第2课时与不等式性质有关的证明问题 课后·训练提升 1.不等式：①a2+2>2a,②a2+b2≥2(a-b-1)③a2+b2≥ab恒成立的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析：.a2+2-2a=(a-1)2+1>0,∴.①恒成立； a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+12≥0， ∴②恒成立； a2+6b-(a- ）+b2≥0， ∴③恒成立 答案D 2.已知a<b<c,且a+b+c=0,则( A.b2-4ac>0 B.b2-.4ac=0 C.b2-4ac<0 D.不能确定b2-4ac的符号 解析：，a<b<c,a+b+c=0, .b2-4ac=(-a-c)2-4ac=(a-c2>0. 答案A 3.要证a2+b2-1-a2b2≤0，只需证明() A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2.1+b≤0 C.a+b1-a2b≤0D.(a2-1b2-1)≥0 解析：.(a2-1)b2-1)≥0→a2+b2-1-a2b2≤0， ∴.由分析法知选D 答案D 4用反证法证明“已知a,bc均为正实数，且a+b+c=l,求证（台-1）（信-1）（任-1）≥8 时，应假设( ) A.a+b+c≠1 B.(&-16-1)(-1)>8 c(任-1)信-1)-18 D(1)G-1)-1)8 答案D 5.设a,b∈R,若a+b<0,则下列不等式成立的是() A.a-b>0 B.a3+b3>0
第 2 课时 与不等式性质有关的证明问题 课后· 1.不等式:①a 2+2>2a;②a 2+b2≥2(a-b-1);③a 2+b2≥ab 恒成立的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:∵a 2+2-2a=(a-1)2+1>0,∴①恒成立; ∵a 2+b2 -2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0, ∴②恒成立; ∵a 2+b2 -ab=(𝑎- 𝑏 2 ) 2 + 3 4 b 2≥0, ∴③恒成立. 答案:D 2.已知 a<b<c,且 a+b+c=0,则( ) A.b 2 -4ac>0 B.b 2 -4ac=0 C.b 2 -4ac<0 D.不能确定 b 2 -4ac 的符号 解析:∵a<b<c,a+b+c=0, ∴b 2 -4ac=(-a-c) 2 -4ac=(a-c) 2>0. 答案:A 3.要证 a 2+b2 -1-a 2b 2≤0,只需证明( ) A.2ab-1-a 2b 2≤0 B.a 2+b2 -1- 𝑎 4+𝑏 4 2 ≤0 C. (𝑎+𝑏) 2 2 -1-a 2b 2≤0 D.(a 2 -1)(b 2 -1)≥0 解析:∵(a 2 -1)(b 2 -1)≥0⇒a 2+b2 -1-a 2b 2≤0, ∴由分析法知选 D. 答案:D 4.用反证法证明“已知 a,b,c 均为正实数,且 a+b+c=1,求证:( 1 𝑎 -1) ( 1 𝑏 -1) ( 1 𝑐 -1)≥8” 时,应假设( ) A.a+b+c≠1 B.( 1 𝑎 -1) ( 1 𝑏 -1) ( 1 𝑐 -1)>8 C.( 1 𝑎 -1) ( 1 𝑏 -1) ( 1 𝑐 -1)≠8 D.( 1 𝑎 -1) ( 1 𝑏 -1) ( 1 𝑐 -1)<8 答案:D 5.设 a,b∈R,若 a+|b|<0,则下列不等式成立的是( ) A.a-b>0 B.a 3+b3>0
