3.1.2 函数的单调性 第1课时 单调性的定义与证明 课后·训练提升 基础巩固 1.设(a,b),(c,d)都是函数x)的单调递增区间，且x1∈(a,b),x2∈(c,d,x1<x2,则x1)与 x2)的大小关系为() A.fx1)x2) B.Ax1)Ax2) C.fx1)=fx2) D.不能确定 解析：根据单调性的定义，所取两个自变量必须是同一单调区间内的任意两个自变 量，才能由该区间上函数的单调性比较函数值的大小而本题中的x1,2不在同一 单调区间，故x)与x2)的大小不能确定 答案D 2.己知函数x)是R上的增函数，若a∈R,则() A.fa)f2a) B.fa2)<fa) Ca+3)>a-2)D6)>a) 解析：因为函数x)是R上的增函数，且a+3>a-2,所以a+3)>a-2) 答案：C 3.己知函数x)是R上的增函数，A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点，则-1<x)<1的 解集是( A.(-3,0) B.(0,3) C.(-0,-1]U[3,+o)D.(-o,0]U[1,+o) 解析：由已知得0)=-13)=1 则-1≤x<1,即0)x)3) x)在R上是增函数，.0<x<3, ∴.-1<x)<1的解集为(0,3) 答案B 4.下列函数中，在区间(-o,0)内为增函数的是() A.y=-2x B月 C.y=1+2x D.y=x2 解析：选项A,B,D中的函数在区间(-00)内都是减函数，故选C. 答案：C 5.若函数x)在R上是减函数，且x)>1),则x的取值范围是( A.x<1 B.x>-1 C.-1<x<1 D.x<-1或x>1
3.1.2 函数的单调性 第 1 课时 单调性的定义与证明 课后· 基础巩固 1.设(a,b),(c,d)都是函数 f(x)的单调递增区间,且 x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为( ) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.不能确定 解析:根据单调性的定义,所取两个自变量必须是同一单调区间内的任意两个自变 量,才能由该区间上函数的单调性比较函数值的大小.而本题中的 x1,x2 不在同一 单调区间,故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定. 答案:D 2.已知函数 f(x)是 R 上的增函数,若 a∈R,则( ) A.f(a)>f(2a) B.f(a 2 )<f(a) C.f(a+3)>f(a-2) D.f(6)>f(a) 解析:因为函数 f(x)是 R 上的增函数,且 a+3>a-2,所以 f(a+3)>f(a-2). 答案:C 3.已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,则-1<f(x)<1 的 解集是( ) A.(-3,0) B.(0,3) C.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 解析:由已知得 f(0)=-1,f(3)=1, 则-1<f(x)<1,即 f(0)<f(x)<f(3). ∵f(x)在 R 上是增函数,∴0<x<3, ∴-1<f(x)<1 的解集为(0,3). 答案:B 4.下列函数中,在区间(-∞,0)内为增函数的是( ) A.y=-2x B.y= 3 𝑥 C.y=1+2x D.y=x2 解析:选项 A,B,D 中的函数在区间(-∞,0)内都是减函数,故选 C. 答案:C 5.若函数 f(x)在 R 上是减函数,且 f(|x|)>f(1),则 x 的取值范围是( ) A.x<1 B.x>-1 C.-1<x<1 D.x<-1 或 x>1
解析：因为函数x)在R上是减函数，且x)>1),所以x<1,解得-1<x<1. 答案：C 6.已知函数y=x)的图象如图所示，则其单调递增区间为 答案[0,1] 7.函数x)=x-1川+2的单调递增区间为 化+1，x≥1显然函数)在x≥1时单调递增。 解析)3-xx<1, 答案[1，+o0) 8.己知函数x)在区间0，+o)内是减函数，则a2-a+1)与（的大小关系 是 解析：a2-a+1-(a-)+≥子0， 又x)在区间(0，+∞)内是减函数， a2-a+1)≤) 答案a2-a+1)≤() 9.作出函数x)=3x的图象，并求其单调区间. 3x,x≥0， 解x)=3-3x,x<0 图象如图所示 x)的单调递减区间为(-o,0],单调递增区间为[0，+o). 10.已知函数x)=x证明函数x)在区间(-L,+o)内为减函数 x+11 证明：任取x1,X2∈(1，+oo),且x1<x2, 则x1)x2)=2名-2=3x) x1+1x2+1(x1+1)x2+1) x2>x1>-1, ∴.x2-x1>0,(x1+1)x2+1)>0, ∴x1)片2)>0，即x1)Px2), x)在区间(-1，+o)内为减函数 拓展提高 1.已知函数x)在R上是增函数，若a,b∈R,且a+b>0,则(
