第2章解析函数的微积分 ()对一切不等于4和以的实数R,计算积分 f(z)dz e-oe- 其中积分曲线的方向取为正向。 (2)利用不等式(2.23)证明，若f@)有界，R>maxl4,bl,则()中所求的 积分为零，并由此证明整函数的Liouville定理。 22.设函数f2在单位圆盘内解析，且f(训≤1.证明f(0≤1. 23.(x,y)=2-y2和(x)=y都是平面上的调和函数，但是u+iv不是解析 函数，为什么？ 24.已知调和函数x)=x2-9-y2,求满足条件f①=-1+i的解析函数 f(2)=u+iv. 25.求定义在第二象限的解析函数fe,使得mf=acam 26.根据调和函数的定义证明定理2.44. 27.设（仁，）为平面极坐标，证明以下结论. ()二元函数“在不包含原点的区域内调和，当且仅当在该区域内 182w 即酸程不、e用子o茶技 (2)函数f阳=“+v在不包含原点的区域内解析，当且仅当在该区域内 该方程组即为Cauchy-Riemann方程在极坐标下的形式. 28.证明最大模原理。 29.利用例2.36的结论证明代数学基本定理（定理2.37）
78 1 2 Ÿ )¤ºÍứ (1) ÈòÉÿ u |a| ⁄ |b| ¢Í RßO黩 Z |z|=R f(z) dz (z − a) (z − b) , Ÿ•»©Çêïèï© (2) |^ÿ ™ (2.23) y²ße f(z) k.ßR > max {|a|, |b|}ßK (1) •§¶ »©è"ßøddy²ºÍ Liouville ½n© 22. ºÍ f(z) 3¸† S)¤ßÖ | f(z)| 6 1 ©y² | f 0 (0)| 6 1 © 23. u(x, y) = x 2 − y 2 ⁄ v(x, y) = xy —¥²°˛N⁄ºÍߥ u + iv ÿ¥)¤ ºÍßèüoº 24. ÆN⁄ºÍ u(x, y) = x 2 − xy − y 2߶˜v^á f (i) = −1 + i )¤ºÍ f(z) = u + iv © 25. ¶½¬31ñÅ)¤ºÍ f(z)߶ Im f(z) = arctan y x © 26. ä‚N⁄ºÍ½¬y²½n 2.44 . 27. (r, θ) è²°4ãIßy²±e(ÿ. (1) ºÍ u 3ÿù¹:´çSN⁄ßÖ=3T´çS ∂ 2 u ∂r 2 + 1 r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2 u ∂θ 2 = 0, =34ãIeß Laplace éf 4 = ∂ 2 ∂r 2 + 1 r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂θ 2 . (2) ºÍ f(z) = u + iv 3ÿù¹:´çS)¤ßÖ=3T´çS ∂u ∂r = 1 r ∂v ∂θ , ∂v ∂r = − 1 r ∂u ∂θ . Têß|=è Cauchy-Riemann êß34ãIe/™. 28. y²Åå n© 29. |^~ 2.36 (ÿy²ìÍƃ ½n£½n 2.37§©
习题2 19 30.证明最小模原理：设f()在有界区域D内解析，在D上连续，且f)≠0， 如果训在D内部取得最小值，则f阳)是一个常值函数 3L.设f似=“+v在有界区域D内解析，在D上连续且不取零值，证明 n(u2+)在D上的最大值和最小值只能在边界D上取到，除非f@)为 常值函数
