在上定义了一个2.定义：设为光滑的有向曲面，向量场 A=(P(×, y,z),Q(X,y,z), R(×,y,z),若对Z的任意分割和在局部面元上任意取点，下列极限都存在lim[ P(Si,ni,3)(4S)yz入一01+Q(S, ni,3)(4S)zx +R(Sj, ni,3)(4S)xy)则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积P记作分，可或第二类曲面积分dxSSPdydz+Qdzdx+ Rdxdy>dzOR叫做积分曲面?P,QR叫做被积函数
设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, lim λ→0 ∑ i= 1 n [ P( ξi ,ηi ,ζi )( ΔSi ) yz +Q( ξi ,ηi ,ζi )( ΔSi ) zx 分, ∬ Σ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy 记作 P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面. +R(ξi ,ηi ,ζi )( ΔSi ) xy ] 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 dx dy dz P Q R A= (P( x, y,z), Q( x, y, z), R( x, y,z)), 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 2. 定义：
叮Pdydz称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分：>称为Q在有向曲面>上对=,x的曲面积分QdzdxRaxdy称为R在有向曲面>上对xy的曲面积分N引例中，流过有向曲面的流体的流量为β= J Pdydz+Qdzdx+ Rdxdy若记Z正侧的单位法向量为n=（cosα，cosβ，cosy）dS= nds(dydz, dzdx, dxdy)A=(P(x, y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为 ∬ Σ Pdydz ∬ Σ Qdzdx 称为Q 在有向曲面 上对 z, x 的曲面积分; ∬ Σ Rdxdy 称为R 在有向曲面 上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面 上对 y, z 的曲面积分; Φ=∬ Σ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy 若记 正侧的单位法向量为 令 n= ( cosα , cos β , cosγ ) dS= ndS= (dydz, dzdx, dxdy) A= (P( x, y,z) , Q( x, y, z) , R( x, y, z) ) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
JJ _ Pdydz+ Qdzdx+ Roxcdy=JJ _An ds =JAdsN3.性质k(1)若2=Z,且，之间无公共内点，则EJ,Ads= Ads2(2）用>表示与>取相反侧的有向曲面，则J- A ds- JAds注意：必须注意曲面所取的侧
3. 性质 (1) 若 Σ= ¿ i= 1 k Σi , = ∑ i= 1 k 且 Σi 之间无公共内点, 则 (2) 用 ¯表示与 取相反侧的有向曲面, 则 ∬ Σ A⋅ dS ∬Σ − A⋅ dS= −∬Σ A⋅ dS ∬ Σ i A⋅ dS ∬ Σ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =∬ Σ A⋅ n dS =∬ Σ A⋅ dS 注意: 必须注意曲面所取的侧
三、对坐标的曲面积分的计算法定理：Z:z= z(x, y), (X,y)EDxy设光滑曲面取上侧R(×,y,z)是Z上的连续函数,则J, R(x, ,2)dxdy = J,R(x, y,z(x,y)) dxdy办nJS>证：R(x, y,z)dxdy =limR(S, Ni, 3,)(△S)xy入二0合1=(△o,)xy: (4S)xy：2取上侧3,= z(Si, ni)nZH=limR(Si,ni,z(Sj, n) )(A,)xy入-0SSR(x, y, z(x, y))dxdyDxy
三、对坐标的曲面积分的计算法 定理: 设光滑曲面 Σ: z= z( x, y) , ( x, y)∈Dxy 取上侧, R( x, y, z) 是 上的连续函数, 则 ∬Σ R( x, y,z)dxdy =∬D xy R( x, y, z( x, y) ) dxdy 证: = lim λ→0 ∑ i= 1 n R( ξi ,ηi ,ζi )( ΔSi ) xy ∴ ( ΔSi ) xy = ( Δσi ) ∵ 取上侧 xy , ζi = z(ξi , ηi ) = lim λ→0 ∑ i= 1 n R(ξi ,ηi , z( ξ ) i , ηi ) ( Δσi ) xy =∬Dxy R( x, y, z(x,y ))dxdy ∬Σ R( x, y,z)dxdy
说明：如果积分曲面>取下侧，则JS _ R(X, y,z)dxdy=-JIR(x,y,z(x, y)) dxdy福2若Z:x=x(y,z),(y,z)ED,则有JJ P(×(y,z) , y, z) dydzJJ _ P(X, y,z)dydz=± J聘(前正后负） 若z:y= y(z,x），(z,x)E D，则有J _Q(x,y,z)dzdx =±JJ , Q(x, (z,x) ,z2) dzdx（右正左负）
• 若 Σ: x= x( y, z) , ( y,z)∈Dyz , 则有 ∬ Σ P( x, y,z)dydz = ±∬ Dyz P( x( y, z , ) y, z) dydz • 若 Σ: y= y( z, x) , ( z,x)∈Dzx , 则有 ∬ Σ Q( x, y,z)dzdx = ±∬ Dzx Q ( x, , y( z, x) z) dzdx (前正后负) (右正左负) 说明: 如果积分曲面 取下侧, 则 ∬ Σ R( x, y,z)dxdy = −∬ Dxy R( x, y, z( x, y) ) dxdy