解析:因为函数 f(x)在 R 上是减函数,且 f(|x|)>f(1),所以|x|<1,解得-1<x<1. 答案:C 6.已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则其单调递增区间为 . 答案:[0,1] 7.函数 f(x)=|x-1|+2 的单调递增区间为 . 解析:f(x)={ 𝑥 + 1,𝑥 ≥ 1, 3-𝑥,𝑥 < 1, 显然函数 f(x)在 x≥1 时单调递增. 答案:[1,+∞) 8.已知函数 f(x)在区间(0,+∞)内是减函数,则 f(a 2 -a+1)与 f( 3 4 )的大小关系 是 . 解析:∵a 2 -a+1=(𝑎- 1 2 ) 2 + 3 4 ≥ 3 4 >0, 又 f(x)在区间(0,+∞)内是减函数, ∴f(a 2 -a+1)≤f( 3 4 ). 答案:f(a 2 -a+1)≤f( 3 4 ) 9.作出函数 f(x)=3|x|的图象,并求其单调区间. 解:f(x)=3|x|={ 3𝑥,𝑥 ≥ 0, -3𝑥,𝑥 < 0. 图象如图所示. f(x)的单调递减区间为(-∞,0],单调递增区间为[0,+∞). 10.已知函数 f(x)= 2-𝑥 𝑥+1 ,证明:函数 f(x)在区间(-1,+∞)内为减函数. 证明:任取 x1,x2∈(-1,+∞),且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= 2-𝑥1 𝑥1 +1 − 2-𝑥2 𝑥2+1 = 3(𝑥2 -𝑥1 ) (𝑥1 +1)(𝑥2 +1) . ∵x2>x1>-1, ∴x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在区间(-1,+∞)内为减函数. 拓展提高 1.已知函数 f(x)在 R 上是增函数,若 a,b∈R,且 a+b>0,则( )
Afa)+nb)>-fa)Ab) B.Aa)+Ab)<-fa)-Ab) Ca)+b)>-a)+-b) D.Aa)+Ab)<A-a)+f-b) 解析：.a+b>0∴a>-b,b>-a. x)在R上是增函数， ∴.a)>-b)b)P-a), ∴a)+b)>-ad)+-b) 答案：C 2.如果函数x)=x2+bx+c对任意实数t都有3+)=3-)，那么() A3)<1)K6)B1)K3)6) C3)<6)1)D.6)K3)≤1) 解析：x)是二次函数，其函数图象为开口向上的抛物线3+)=3-)， ∴.抛物线的对称轴为x=3,且[3，+∞)为函数的单调递增区间. .1)=3-2)=3+2)=5)为 又3<5<6，.3)5)6)， 即3)1)6).故选A. 答案：A 3.己知函数x)= 40是R上的减函数则实数口的取值范围是( -x+3a,x≥0， .0. B(O,) c(o引 D.[0.) 解析：当x<0时，函数x)=x2-ar+1是减函数，解得a≥0；当x≥0时，函数x)= x+3a是减函数，分段点0处的函数值应满足1≥3a,解得a≤故0≤a≤子 答案：A 4.若函数x+1)=x2-2x+1的定义域是[-2,01，则x)的单调递减区间是 解析：，x+1)=x2-2x+1=(x-1)2=(x+1-22, ∴x)=(x-2)2,x∈[-1,1] ∴x)在区间[-1,1]上单调递减 答案[1,1] 5.已知y=x)在定义域(-1,1)内是减函数，且1-a)<2a-1),则实数a的取值范围 是 (-1<1-0<1 解析：由题意，得 -1<2a-1<1,解得0<a< 1-a>2a-1, 即所求a的取值范围是(0，) 答案(0)
A.f(a)+f(b)>-f(a)-f(b) B.f(a)+f(b)<-f(a)-f(b) C.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) 解析:∵a+b>0,∴a>-b,b>-a. ∵f(x)在 R 上是增函数, ∴f(a)>f(-b),f(b)>f(-a), ∴f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b). 答案:C 2.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(3+t)=f(3-t),那么( ) A.f(3)<f(1)<f(6) B.f(1)<f(3)<f(6) C.f(3)<f(6)<f(1) D.f(6)<f(3)<f(1) 解析:∵f(x)是二次函数,其函数图象为开口向上的抛物线,f(3+t)=f(3-t), ∴抛物线的对称轴为 x=3,且[3,+∞)为函数的单调递增区间. ∵f(1)=f(3-2)=f(3+2)=f(5), 又 3<5<6,∴f(3)<f(5)<f(6), 即 f(3)<f(1)<f(6).故选 A. 答案:A 3.