第4课时分段函数及其应用 课后·训练提升 基础巩固 1已知函数-+2女<6则和停于 A.2 B.3 C.4 D.5 解析：3)=3+2)=5)，5)=5+2)=7) 7)=7-5=2,3)=2 答案：A 2.下列图形是函数y=xx的图象的是( 解析y=x= x2x≥0，故选D -x2,x<0, 答案D 2x2,0≤x≤1 3.函数x)=2,1<x<2,的值域是() 3,x≥2 A.R B.[0,+oo) C.[0,3] D.{x0≤x≤2或x=3} 解析：当0≤x≤1时x)=2x2∈[0,2]： 当1<x<2时x)=2;当x≥2时x)=3, 故x)的值域为{x0≤x≤2或x=3} 答案D 4.拟定从甲地到乙地通话mmin的话费（单位：元）符合 )一仔68S调千么m>4共中侧装不不超过m的设大整数则从甲地到乙 地通话5.2min的话费是() A.3.71元 B.4.24元 C.4.77元 D.7.95元 解析：5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=1.06×(2.5+2)=4.77（元） 答案：C
第 4 课时 分段函数及其应用 课后· 基础巩固 1.已知函数 f(x)={ 𝑥-5,𝑥 ≥ 6, 𝑓(𝑥 + 2),𝑥 < 6, 则 f(3)等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:f(3)=f(3+2)=f(5),f(5)=f(5+2)=f(7). ∵f(7)=7-5=2,∴f(3)=2. 答案:A 2.下列图形是函数 y=x|x|的图象的是( ) 解析:y=x|x|={ 𝑥 2 ,𝑥 ≥ 0, -𝑥 2 ,𝑥 < 0, 故选 D. 答案:D 3.函数 f(x)={ 2𝑥 2 ,0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 2,1 < 𝑥 < 2, 3,𝑥 ≥ 2 的值域是( ) A.R B.[0,+∞) C.[0,3] D.{x|0≤x≤2 或 x=3} 解析:当 0≤x≤1 时,f(x)=2x 2∈[0,2]; 当 1<x<2 时,f(x)=2;当 x≥2 时,f(x)=3. 故 f(x)的值域为{x|0≤x≤2 或 x=3}. 答案:D 4.拟定从甲地到乙地通话 m min 的话费(单位:元)符合 f(m)={ 3.71,0 < 𝑚 ≤ 4, 1.06(0.5[𝑚] + 2),𝑚 > 4, 其中[m]表示不超过 m 的最大整数,则从甲地到乙 地通话 5.2 min 的话费是( ) A.3.71 元 B.4.24 元 C.4.77 元 D.7.95 元 解析:f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=1.06×(2.5+2)=4.77(元). 答案:C
2x,0≤x≤1， 5.函数x)= 2,1<x<2,的定义域是 3,x≥2 解析x)的定义域为[0,1]U(1,2)U[2,+o)=[0,+o) 答案[0，+o) 6已知通数好女 若x)=3,则x的值是 解析：当x≤-1时，x+2=3,解得x=1,不合题意： 当-1<x<2时，x2=3,解得x=V3或x=-V3(舍去) 故x=V3 答案√3 7若定义运算aob=他，a≥b则函数)=xo(2-x的值域为 la,a<b, =f) 解析：由题意，得x)= 2-x,x≥1画出函数x)的图象得其值域是(，1门 (x,x<1, 答案(-0,1] (x+4,x≤0， 8.已知函数x)=x2-2x,0<x≤4， -x+2,x>4. (1)求5))的值： (2)画出函数x)的图象 解(1).5>4，∴5)=-5+2=-3. -3<0,5)=-3)=-3+4=1. .0<1≤4，.5)》=1)=12-2×1=-1 即5))=-1. (2)(x)的图象如图所示. 8) 9.在边长为4的正方形ABCD的边上有一动点P,从点B开始，沿折线BCDA向A 点运动（如图）.设点P移动的距离为x,△ABP的面积为y,求函数y=x)及其定义 域
