2.2不等式 2.2.1 不等式及其性质 第1课时不等式的性质 课后·训练提升 1.已知α，b分别对应数轴上的A,B两点，且A在原点的右侧，B在原点的左侧，则下 列不等式成立的是( A.a-b≤0 B.a+b<0 C.la>b D.a2+b2≥-2ab 解析：由题意，得a>0,b<0,故A不成立，B,C都不一定成立，D成立 答案D 2.设M=3x2-x+1,N=2x2+x,则( ) A.M-N B.M<N C.M<N D.M≥N 解析：.M-W=(3x2-x+1)H(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，∴.M≥N 答案D 3.设0<a<b,且a+b=1,则四个数2a,2a,a2+b2中最小的数是( ) A好 B.a C.2a D.a2+62 解析：由0<a<b及a+b=1,得0<a<2a<2a,故只需比较a2+b2与a的大小即可. 由0<a<2得a2+b2-a=a2+(1-aP-a=2a2-3a+1>0. 故a最小 答案B 4.设a,b,c∈R,且a>b,则( A.ac>bc B后<片 C.a2>b2 D.a3>b3 解析：由a>b,c∈R,不能得到ac>bc,所以排除A选项. 假设a=2,b=-3,则B,C选项都不成立.易知D选项成立 答案D 5.若a>b>0,c<dk0,则一定有( A> B号、 C ce>a De<a 解析：c心水0，<0分0
2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质 第 1 课时 不等式的性质 课后· 1.已知 a,b 分别对应数轴上的 A,B 两点,且 A 在原点的右侧,B 在原点的左侧,则下 列不等式成立的是( ) A.a-b≤0 B.a+b<0 C.|a|>|b| D.a 2+b2≥-2ab 解析:由题意,得 a>0,b<0,故 A 不成立,B,C 都不一定成立,D 成立. 答案:D 2.设 M=3x 2 -x+1,N=2x 2+x,则( ) A.M>N B.M<N C.M≤N D.M≥N 解析:∵M-N=(3x 2 -x+1)-(2x 2+x)=x2 -2x+1=(x-1)2≥0,∴M≥N. 答案:D 3.设 0<a<b,且 a+b=1,则四个数1 2 ,a,2a,a 2+b2 中最小的数是( ) A. 1 2 B.a C.2a D.a 2+b2 解析:由 0<a<b 及 a+b=1,得 0<a<1 2 ,a<2a,故只需比较 a 2+b2 与 a 的大小即可. 由 0<a<1 2 ,得 a 2+b2 -a=a2+(1-a) 2 -a=2a 2 -3a+1>0. 故 a 最小. 答案:B 4.设 a,b,c∈R,且 a>b,则( ) A.ac>bc B. 1 𝑎 < 1 𝑏 C.a 2>b2 D.a 3>b3 解析:由 a>b,c∈R,不能得到 ac>bc,所以排除 A 选项. 假设 a=2,b=-3,则 B,C 选项都不成立.易知 D 选项成立. 答案:D 5.若 a>b>0,c<d<0,则一定有( ) A. 𝑎 𝑑 > 𝑏 𝑐 B. 𝑎 𝑑 < 𝑏 𝑐 C. 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑑 D. 𝑎 𝑐 < 𝑏 𝑑 解析:∵c<d<0,∴ 1 𝑑 < 1 𝑐 <0,∴- 1 𝑑 >- 1 𝑐 >0
