例7.3.2设矩阵 -1 2-45 试作矩阵A=QR分解 解为直观起见,下面给出H矩阵形式
例 7.3.2 设矩阵 = 2 4 5 2 1 1 1 1 1 - A - - 试作矩阵 A = QR 分解。 解 为直观起见，下面给出 H 矩阵形式
(1)求H1,作A2=H1A。 1=sgn(a1)∑a2)2=3 a,to 2,u=(4,2,2) 3×4=12: 1-2-2 H1=I-p1u=-22-1
(1) 求 H1 ，作 A2 = H1 A。 1 sign ( )( ) 3; 2 3 1 1 2 1 = 11 1 = i= a ai 2 4, 2, (4,2,2) ; 1 11 1 2 T u = a + = u = u = 3 3 4 12; 1 =1 u1 = = = − = − 3 1 2 2 2 1 1 2 2 3 1 1 1 1 - - - - - - - H I uu T
33-3 A,=H1A=00-3 (2)求H2,作A3=H2A2=R T°a2=sgn(a2)∑a2)=3(约定sgn(0)=1) 2°u1=0,u (2) +O2=3 (2 3,u=(0,3,-3)
4 = = 0 3 3 0 0 3 3 3 3 2 1 - - - - A H A (2)求 H2 ，作 A3 = H2 A2 = R 1 sign ( )( ) 3 ( sign (0) 1); 2 2 (2) 2 (2) 2 2 2 2 = = = = 约定 i a ai ( ) 2 0, 3, 3, (0,3, 3) ; 2 2 3 3 2 (2) 1 2 2 2 T u = u = a + = u = a = − u = −
H2=1-P2 001 0-3-3=R 1-2-2 Q=H1H2=1-2-12 由矩阵乘法可直接验证A=QR
3 9; 2 = 2 u2 = = − = − 0 1 0 0 0 1 1 0 0 3 1 1 2 2 H I uu T 4 - - R - - A H A = = = 0 0 3 0 3 3 3 3 3 3 2 2 − − − − − − = = 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 1 Q H1 H2 由矩阵乘法可直接验证 A = QR
7.3.3QR算法 设A=(an)∈R",QR算法是对A进行一系列的 正交相似变换,达到求出矩阵A的全部特征值和相应的 特征向量。算法如下: 分解:Ak=QRk 构造:A1=QkAQ=RQ(k=12,3 这里Q为正交矩阵,Rk为上三角矩阵,且当Rk主对角 元均为正数时,则上述正交三角分解唯
7.3.3 QR算法 设 n n A aij R = ( ) ，QR 算法是对 A 进行一系列的 正交相似变换，达到求出矩阵 A 的全部特征值和相应的 特征向量。算法如下： 分解： Ak = Qk Rk 构造： ( 1,2,3,...) A +1 = Q Ak Qk = Rk Qk k = T k k 这里 Qk 为正交矩阵，Rk 为上三角矩阵，且当 Rk 主对角 元均为正数时，则上述正交三角分解唯一