C.a2-b2<0 D.a+b<0 解析：，a+b<0,∴.a<-b1≤0 .当b≥0时，a<-b,.a+b<0 当b<0时，a<b<-b,∴.a+b<0. 故选D 答案D 6.若-1<a<b<0,则() Ag<R<B酷<a2<2 Ca<ibd Da<pd<b 解析：.a<b<0,∴.-a>-b>0,.a2>b2>0 又a<0,60ab>0品<品<0 即<1<0 片<b<a 答案：A 7.下列命题是真命题的是 (填序号) ①a>b0.d>c>0→是>÷2a>b,c>dac>bt③g>÷→a>b6,④a>b→a>bn∈ N+,n>1) 解析：对于①，.a>b>0,d>c>0 “ad>bc,即>故①是真命题 对于②，令a=1,b=0,c=2,d=-10,满足a>b,c>d,但a-c=-1,b-d=10,有a-c<b-d,故②是 假命题； 对于③，“c2>0,∴是>是→>b,故③是真命题 对于④，令a=-1,b=-2,n=2,则有a>b,但a2<b2,故④是假命题 综上可知，①③是真命题 答案：①③ 若规定斗则与。的大小关系为 (a,b∈R,a≠b) 解标：由题意得到。a+。-2ab a+b-2ab-(a-bF-0.l 答案6>6。 9.己知a,bc均为正实数，且b>a,求证>（佣分析法证明）
C.a 2 -b 2<0 D.a+b<0 解析:∵a+|b|<0,∴a<-|b|≤0. ∴当 b≥0 时,a<-b,∴a+b<0; 当 b<0 时,a<b<-b,∴a+b<0. 故选 D. 答案:D 6.若-1<a<b<0,则( ) A. 1 𝑏 < 1 𝑎 <b2<a2 B. 1 𝑏 < 1 𝑎 <a2<b2 C. 1 𝑎 < 1 𝑏 <b2<a2 D. 1 𝑎 < 1 𝑏 <a2<b2 解析:∵a<b<0,∴-a>-b>0,∴a 2>b2>0. 又 a<0,b<0,∴ab>0,∴ 𝑎 𝑎𝑏 < 𝑏 𝑎𝑏 <0, 即 1 𝑏 < 1 𝑎 <0. ∴ 1 𝑏 < 1 𝑎 <b2<a2 . 答案:A 7.下列命题是真命题的是 .(填序号) ①a>b>0,d>c>0⇒ 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑑 ;②a>b,c>d⇒a-c>b-d;③ 𝑎 𝑐 2 > 𝑏 𝑐 2⇒a>b;④a>b⇒a n>bn (n∈ N+,n>1). 解析:对于①,∵a>b>0,d>c>0, ∴ad>bc,即 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑑 ,故①是真命题; 对于②,令 a=1,b=0,c=2,d=-10,满足 a>b,c>d,但 a-c=-1,b-d=10,有 a-c<b-d,故②是 假命题; 对于③,∴c 2>0,∴ 𝑎 𝑐 2 > 𝑏 𝑐 2⇒a>b,故③是真命题; 对于④,令 a=-1,b=-2,n=2,则有 a>b,但 a 2<b2 ,故④是假命题. 综上可知,①③是真命题. 答案:①③ 8.若规定| 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 |=ad-bc,则| 𝑎 -𝑏 𝑏 𝑎 | 与 | 𝑎 -𝑎 𝑏𝑏 |的大小关系为 . (a,b∈R,a≠b) 解析:由题意,得| 𝑎 -𝑏 𝑏𝑎 |=a2+b2 ,| 𝑎 -𝑎 𝑏𝑏 |=2ab. ∵a 2+b2 -2ab=(a-b) 2>0,∴| 𝑎 -𝑏 𝑏𝑎 | > | 𝑎 -𝑎 𝑏𝑏 |. 答案:| 𝑎 -𝑏 𝑏𝑎 | > | 𝑎 -𝑎 𝑏𝑏 | 9.已知 a,b,c 均为正实数,且 b>a,求证: 𝑎+𝑐 𝑏+𝑐 > 𝑎 𝑏 .(用分析法证明)
证明要证>号且a,bc均为正实数， b+c 只需证(a+c)b>a(b+c, 只需证bc>ac. 只需证b>a. 因为b>a成立所以>号 10.用反证法证明√2+V6<2V5. 证明：假设V2+V6≥2V5,则(W2+V6?≥(2V5),即8+4V3≥20，化简，得V3≥3. 因为√3≥3不成立， 所以假设不成立， 所以v2+√6<25
证明:要证𝑎+𝑐 𝑏+𝑐 > 𝑎 𝑏 ,且 a,b,c 均为正实数, 只需证(a+c)b>a(b+c), 只需证 bc>ac. 只需证 b>a. 因为 b>a 成立,所以𝑎+𝑐 𝑏+𝑐 > 𝑎 𝑏 . 10.用反证法证明:√2 + √6<2√5. 证明:假设√2 + √6≥2√5,则(√2 + √6) 2≥(2√5) 2 ,即 8+4√3≥20,化简,得√3≥3. 因为√3≥3 不成立, 所以假设不成立, 所以√2 + √6<2√5