算法

第三节偏导数、平面区域的概念一n维空间的概念二、三、二元函数的概念四、二元函数的极限五、二元函数的连续性

第三节 偏 导 数 一、平面区域的概念 三、二元函数的概念 四、二元函数的极限 五、二元函数的连续性 二、 n 维空间的概念

一、偏导数的定义及其计算法V定义设函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某一邻域内有定义，当y固定在y.而在。处有增量△x时，相应地函数有增量f(xo + Ax,yo)- f(xo,yo),f(x, +Ax, yo)- f(xo,yo)如果lim存在，则称AxAr-→0此极限为函数z=f(x,J)在点(xo,yo)处对的偏导数，记为

定义 设函数z = f ( x, y)在 点( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当y 固定在 0 y 而x 在x0 处有增量 x时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对x 的 偏导数，记为 一、偏导数的定义及其计算法

偏导数的概念可以推广到二元以上函数）处如 u=f(x,y,z) 在x,y,z)f(x+Axr,y,z) - f(x,y,z)fr(x,y,z) = limAxAr-→0f(x,y+ Ay,z) - f(x, y,z)f,(x,y,z) = limAyAy-0f(x,y,z + △z)- f(x,y,z)f,(x,y,z) = limAzAz-→0

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x  +  − =  → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y  +  − =  → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z  +  − =  →

例 1求z=x2+3xy+y在点(1,2) 处的偏导数azaz.解2x+3y;3x+2y.ayaxOz=2×1+3×2=8,x=1axy=2Oz=3×1+2×2=7.X=1ayy=2

例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1,2) 处的偏导数． 解 =   x z 2x + 3y ; =   y z 3x + 2y . =    = = 2 1 y x x z 21+ 32 = 8 , =   = = 2 1 y x y z 31+ 22 = 7

例2设z=x(x>0,x±1)xz1 z求证2z.In x ayyaxOzOz证Jry-1x'Inx,axayxOz11 ozxyrjsInx+yaxInx QyInxy原结论成立。=x"+x* =2z

例 2 设 y z = x (x  0, x  1)， 求证 z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   . 证 =   x z , y−1 yx =   y z x ln x, y y z x x z y x   +   ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1 = + − y y = x + x = 2z. 原结论成立．