"a>b>0g>b0, d c <总故选B 答案B 6.设a=x2+1-2x,b=x2-8x+16,且3<x<4,则va与Vb的大小关系为() A.Va<vb B.√a=vb C.va>Vb D.无法判断 解析：由题意，得a=(x-1)2,b=(x-4)2 .3<x<4,Va=x-l,Vb=4-x .Va-Vb=(x-1)(4-x)=2x-5>0, 即va>Vb 答案：C 7设a∈R,则ra<0是1aK1的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解折：国为2a+1-(a)}+>0, 所以a0→a-1<0*aK1 若1a<1,则-1<a<1,所以a-1<0.故选C a2.a+1 答案：C 8若：<0，则下列结论不正确的是( A.a2<b2 B.ab<b2 C2+8>2 D.la-b=a-bl a b 解析：可取特殊值，令a=-1,b=-2代入验证知选项D不正确， 答案D 9.已知a<0,-1<b<0,则下列不等式成立的是() A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a C.ab-a-ab2 D.ab>ab2>a 解析：因为-1<b<0,所以0<b2<1 所以a<ab2<0,且ab>0,故选D 本题也可以根据α，b的取值范围取特殊值，比如令a=-l,b=三也容易得到正确答 案 答案D 10.己知两实数a=-2x2+2x-10,b=-x2+3x-9,a,b分别对应数轴上两点A,B,则点A在 点B的 ,(填“左边”或“右边”) 解析：.a-b=-2x2+2x-10+x2-3x+9=-x2-x-1=-(x2+x+1)<0, ∴.a<b,∴点A在点B的左边
∵a>b>0,∴- 𝑎 𝑑 >- 𝑏 𝑐 >0, ∴ 𝑎 𝑑 < 𝑏 𝑐 ,故选 B. 答案:B 6.设 a=x2+1-2x,b=x2 -8x+16,且 3<x<4,则√𝑎与√𝑏的大小关系为( ) A.√𝑎 < √𝑏 B.√𝑎 = √𝑏 C.√𝑎 > √𝑏 D.无法判断 解析:由题意,得 a=(x-1)2 ,b=(x-4)2 . ∵3<x<4,∴√𝑎=x-1,√𝑏=4-x, ∴√𝑎 − √𝑏=(x-1)-(4-x)=2x-5>0, 即√𝑎 > √𝑏. 答案:C 7.设 a∈R,则“ 𝑎-1 𝑎 2-𝑎+1 <0”是“|a|<1”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:因为 a 2 -a+1=(𝑎- 1 2 ) 2 + 3 4 >0, 所以 𝑎-1 𝑎 2-𝑎+1 <0⇒a-1<0 |a|<1; 若|a|<1,则-1<a<1,所以 𝑎-1 𝑎 2-𝑎+1 <0.故选 C. 答案:C 8.若 1 𝑎 < 1 𝑏 <0,则下列结论不正确的是( ) A.a 2<b2 B.ab<b2 C. 𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 >2 D.|a|-|b|=|a-b| 解析:可取特殊值,令 a=-1,b=-2 代入验证知选项 D 不正确. 答案:D 9.已知 a<0,-1<b<0,则下列不等式成立的是( ) A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a 解析:因为-1<b<0,所以 0<b2<1. 所以 a<ab2<0,且 ab>0,故选 D. 本题也可以根据 a,b 的取值范围取特殊值,比如令 a=-1,b=- 1 2 ,也容易得到正确答 案. 答案:D 10.已知两实数 a=-2x 2+2x-10,b=-x 2+3x-9,a,b 分别对应数轴上两点 A,B,则点 A 在 点 B 的 .(填“左边”或“右边”) 解析:∵a-b=-2x 2+2x-10+x2 -3x+9=-x 2 -x-1=-(x 2+x+1)<0, ∴a<b,∴点 A 在点 B 的左边