SK 2 79 30. y²Å nµ f(z) 3k.´ç D S)¤ß3 D¯ ˛ÎYßÖ f(z) , 0ß XJ | f(z)| 3 D S‹ÅäßK f(z) ¥òá~äºÍ© 31. f(z) = u + iv 3k.´ç D S)¤ß3 D¯ ˛ÎYÖÿ"äßy² ln u 2 + v 2 3 D¯ ˛Ååä⁄ÅäêU3>. ∂D ˛ßÿö f(z) è ~äºÍ©
习题3 139 再证明必要性.由f)在o局部单叶解析，则存在和的邻域U,使得函数 f)-w在U内至多只有1个零点.显然fa)非常值函数，若f'()≠0不成立， 则0为函数f)-o的2重以上零点，则根据定理3.38，在0的任何充分小的 E-邻域B()内，存在%的6邻域B(o,使对一切w∈B6(o),fe)-w都至 少有2个互不相同的零点，矛盾.证毕。 注3.16定理3.40再次揭示了复可导函数与实可导函数的差别.例如函数 f)=,如果将定义域限制在实数范围内，虽然该函数在原点导数为零，但依 然存在反函数.然而当定义域扩充到复平面后，在原点的任何一个邻域内都不能 定义该函数的反函数.事实上，在原点的任何一个圆环邻域内，∫是3对1的映 射，任意模相同，幅角相差的两个复数，经∫作用后对应到同一个值. 习题3 1.求下列幂级数的收敛圆盘： 点02茶w 四e-时.②2点 2.写出下列函数在m=0的Tyor级数的前三个非零项，指出收敛半径 (1)tanz.(2)sin (3)e 3.求下列函数在给定点的Taylor级数，并指出收敛半径： (2)fa)=sinz2,在o=0: (3)f)=V+,其中根号函数取主值，在0=0： (4)fe)=lnx,在0=i. 4.求下列函数在指定点的去心邻域内的Laurent级数，并指出最大收敛区域： 0f@=e-2+D'=2与-1： ②f8=e-m=0与i:
SK 3 139 2y²7á5©d f(z) 3 z0 ¤‹¸ì)¤ßK3 z0 ç U߶ºÍ f(z) − w 3 U Sñıêk 1 á":©w, f(z) ö~äºÍße f 0 (z0) , 0 ÿ§·ß K z0 èºÍ f(z) − w0 2 ±˛":ßK䂽n 3.38ß3 z0 ?¤ø© ε -ç Bε(z0) Sß3 w0 δ-ç Bδ(w0)߶ÈòÉ w ∈ Bδ(w0)ßf(z) − w —ñ k 2 ápÿÉ”":ßgÒ©y.© 5 3.16 ½n 3.40 2g´ EåºÍÜ¢åºÍ O©~XºÍ f(z) = z 3ßXJÚ½¬çÅõ3¢ÍâåSßè,TºÍ3:Íè"ßù ,3áºÍ©, ½¬ç*øE²°ß3:?¤òáçS—ÿU ½¬TºÍáºÍ©Ø¢˛ß3:?¤òá ÇçSß f ¥ 3 È 1 N ß?ø É”ßÃÉ 2π 3 ¸áEÍß² f ä^ÈA”òáä. SK 3 1. ¶eò?Í¬Ò µ (1) X∞ k=1 1 k (z − i) k , (2) X∞ k=1 z k k 22 k , (3) X∞ k=1 z k k k , (4) X∞ k=1 k! k k z k . 2. —eºÍ3 z0 = 0 Taylor ?Ícnáö"ë, ç—¬Ò媵 (1) tan z, (2) sin 1 1 − z , (3) e 1 1−z . 3. ¶eºÍ3â½: Taylor ?Íßøç—¬Ò媵 (1) f(z) = z − 1 z + 1 ß3 z0 = 1 ¶ (2) f(z) = sin z 2ß3 z0 = 0 ¶ (3) f(z) = √ z + 1ߟ•ä“ºÍÃäß3 z0 = 0 ¶ (4) f(z) = ln zß3 z0 = i © 4. ¶eºÍ3ç½:%çS Laurent ?Íßøç—Åå¬Ò´çµ (1) f(z) = 1 (z − 2)(z + 1) ßz0 = 2 Ü −1 ¶ (2) f(z) = 1 z 2 (z − i) ßz0 = 0 Ü i ¶