5.函数 f(x)={ 2𝑥,0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 2,1 < 𝑥 < 2, 3,𝑥 ≥ 2 的定义域是 . 解析:f(x)的定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2,+∞)=[0,+∞). 答案:[0,+∞) 6.已知函数 f(x)={ 𝑥 + 2,𝑥 ≤ -1, 𝑥 2 ,-1 < 𝑥 < 2, 若 f(x)=3,则 x 的值是 . 解析:当 x≤-1 时,x+2=3,解得 x=1,不合题意; 当-1<x<2 时,x 2=3,解得 x=√3或 x=-√3(舍去). 故 x=√3. 答案:√3 7.若定义运算 a☉b={ 𝑏,𝑎 ≥ 𝑏, 𝑎,𝑎 < 𝑏, 则函数 f(x)=x☉(2-x)的值域为 . 解析:由题意,得 f(x)={ 2-𝑥,𝑥 ≥ 1, 𝑥,𝑥 < 1, 画出函数 f(x)的图象得其值域是(-∞,1]. 答案:(-∞,1] 8.已知函数 f(x)={ 𝑥 + 4,𝑥 ≤ 0, 𝑥 2 -2𝑥,0 < 𝑥 ≤ 4, -𝑥 + 2,𝑥 > 4. (1)求 f(f(f(5)))的值; (2)画出函数 f(x)的图象. 解:(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3. ∵-3<0,∴f(f(5))=f(-3)=-3+4=1. ∵0<1≤4,∴f(f(f(5)))=f(1)=1 2 -2×1=-1, 即 f(f(f(5)))=-1. (2)f(x)的图象如图所示. 9.在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一动点 P,从点 B 开始,沿折线 BCDA 向 A 点运动(如图).设点 P 移动的距离为 x,△ABP 的面积为 y,求函数 y=f(x)及其定义 域
解：如图，当点P在线段BC上，即0≤x≤4时y=之×4x=2x 当点P在线段CD上，即4<x≤8时，y=二×4×4=8： 2 当点P在线段DA上，即8<x≤12时y=2×4×(12-x)=24-2x 2x,0≤x≤4， 故y=x)=8,4<x≤8， 24-2x,8<x≤12 且x)的定义域是[0,12] 拓展提高 1,x>0 1.设x∈R定义符号函数sgnx=0,x=0,则( -1,x<0, A.xsgnxl B.=xsgnxl C.x=xlsgn x D.l=xsgn x 解析：当x<0时，x=-x,xsgn x=x.xsgnx=x,xsgn x=(-x)(-1)=x,排除A,B,C,故选 D. 答案D 2.设函数0<x1若a=a+1)则)() 2(x-1),x≥1， A.2 B.4 c.6 D.8 解析：由已知得a>0,则a+1>1. a)=a+1), ∴√a=2(a+1-1), 解得a=∴（得）4)=2×4-1)=6，故选C 答案：C 3.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过103 的，按每立方米m元收费：用水超过10m3的，超过部分按每立方米2m元收费.某 职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为() A.13m3 B.14m3 C.18m3 D.26m3
解:如图,当点 P 在线段 BC 上,即 0≤x≤4 时,y= 1 2 ×4x=2x; 当点 P 在线段 CD 上,即 4<x≤8 时,y= 1 2 ×4×4=8; 当点 P 在线段 DA 上,即 8<x≤12 时,y= 1 2 ×4×(12-x)=24-2x. 故 y=f(x)={ 2𝑥,0 ≤ 𝑥 ≤ 4, 8,4 < 𝑥 ≤ 8, 24-2𝑥,8 < 𝑥 ≤ 12, 且 f(x)的定义域是[0,12]. 拓展提高 1.设 x∈R,定义符号函数 sgn x={ 1,𝑥 > 0, 0,𝑥 = 0, -1,𝑥 < 0, 则( ) A.|x|=x|sgn x| B.|x|=xsgn|x| C.|x|=|x|sgn x D.|x|=xsgn x 解析:当 x<0 时,|x|=-x,x|sgn x|=x,xsgn|x|=x,|x|sgn x=(-x)·(-1)=x,排除 A,B,C,故选 D. 答案:D 2.设函数 f(x)={ √𝑥,0 < 𝑥 < 1, 2(𝑥-1),𝑥 ≥ 1, 若 f(a)=f(a+1),则 f( 1 𝑎 )=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:由已知得 a>0,则 a+1>1. ∵f(a)=f(a+1), ∴√𝑎=2(a+1-1), 解得 a= 1 4 ,∴f( 1 𝑎 )=f(4)=2×(4-1)=6,故选 C. 答案:C 3.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水不超过 10 m3 的,按每立方米 m 元收费;用水超过 10 m3 的,超过部分按每立方米 2m 元收费.某 职工某月缴水费 16m 元,则该职工这个月实际用水为( ) A.13 m3 B.14 m3 C.18 m3 D.26 m3