已知函数 f(x)={ -𝑥 + 3𝑎,𝑥 ≥ 0, 𝑥 2 -𝑎𝑥 + 1,𝑥 < 0 是 R 上的减函数,则实数 a 的取值范围是( ) A.[0, 1 3 ] B.(0, 1 3 ) C.(0, 1 3 ] D.[0, 1 3 ) 解析:当 x<0 时,函数 f(x)=x2 -ax+1 是减函数,解得 a≥0;当 x≥0 时,函数 f(x)=- x+3a 是减函数,分段点 0 处的函数值应满足 1≥3a,解得 a≤ 1 3 ,故 0≤a≤ 1 3 . 答案:A 4.若函数 f(x+1)=x2 -2x+1 的定义域是[-2,0],则 f(x)的单调递减区间是 . 解析:∵f(x+1)=x2 -2x+1=(x-1)2=(x+1-2)2 , ∴f(x)=(x-2)2 ,x∈[-1,1], ∴f(x)在区间[-1,1]上单调递减. 答案:[-1,1] 5.已知 y=f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,且 f(1-a)<f(2a-1),则实数 a 的取值范围 是 . 解析:由题意,得{ -1 < 1-𝑎 < 1, -1 < 2𝑎-1 < 1, 1-𝑎 > 2𝑎-1, 解得 0<a<2 3 , 即所求 a 的取值范围是(0, 2 3 ). 答案:(0, 2 3 )
6若函数)-片和为常数)在区间(2,2)内为增函数则实数a的取值范围 解析x)=x+ x+2 a+12@ x+2 因为x)在区间(-2,2)内为增函数， 所以1-2a<0,解得a> 答案a 7讨论函数x)-二在(1,1)内的单调性，其中a为非零常数 解：设-1<x1<2<1,则x)2)=受-华=+2 x1x2-1 (x-10x2-1) 因为-1<x1<x2<1, 所以x12+1>0,x2-x1>0,x子-1<0，x2-1<0 当a>0时，x1)x2)>0,即x1)>x2),x)在区间(-1,1)内为减函数： 当a<0时x)x2)<0,即x1)x2)x)在区间(-1,1)内为增函数， 挑战创新 已知函数x)对任意的实数xy都有x+y)=x)+y吵1，且当x>0时x)>1.求证： 函数x)在R上是增函数 证明（方法一）设x1,2是R上的任意两个实数，且x1>x2.令x+y=x1y=x2,则x=x1- x2>0, x1)x2)=x+y)y)=x)+y)1-y)=x)1. ,当x>0时x)>1,∴x)1>0, ∴x1)x2)>0,即x1)Px2). 函数x)在R上是增函数 (方法二)设x1>2,则x1-2>0, 从而x1-x2)>1,即x1-x21>0. 所以x1)=x2+(xI-x2]=x2)+x1-x2少1>x2),故函数x)在R上是增函数
6.若函数 f(x)= 𝑎𝑥+1 𝑥+2 (a 为常数)在区间(-2,2)内为增函数,则实数 a 的取值范围 是 . 解析:f(x)= 𝑎𝑥+1 𝑥+2 =a+1-2𝑎 𝑥+2 . 因为 f(x)在区间(-2,2)内为增函数, 所以 1-2a<0,解得 a>1 2 . 答案:a>1 2 7.讨论函数 f(x)= 𝑎𝑥 𝑥 2 -1在(-1,1)内的单调性,其中 a 为非零常数. 解:设-1<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)= 𝑎𝑥1 𝑥1 2 -1 − 𝑎𝑥2 𝑥2 2 -1 = 𝑎(𝑥1 𝑥2 +1)(𝑥2 -𝑥1 ) (𝑥1 2 -1)(𝑥2 2 -1) . 因为-1<x1<x2<1, 所以 x1x2+1>0,x2-x1>0,𝑥1 2 -1<0,𝑥2 2 -1<0. 当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),f(x)在区间(-1,1)内为减函数; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),f(x)在区间(-1,1)内为增函数. 挑战创新 已知函数 f(x)对任意的实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当 x>0 时,f(x)>1.求证: 函数 f(x)在 R 上是增函数. 证明:(方法一)设 x1,x2 是 R 上的任意两个实数,且 x1>x2.令 x+y=x1,y=x2,则 x=x1- x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x+y)-f(y)=f(x)+f(y)-1-f(y)=f(x)-1. ∵当 x>0 时,f(x)>1,∴f(x)-1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). ∴函数 f(x)在 R 上是增函数. (方法二)设 x1>x2,则 x1-x2>0, 从而 f(x1-x2)>1,即 f(x1-x2)-1>0. 所以 f(x1)=f[x2+(x1-x2)]=f(x2)+f(x1-x2)-1>f(x2),故函数 f(x)在 R 上是增函数