面积元素和换元公式广义二重积分因而有(Di) ~ l%(uo, vo) ×%(uo, o)ll hk + o(hk)[(u ) , (u )(10.3)?于是有nmm[ (ui, ) Au;A0.EEf(Pu)o(Du) ~EEf 0 d(ui, v)i=l j=l1 j-1当T→0时，有T→0由上式可得如下定理返回全屏关闭退出6/18
¡ÈÚúª 2ÂÈ© Ï k σ(Dij) ≈ ∂ϕ ∂u(u0, v0) × ∂ϕ ∂v (u0, v0) hk + o(hk) = ∂(x,y) ∂(u,v) (u0, v0) ∆ui∆vj + o(∆ui∆vj) (10.3) u´k X n i=1 X m j=1 f(Pij)σ(Dij) ≈ X n i=1 X m j=1 f ◦ ϕ(ui, vj) ∂(x,y) ∂(u,v) (ui, vj) ∆ui∆vj. kT 0k → 0 , k kT k → 0, dþªXe½n. 6/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
面积元素和换元公式广义二重积分定理 1 设D,D'是由分段光滑曲线围成的区域.映射 (u,)=(α(u,u),y(u,)) 将 D 映为 D,且 是正则的, 即 E C'(D'),且c)(u,0) 0. 若 于(g, ) 在 D 上可积,则有/ f(a, y)da =[( (u, ) dudv.f(r(u, v), y(u, )(10.4)这就是二重积分的换元公式，可简写为[en fda = J/pf o plJpldudy.(10.5)oDD近似式（10.3）在极限状态下可写为a(u,)(10.6)do=dudv.o(u,w)这是变换前区域D上的面积微元与变换后区域D上面积微元之间的关系[( (u, )]/它们相差一个膨胀率（伸缩因子从形式上看，二重积分换元公式与单变量积分换元公式没有太多不同返回全屏关闭退出?7/18
¡ÈÚúª 2ÂÈ© ½ n 1 D, D0 ´ d © ã 1 w ¤ « . N ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) ò D0 N D, ϕ ´K, = ϕ ∈ C1 (D0 ), ∂(x,y) ∂(u,v) (u, v) 6= 0. e f(x, y) 3 D þÈ, Kk ZZ D f(x, y)dσ = ZZ D0 f(x(u, v), y(u, v)) ∂(x,y) ∂(u,v) (u, v) dudv. (10.4) ùÒ´È©úª, { ZZ ϕ(D0) fdσ = ZZ D0 f ◦ ϕ|Jϕ|dudv. (10.5) Cqª (10.3) 34Ge dσ = ∂(x,y) ∂(u,v) (u, v) dudv. (10.6) ù´Cc« D0 þ¡ÈC« D þ¡Èm'X, § )äÇ ( Ïf) ∂(x,y) ∂(u,v) (u, v) . l/ªþw, È©úªüCþÈ©úªvkõØÓ. 7/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