第二节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 第二节 对坐标的曲线积分
y一、问题的提出BM, M.-Ay;实例：变力沿曲线所作的功L M,-Ax;ML: A→B,M,AF(x, y) = P(x,y)i +Q(x, y)i x常力所作的功 W=F·AB.分割 A= M., M,(x,y),.*,Mn-I(xn-1,yn-),M, = B.M-M, =(Ax;)i +(Ay)j
o x y A B L 一、问题的提出 Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 i x i 实例: 变力沿曲线所作的功 y L: A → B, F x y P x y i Q x y j ( , ) = ( , ) + ( , ) 常力所作的功 分割 , ( , ), , ( , ), . A = M0 M1 x1 y1 M n−1 x n−1 yn−1 M n = B ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i − = + W = F AB
B取 F(5,n) = P(5,n;)i +Q(5,n)j,F(5i,n.)M, Mu-!AyiL M,AxAW, ~ F(5i,n;). M-1M,MMAx即 △W, ~ P(5;,n;)Ax; + Q(5i,n;)Ay:.n求和 W=AW,近似值i=1Z[P(5,n.). Ax, + Q(5,n.) Ay, ]i-1Z[P(5, n;) . Ax, +Q(5,n:) ·Ay; lW = lim取极限-→0i=1精确值
求和 [ ( , ) ( , ) ]. 1 = + ni i i i i i i P x Q y 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0 = → = + ni i i i i i i W P x Q y 近似值 精确值 F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i 取 = + ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 W P x + Q y = = ni W Wi 1 o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) F i i xi i y
间：二、对坐标的曲线积分的概念1.定义设L为xoy面内从点A到点B的一条有）向光滑曲线弧,函数(P(x,y),Q(x,)在L上有界.用L上的点M(xi,J)，M,(x2,y2),，Mn-1(xn-1,Jn-})把L分成n个有向小弧段Mi-M, (i=1,2,,n; M = A, M, =B)设Ax; = x; -xi-1, Ay; = y; - yi-1, 点(S;,n;)为M-M上任意取定的点如果当各小弧段长度的最大值入一0时
二、对坐标的曲线积分的概念 0 , . , , ( , ) ( 1,2, , ; , ). , ( , ) . ( , ), ( , ), , ( , ), ( , ) 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 长度的最大值 时 上任意取定的点 如果当各小弧段 设 点 为 把 分 成 个有向小弧段 上有界 用 上的点 向光滑曲线弧 函 数 在 设 为 面内从点 到 点 的一条有 → = − = − = = = − − − − − − − i i i i i i i i i i i i n n n n M M x x x y y y M M i n M A M B M x y L n L M x y M x y P x y Q x y L L xoy A B 1.定义
Z P(Si,n,)Ax,的极限存在，则称此极限为函i-1数 P(x,y)在有向曲线弧LD上对坐标x的曲线积分或称第二类曲线积分），记作(xp)eL P(5i,n:)Ax;[ P(x, y)dx = lim元-0i=1[,Q(x, y)dy = limEQ(si,n;)Ay,.类似地定义10i=1其中P(x,J)，Q(x,y)叫做被积函数,L叫积分弧段
类似地定义 ( , ) lim ( , ) . 1 0 i i n i i L Q x y dy = Q y = → 其中P(x, y), Q(x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段. ( , ) lim ( , ) . ( , ( , ) ( , ) , 1 0 1 i i n i i L n i i i i P x y dx P x P x y L x P x = = → = 积分 或称第二类曲线积分） 记作 数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线 的极限存在 则称此极限为函