答案：左边 11.己知下面三个不等式：①ab>0,②c<2③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一 个作为结论，则可以组成 个真命题 答案3 12.已知a>0,b>0,M=a+Vb,N=Va+b,则M,N的大小关系为 解析：易知M心0，N>0. .M-N2=(Va+Vb)2-(Va+b)2=2Vab-0,.'.M>N2,..M-N 答案：MN 13.若(a+1)P>(a+1)3,则实数a的取值范围是 解析：(a+1P>(a+1)P, ∴.(a+1)2-(a+1)3=-a(a+12>0 ∴.a<0,且at-1 答案(-0，-1)U(1,0) 14.已知不等式：①a<0<b:②b<a<0:③b<0<a;④0<b<a;⑤b<a,且ab>0:⑥a<b,且 ab<0.其中能使：<成立的是】 (填序号) a 解析总<吉台器<09ba与ab异号，然后再逐个进行验证，可知①②@⑤@都能 ab 使：<日 答案：①②④⑤⑥ 15设0b>0试比较与的大小 atb 解b2 a-b 'a2+b2atb _(a+bXa2-b2)-(a-bXa2+b2) (a2+b2)(a+b) =(a-b(a+b)2-(a2+b2J (a2+b2)(a+b) 2ab(a-b) (a+b)(a2+b2) .a>b>0, ∴.a+b>0,a-b>0,2ab>0,a2+b2>0 动0器>器 16.设P=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若P>Q,求实数a,b应满足的条件 解：P-Q=2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+22 .P>Q,.(ab-1)2+(a+22>0 ∴.ab≠1或a味-2 即实数a,b应满足的条件为ab≠1或a≠-2
答案:左边 11.已知下面三个不等式:①ab>0;②- 𝑐 𝑎 <- 𝑑 𝑏 ;③bc>ad.以其中两个作为条件,余下一 个作为结论,则可以组成 个真命题. 答案:3 12.已知 a>0,b>0,M=√𝑎 + √𝑏,N=√𝑎 + 𝑏,则 M,N 的大小关系为 . 解析:易知 M>0,N>0. ∵M2 -N2=(√𝑎 + √𝑏) 2 -(√𝑎 + 𝑏) 2=2√𝑎𝑏>0,∴M2>N2 ,∴M>N. 答案:M>N 13.若(a+1)2>(a+1)3 ,则实数 a 的取值范围是 . 解析:∵(a+1)2>(a+1)3 , ∴(a+1)2 -(a+1)3=-a(a+1)2>0, ∴a<0,且 a≠-1. 答案:(-∞,-1)∪(-1,0) 14.已知不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a;⑤b<a,且 ab>0;⑥a<b,且 ab<0.其中能使1 𝑎 < 1 𝑏 成立的是 .(填序号) 解析: 1 𝑎 < 1 𝑏 ⇔ 𝑏-𝑎 𝑎𝑏 <0⇔b-a 与 ab 异号,然后再逐个进行验证,可知①②④⑤⑥都能 使 1 𝑎 < 1 𝑏 . 答案:①②④⑤⑥ 15.设 a>b>0,试比较𝑎 2 -𝑏 2 𝑎 2+𝑏 2 与 𝑎-𝑏 𝑎+𝑏的大小. 解: 𝑎 2 -𝑏 2 𝑎 2 +𝑏 2 − 𝑎-𝑏 𝑎+𝑏 = (𝑎+𝑏)(𝑎 2 -𝑏 2 )-(𝑎-𝑏)(𝑎 2+𝑏 2 ) (𝑎 2+𝑏 2)(𝑎+𝑏) = (𝑎-𝑏)[(𝑎+𝑏) 2 -(𝑎 2+𝑏 2 )] (𝑎 2+𝑏 2)(𝑎+𝑏) = 2𝑎𝑏(𝑎-𝑏) (𝑎+𝑏)(𝑎 2+𝑏 2 ) . ∵a>b>0, ∴a+b>0,a-b>0,2ab>0,a 2+b2>0, ∴ 2𝑎𝑏(𝑎-𝑏) (𝑎+𝑏)(𝑎 2+𝑏 2) >0.∴ 𝑎 2 -𝑏 2 𝑎 2+𝑏 2 > 𝑎-𝑏 𝑎+𝑏 . 16.设 P=a2b 2+5,Q=2ab-a 2 -4a,若 P>Q,求实数 a,b 应满足的条件. 解:P-Q=a2b 2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2 . ∵P>Q,∴(ab-1)2+(a+2)2>0. ∴ab≠1 或 a≠-2. 即实数 a,b 应满足的条件为 ab≠1 或 a≠-2