解析：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为 -6010 由y=16m,可知x>10. 令2mx-10m=16m,解得x=13(m3). 答案A 4.如图，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则该函数的解析式 为 解析：当x≤1时，设x)=x+b,由0)=b=21)=k+b=1,得b=2,k=-1,即x)=x+2; 同理可得当x≥3时，x)=x-2,当1≤x≤3时，设x)=a(x-2}+2,a<0,又1)=a(1- 22+2=1,解得a=-1, 则x)=-(x-2)2+2=-x2+4x-2 (-x+2,x≤1， 所以x)=-x2+4x-2,1<x<3, x-2,x≥3. -x+2,x≤1 答案y=} -x2+4x-2,1<x<3, x-2,x≥3 5已知)=之0则不等式+x≤2的解集是 0,x<0, 解析：当x≥0时x)=1,代入xx)+x≤2，解得x≤1，即0≤x≤1；当x<0时x)=0,代 入x)+x≤2，解得x≤2，即x<0.综上可知x≤1. 答案：{xk≤I} 6分段丽数和-三0可以表示为分段商数仔经三务可表示为 x)=x+3-x-3)仿照上述式子，分段函数x) 6,x<6可表示为 (x,x≥6 x)= 解析：国为仔可表示为+3-3儿共分界点为3，从而式子中含 有x+3与x-3,并通过x-3引前面的“构造出需要的结果的形式.所以，对于分段函数 8共分界点为6数式子中痘合有x46与x6又当x6时=6故 6的前面应取“+”.因此x)=x+6+r-6) 答案x+6+x-6) 7.为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定：每季度每人用水量不超 过5t时，每吨水费收基本价1.3元；若超过5t而不超过6t,则超过部分水费加收
解析:该单位职工每月应缴水费 y 与实际用水量 x 满足的关系式为 y={ 𝑚𝑥,0 ≤ 𝑥 ≤ 10, 2𝑚𝑥-10𝑚,𝑥 > 10. 由 y=16m,可知 x>10. 令 2mx-10m=16m,解得 x=13(m3 ). 答案:A 4.如图,函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成,则该函数的解析式 为 . 解析:当 x≤1 时,设 f(x)=kx+b,由 f(0)=b=2,f(1)=k+b=1,得 b=2,k=-1,即 f(x)=-x+2; 同理可得当 x≥3 时,f(x)=x-2;当 1≤x≤3 时,设 f(x)=a(x-2)2+2,a<0,又 f(1)=a(1- 2)2+2=1,解得 a=-1, 则 f(x)=-(x-2)2+2=-x 2+4x-2, 所以 f(x)={ -𝑥 + 2,𝑥 ≤ 1, -𝑥 2 + 4𝑥-2,1 < 𝑥 < 3, 𝑥-2,𝑥 ≥ 3. 答案:y={ -𝑥 + 2,𝑥 ≤ 1, -𝑥 2 + 4𝑥-2,1 < 𝑥 < 3, 𝑥-2,𝑥 ≥ 3 5.已知 f(x)={ 1,𝑥 ≥ 0, 0,𝑥 < 0, 则不等式 xf(x)+x≤2 的解集是 . 解析:当 x≥0 时,f(x)=1,代入 xf(x)+x≤2,解得 x≤1,即 0≤x≤1;当 x<0 时,f(x)=0,代 入 xf(x)+x≤2,解得 x≤2,即 x<0.综上可知 x≤1. 答案:{x|x≤1} 6.分段函数 f(x)={ 𝑥,𝑥 > 0, -𝑥,𝑥 ≤ 0 可以表示为 f(x)=|x|,分段函数 f(x)={ 𝑥,𝑥 ≤ 3, 3,𝑥 > 3 可表示为 f(x)= 1 2 (x+3-|x-3|).仿照上述式子,分段函数 f(x)={ 6,𝑥 < 6, 𝑥,𝑥 ≥ 6 可表示为 f(x)= . 解析:因为 f(x)={ 𝑥,𝑥 ≤ 3, 3,𝑥 > 3 可表示为 f(x)= 1 2 (x+3-|x-3|),其分界点为 3,从而式子中含 有 x+3 与 x-3,并通过|x-3|前面的“-”构造出需要的结果的形式.所以,对于分段函数 f(x)={ 6,𝑥 < 6, 𝑥,𝑥 ≥ 6, 其分界点为 6,故式子中应含有 x+6 与 x-6.又当 x<6 时,f(x)=6,故|x- 6|的前面应取“+”.因此 f(x)= 1 2 (x+6+|x-6|). 答案: 1 2 (x+6+|x-6|) 7.为鼓励节约用水,某市打算出台一项水费政策措施,规定:每季度每人用水量不超 过 5 t 时,每吨水费收基本价 1.3 元;若超过 5 t 而不超过 6 t,则超过部分水费加收
