此,再将区间分半,令区间长度 按(16)式计算 2 1 1 1 2 2 h h = = (1) (1) 2 1 2 1 (0.5) 0.7083333, 2 T T h f = + = (2) 2 1 (4 0.7083333 0.7500000) 0.6944444 3 T = − = (1) (2) 2 2 [ ] 0.0138889 T T− = 3 2 1 1 2 4 h h = =