Chapter 4 Initial -value problems for ODE d y= y 例 dx 求x=0.1,0.2,…,1.0的近似值 y(0)=1 解:这儿∫(x,y)=”-,x=0,y0=1,h=0.1 由欧拉公式JmH1=Vn+bf(xn,yn)得:y=1 y1=yn+hf(x00)=1+0.1×(、0 2×0.1 y2=y1+hf(x1,y1)=1.1+0.1×(1.1 1.191818 1.1 y3=y2+lf(x2,y2)=1.277438… 又其精确解为y=√2x+1 整体误差H1=y(xkA)-,下面对其加以分析 HUST
例: 求 的近似值 2 (0) 1 dy x y dx y y = − = x = 0.1,0.2, 1.0 ", 解:这儿 2 (,) x f xy y y = − 0 0 x yh = == 0, 1, 0.1 由欧拉公式 得 由欧拉公式 y y n n nn +1 = +hf (,) x y 得: 0 y = 1 1 0 00 0 ( , ) 1 0.1 (1 ) 1.1 1 y y hf x y = + =+ × − = 2 1 11 2 0.1 ( , ) 1.1 0.1 (1.1 ) 1.191818 1.1 y y hf x y × =+ = + × − = 3 2 22 y y hf x y =+ = ( , ) 1.277438 …… 又其精确解为 y x = + 2 1 整体误差 ek kk + ++ 1 11 = − y( ) x y 下面对其加以分析
Chapter 4 Initial -value problems for ODE 风x2) 0.1 11 10954451 00045548 02 1.191818 1183216 00086022 0312774379126491110.012527 0413582127 13416408 0016572 05143513301414213600209194 06150896641483139700257267 0.715803384 15491933 00311906 081649783616124519 0037332 0917177795 16722301 0044594 1017847101:3205080527201 从表中看出误差在逐步增加、积累 j1o=y(x)+f(x9,y(x,)=1.7330815 局部截断误差J(x)-1mo=0.03而误差是y(x10)-1=005272 HUST
从表中看出误差在逐步增加 积累 10 9 9 9 y yx f x yx # =+ = ( ) ( , ( )) 1.7330815 局部截断误差 10 10 yx y ( ) 0.00103 − = # 而误差是 10 10 yx y ( ) 0.05272 − =
Chapter 4 Initial 数值积分法 -value problems for ODE f(x,y) y(Xo=yo n+1 +hf(xy)yn+1=yn+hf(Xn+1 Yn+1) y(xdx f(x,y)dx→y(xn)=y(x,)=∫f(x 对右端的定积分用数值积分公式求近似值: (1)用左矩形数值积分公式:∫xy(x)x=(xm-x,)f(xn(x,) (xn+1)y(xn)≈hf(xn,y(xn)→y(xn+1)≈y(xn)+hf(xn2y(xn) n+1 +hf(x n y (2)用梯形公式:f(xy(x)x=2[xn(xn)+xm,y(xm) y(xn1)y(xn)=分[ f(, y(x))+(X y(xnD) n ym=yn+[f(xn,yn)+(xn1ym)—梯形公式 梯形公式:将显示欧拉公式隐式欧拉公式平均可得 梯形公式是隐式、单步公式其精度为二阶 HUST
数值积分法 ( ) ( ) ' 0 0 y x y y = y = f x, n+1 n+1 n n x ' x x x ∴ = y( ) x dx f (x,y)d x ∫ ∫ n+1 nxx 1 ( ( ) ) f (x, ) y(x) n n yx yx dx ⇒ + − = ∫ 对右端的定积分用数值积分公式求近似值 对右端的定积分用数值积分公式求近似值 1 用左矩形数值积分公式 n+1 n 1 x x f (x, ) ( , ) y(x) y( ( ) ) n n n n d fx x x x x ≈ + − ∫ 1 y( )-y( ) ( ,y( )) n n n n x x hf x x ∴ + ≈ 1 y( ) + ( , ) y( ) y( ) n n n n x hf x x x ⇒ ≈ + + ( , ) 1 y y y n hf x n n n ↓↓ ↓ ⇒ = + 2 用梯形公式 1 1 n+ n n n x n n+1 1 ( + ) 2 x f (x, ) f(x , ) y(x) y(x ) y(x ) [ +f(x , )] n n x x dx + − ≈ ∫ n+1 n 2 n n+ n n+1 1 y(x )-y(x ) [f(x , ) f y(x ) y(x + (x , ))] ∴ ≈ h n+1 n 2 n n+1 n n+1 y =y [f(x , ) f(x , ) y + ] y ∴ + h ——梯形公式 n+1 n n+1 n+1 y =y +hf(x ,y ) n+1 n n n y =y +hf(x ,y ) # 梯形公式:将显示欧拉公式,隐式欧拉公式平均可得 # 梯形公式是隐式 单步公式,其精度为二阶
梯形公式的精度 Chapter 4 Initial -value problems for ODE 定理:梯形公式Yn+组x用x》m)的精度是2阶的 分析:梯形公式是隐式公式,证明其局部截断误差为O(h3 要用到二元函数的Tayo公式。 证:令y=y(xn),由Tao公式有 f( n+1/n+1 )=f(xn+1y(xn+1)+(n+1(xn+1) f(Xn+1 y(xn+1))+f n+1, n )(yn+1-y(ni), nE( n+1 =y (Xn+1)+f n+1 n ) (n+1"(u+1)) y(x,)+hy(x,)+O(h2)+f+1 n )( yn+1y*n+1) f(n,yn)+hy(X,)+,xn+1, n (yn+1-y(xn+1))+o(h2) xy(xn+1)=y(x, th)=y(X)+hy (n)+h-y(xn)/2+o(h3 +hf(xn y)+hy(n)/2+0(h) yo+hf(Xn y,)/2+h[f( yn)+hy(X,)]/2+o(h HUST
梯形公式的精度 证 令yn=y(xn),由Talor公式有 分析 梯形公式是隐式公式 证明其局部截断误差为O(h3) 要用到 二元函数的Taylor公式 定理 梯形公式 的精度是 梯形公式 n 1+ n 2 n n+1 n n+1 的精度是2阶的. y =y [f(x , ) f(x , ) y + ] y h + f(xn+1,yn+1)=f(xn+1,y(xn+1)+(yn+1 -y(xn+1)) =f(xn+1,y(xn+1))+fy(xn+1, )(yn+1-y(xn+1)) (xn xn+1 ) =y’(xn+1)+fy(xn+1, )(yn+1-y(xn+1)) =y’(xn)+hy”(xn)+O(h2) +fy(xn+1, )(yn+1-y(xn+1)) =f(xn,yn)+hy”(xn) +fy(xn+1, )(yn+1-y(xn+1)) +O(h2) 又y(xn+1)= y(xn +h) = y(xn)+hy’(xn)+h2y”(xn) /2 +O(h3) =yn+hf(xn,yn)+h2y”(xn)/2+O(h3) =yn+hf(xn,yn)/2+h[f(xn,yn)+hy”(xn)]/2+O(h3)