200%:若超过6t而不超过7t时，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实 际用水量为xtx≤7)，试计算，本季度他应交多少水费？ 解：用y表示本季度应交水费（单位：元）】 当0<x≤5时y1=1.3x. 当5<x≤6时，应把x分成两部分：5与(x-5)分别计算，第一部分收基本水费 1.3×5(元)，第二部分由基本水费与加价水费组成，即 1.3x-5)+1.3x-5)200%=1.3(x-5)1+200%), 即y2=1.3×5+1.3x-5)1+200%)=3.9x-13.当6<x≤7时，同理3=1.3×5+1.3×(6- 5)×(1+200%)+1.3x-6)(1+400%)=6.5x-28.6. 1.3x,0<x≤5， 综上y= 3.9x-13,5<x≤6， 6.5x-28.6,6<x≤7 挑战创新 己知函数x)=x-3引-x+1 (1)求x)的值域； (2)解不等式：x)>0: (3)若直线y=a与x)的图象无交点，求实数a的取值范围. 解：若x≤-1，则x-3<0,x+1≤0 x)=-(x-3)+(x+1)=4 若-1<x≤3，则x-3≤0，x+1>0, x)=-(x-3)(x+1)=-2x+2; 若x>3,则x-3>0x+1>0 x)=(x-3)H(x+1)=-4 4,x≤-1， 故x)= -2x+2,-1<x≤3 -4,x>3. (1)当-1<x≤3时，4≤-2x+2<4 故x)的值域为[4,4)U{4}U{-4}=[4,4] 2e0脚5。o 25@ 4。回 解①得x≤-1，解②得-1<x<1,解③得x∈⑦ 故x)>0的解集为(-0，-1]U(-1,1)U⑦=(-0,1)】 (3)x)的图象如下：
200%;若超过 6 t 而不超过 7 t 时,超过部分的水费加收 400%.如果某人本季度实 际用水量为 x t(x≤7),试计算,本季度他应交多少水费? 解:用 y 表示本季度应交水费(单位:元). 当 0<x≤5 时,y1=1.3x. 当 5<x≤6 时,应把 x 分成两部分:5 与(x-5)分别计算,第一部分收基本水费 1.3×5(元),第二部分由基本水费与加价水费组成,即 1.3(x-5)+1.3(x-5)·200%=1.3(x-5)(1+200%), 即 y2=1.3×5+1.3(x-5)(1+200%)=3.9x-13.当 6<x≤7 时,同理 y3=1.3×5+1.3×(6- 5)×(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%)=6.5x-28.6. 综上,y={ 1.3𝑥,0 < 𝑥 ≤ 5, 3.9𝑥-13,5 < 𝑥 ≤ 6, 6.5𝑥-28.6,6 < 𝑥 ≤ 7. 挑战创新 已知函数 f(x)=|x-3|-|x+1|. (1)求 f(x)的值域; (2)解不等式:f(x)>0; (3)若直线 y=a 与 f(x)的图象无交点,求实数 a 的取值范围. 解:若 x≤-1,则 x-3<0,x+1≤0, f(x)=-(x-3)+(x+1)=4; 若-1<x≤3,则 x-3≤0,x+1>0, f(x)=-(x-3)-(x+1)=-2x+2; 若 x>3,则 x-3>0,x+1>0, f(x)=(x-3)-(x+1)=-4. 故 f(x)={ 4,𝑥 ≤ -1, -2𝑥 + 2,-1 < 𝑥 ≤ 3, -4,𝑥 > 3. (1)当-1<x≤3 时,-4≤-2x+2<4. 故 f(x)的值域为[-4,4)∪{4}∪{-4}=[-4,4]. (2)f(x)>0,即{ 𝑥 ≤ -1, 4 > 0 ① 或{ -1 < 𝑥 ≤ 3, -2𝑥 + 2 > 0 ② 或{ 𝑥 > 3, -4 > 0, ③ 解①得 x≤-1,解②得-1<x<1,解③得 x∈⌀. 故 f(x)>0 的解集为(-∞,-1]∪(-1,1)∪⌀=(-∞,1). (3)f(x)的图象如下: