分析了x)的表达式含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号，本质上∫)为分段函数 解法1由xx-1)≥0可得x≥1或x≤0，由xx-1)<0得0<x<1.于是 x2-x2,x≥1或x≤0 可求得/=-2x>晚<0 2x-3x,0<x<1 因为 m0-0, x-0 0-e-0, 所以《(0)=0，即f(x)在x=0处可导.而 x-1 0- x-1 则f(x)在x=1处不可导 综上所述fx)在x=1处不可导，fx)在(-o,UL,+)上均可导. 解法2依题意，fx)=x√F·√-是初等函数，且仅在x=0和x=1处可能不可 导.故只需讨论在这两点的情形 (1)x=0时，由于 故f"(0)=0. (2)x=1时，由于 一-不存在， x-1 故fx)只在x=1处不可导，在(-，U0,+∞)上均可导。 解法3由于 fx)=xxx-)xxx-1川 由导数定义可知，|x在x=0处不可导，而xx在x=0处一阶可导，因此，xx在任意点 处均可导，再只需考查x-川的可导性。由导数定义可知，Ix-1川仅仅在x=1处不可导，故 fx)仅在x=1处不可导，在(-o,1)UL,+∞)上均可导. 倒13设/)=吧2+-。，讨论国的可导性. 分析先应求出f(x)的表达式.本质上f(x)为分段函数. 解由于
分析 f x( ) 的表达式含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号，本质上 f x( ) 为分段函数． 解法 1 由 x x( 1) 0 − 可得 x 1 或 x 0 ．由 x x( 1) 0 − 得 0 1 x ．于是 3 2 2 3 , 1 0 ( ) , 0 1 x x x x f x x x x − = − 或 ， 可求得 2 2 3 2 , 1 0 ( ) 2 3 , 0 1 x x x x f x x x x − = − 或 ， 因为 0 ( ) (0) lim x 0 f x f x → + − − = 2 3 0 lim x x x x → + − = 0 ， 0 ( ) (0) lim x 0 f x f x → − − − = 3 2 0 lim 0 x x x x → − − = ， 所以 f (0) 0 = ，即 f x( ) 在 x = 0 处可导．而 1 ( ) (1) lim x 1 f x f x → + − − = 3 2 1 lim x 1 x x x → + − − =1， 1 ( ) (1) lim x 1 f x f x → − − − = 2 3 1 lim x 1 x x x → − − − = −1， 则 f x( ) 在 x = 1 处不可导． 综上所述 f x( ) 在 x = 1 处不可导， f x( ) 在 ( ,1) (1, ) − + 上均可导． 解法 2 依题意， 2 2 f x x x x ( ) ( 1) = − 是初等函数，且仅在 x = 0 和 x = 1 处可能不可 导．故只需讨论在这两点的情形． （1） x = 0 时，由于 0 | | | 1| lim 0 x 0 x x x → x − = − ， 故 f (0) 0 = ． （2） x = 1 时，由于 1 | | | 1| lim x 1 x x x → x − − 不存在， 故 f x( ) 只在 x = 1 处不可导，在 ( ,1) (1, ) − + 上均可导． 解法 3 由于 f x x x x x x x ( ) | ( 1) | | | | 1| = − = − ， 由导数定义可知， | | x 在 x = 0 处不可导，而 x x| | 在 x = 0 处一阶可导，因此， x x| | 在任意点 处均可导，再只需考查 | 1| x − 的可导性．由导数定义可知， | 1| x − 仅仅在 x = 1 处不可导，故 f x( ) 仅在 x = 1 处不可导，在 ( ,1) (1, ) − + 上均可导． 例 13 设 2 ( ) lim 2 tx t x f x →+ x e = + − ，讨论 f x( ) 的可导性． 分析 先应求出 f x( ) 的表达式．本质上 f x( ) 为分段函数． 解 由于
[+0.x>0 ime产=x=0 0,x<0 则有 o. x20 f(r)= 20 显然当x>0或x<0时，函数f(x)可导.下面讨论x=0时f(x)的可导性.由于 0 00▣2立0 于是(0)≠人0)，从而可知f)仅在x=0处不可导。 例14(05研) 设函数fx)=im1+x严，则fx)在（←,+o内( A.处处可导. B.恰有一个不可导点. C.恰有两个不可导点。 D.至少有三个不可导点. 解由于 )=im+x产=imx产+x=mxP(+1xr*广 易求得 fe. x>1 fx)=1,-1sx≤1， x<-1 则 0=0=9. 故x=1为不可导点.同理x=-1也为不可导点。故选C, 例15设F(x)=max{(x,5(x)的定义域为(-1，)，其中 f(x)=x+1,万5x)=(x+1P, 试讨论F(x)的可导性.若可导，求其导数 分析本质上F(x)是分段函数即 x),f(x)25(x) 由此可知需先解出不等式
, 0 lim 1, 0 0, 0 tx t x e x x →+ + = = ， 则有 2 0, 0 ( ) , 0 2 x f x x x x = + ． 显然当 x 0 或 x 0 时，函数 f x( ) 可导．下面讨论 x = 0 时 f x( ) 的可导性．由于 f (0) + = 0 ( ) (0) lim x 0 f x f x → + − − = 0 0 0 lim x x → + − = 0 ， f (0) − = 0 ( ) (0) lim x 0 f x f x → − − − = 2 0 0 2 lim x x x x → − − + = 1 2 ， 于是 f (0) + f (0) − ，从而可知 f x( ) 仅在 x = 0 处不可导． 例 14（05 研） 设函数 3 ( ) lim 1 | | n n n f x x → = + ，则 f x( ) 在 ( , ) − + 内（ ）． A．处处可导． B．恰有一个不可导点． C．恰有两个不可导点． D．至少有三个不可导点． 解 由于 3 ( ) lim 1 | | n n n f x x → = + = 1 3 3 lim[| | (1 | | )] n n n n x x − → + = 1 3 3 lim | | (1 | | ) n n n x x − → + 易求得 3 3 , 1 ( ) 1, 1 1 , 1 x x f x x x x = − − − ， 则 3 1 0 ( ) (1) 1 (1) lim lim 3 x x 1 1 f x f x f x x + → → + + − − = = = − − ， 1 1 ( ) (1) 1 1 (1) lim lim 0 x x 1 1 f x f f x x − → → − − − − = = = − − ， 故 x = 1 为不可导点．同理 x =−1 也为不可导点．故选 C． 例 15 设 1 2 F x f x f x ( ) max{ ( ), ( )} = 的定义域为 ( 1, 1) − ，其中 1 f x x ( ) 1 = + ， 2 2 f x x ( ) ( 1) = + ， 试讨论 F x( ) 的可导性．若可导，求其导数． 分析 本质上 F x( ) 是分段函数即 1 1 2 2 1 2 ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) f x f x f x F x f x f x f x = ， 由此可知需先解出不等式