2.2.3 一元二次不等式的解法 课后·训练提升 基础巩固 1.不等式x2>x的解集是( A.(-0,0) B.(0,1) C.(1,+o) D.(-0,0)U(1,+0) 答案D 2.己知集合A={xx2-2x-3≥0}，B={x2≤x<2},则AnB=() A[-2,-1] B.[-1,1] C.[-1,2) D.[1,2) 解析：.x2-2x-3≥0，∴.(x-3)x+1)≥0， .A=(-o0,-1]U[3,+0), ∴.AnB=[-2,-1]. 答案：A 3.若关于x的不等式x2-2am-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=() 月 B c 解析：由2-2ar-8a2<0,得-2a<x<4aa>0,所以4a(-2a)=l5,解得a-2 答案：A 4.若集合A={xx2-3x+2<0},B={xx<a,且AB,则实数a的取值范围为() A.[2,+0) B.(-0,0] C.[1,+o)D.(-0,2) 解析：由题意，得A={xx2-3x+2<0}={x1<r<2},B={xx<a}.若AB,则a≥2， 答案：A 5.不等式≥1的解集为 A.(-0,2] B.[2,+o) C.(1,2] D.[1,2] 答案：C 6.设0<b<1+a,若关于x的不等式(x-bP>(ax)2的解集中的整数恰好有3个，则 () A.-1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<3 D.3<a<6 解析：由(x-b)2>(ax)2,得(a2-1)x2+2bx-b2<0. 要使不等式的解集中恰有3个整数，必须有a2-1>0. 又a+1>0,∴.a>1. 不等式变形为[(a-1)x+b][(a+1)x-b]<0
2.2.3 一元二次不等式的解法 课后· 基础巩固 1.不等式 x 2>x 的解集是( ) A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 答案:D 2.已知集合 A={x|x2 -2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则 A∩B=( ) A.[-2,-1] B.[-1,1] C.[-1,2) D.[1,2) 解析:∵x 2 -2x-3≥0,∴(x-3)(x+1)≥0, ∴A=(-∞,-1]∪[3,+∞), ∴A∩B=[-2,-1]. 答案:A 3.若关于 x 的不等式 x 2 -2ax-8a 2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a=( ) A. 5 2 B. 7 2 C. 15 4 D. 15 2 解析:由 x 2 -2ax-8a 2<0,得-2a<x<4a(a>0),所以 4a-(-2a)=15,解得 a= 5 2 . 答案:A 4.若集合 A={x|x2 -3x+2<0},B={x|x<a},且 A⫋B,则实数 a 的取值范围为( ) A.[2,+∞) B.(-∞,0] C.[1,+∞) D.(-∞,2) 解析:由题意,得 A={x|x2 -3x+2<0}={x|1<x<2},B={x|x<a}.若 A⫋B,则 a≥2. 答案:A 5.不等式 1 𝑥-1 ≥1 的解集为( ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.(1,2] D.[1,2] 答案:C 6.设 0<b<1+a,若关于 x 的不等式(x-b) 2>(ax) 2 的解集中的整数恰好有 3 个,则 ( ) A.-1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<3 D.3<a<6 解析:由(x-b) 2>(ax) 2 ,得(a 2 -1)x 2+2bx-b 2<0. 要使不等式的解集中恰有 3 个整数,必须有 a 2 -1>0. 又 a+1>0,∴a>1. 不等式变形为[(a-1)x+b][(a+1)x-b]<0
.a>1,b>0,b<1+a, 点<0,0<<1，<x<h 1-a a+1 1-a a+11 ,不等式的解集中的整数恰有3个， 3≤b<-2 1.0 ÷8a22828+1,8231a3 答案：C 7.不等式x2-x-2<0的解集是 答案：(-1,2) 8.若关于x的不等式ar2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围 是 解析：原不等式等价于(a+2)x2+4x+a-1>0. 要使不等式对一切x∈R恒成立， 你+记2Xa)<0解号a2 答案(2，+0) 9.己知条件px2-3x-4≤0：条件qx2-6x+9-m2≤0(m0)若p是q的充分不必要条件， 则m的取值范围是 解析：由题意，得p:-1≤x≤4，q:3-m≤x≤3+m(m>0)或3+m≤x≤3-m(m<0) 因为p是q的充分不必要条件， (m>0, m<0, 所以3-m≤-1，或3+m≤-1， (3+m≥43-m≥4， 解得m≤-4或m≥4 答案：(-0,4]U[4,+0) 10.解下列不等式： (1)2-x)x+3)0; (2)4(2x2-2x+1)>x(4-x). 解(1)原不等式等价于(x-2)x+3)>0, 故原不等式的解集为(0，-3)U(2,+0) (2)原不等式等价于9x2-12x+4>0, 即(3x-2)2>0, 故原不等式的解集为{xx≠引 11.解关于x的不等式：ax2-(2a+1)x+2<0, 解：原不等式等价于(ax-l)x-2)<0. (1)当a=0时，有-(x-2)<0,解得x>2; 2)当a>0时，不等式可变形为(x-20
∵a>1,b>0,b<1+a, ∴ 𝑏 1-𝑎 <0,0< 𝑏 𝑎+1 <1,∴ 𝑏 1-𝑎 <x< 𝑏 𝑎+1 . ∵不等式的解集中的整数恰有 3 个, ∴-3≤ 𝑏 1-𝑎 <-2. ∴{ 3𝑎-3 ≥ 𝑏 > 0, 2𝑎-2 < 𝑏 < 𝑎 + 1, ∴ { 𝑎 > 1, 𝑎 < 3, ∴1<a<3. 答案:C 7.不等式 x 2 -x-2<0 的解集是 . 答案:(-1,2) 8.若关于 x 的不等式 ax2+4x+a>1-2x 2 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围 是 . 解析:原不等式等价于(a+2)x 2+4x+a-1>0. 要使不等式对一切 x∈R 恒成立, 则{ 𝑎 + 2 > 0, 4 2 -4(𝑎 + 2)(𝑎-1) < 0, 解得 a>2. 答案:(2,+∞) 9.已知条件 p:x 2 -3x-4≤0;条件 q:x 2 -6x+9-m2≤0(m≠0).若 p 是 q 的充分不必要条件, 则 m 的取值范围是 . 解析:由题意,得 p:-1≤x≤4,q:3-m≤x≤3+m(m>0)或 3+m≤x≤3-m(m<0). 因为 p 是 q 的充分不必要条件, 所以{ 𝑚 > 0, 3-𝑚 ≤ -1, 3 + 𝑚 ≥ 4 或 { 𝑚 < 0, 3 + 𝑚 ≤ -1, 3-𝑚 ≥ 4, 解得 m≤-4 或 m≥4. 答案:(-∞,-4]∪[4,+∞) 10.解下列不等式: (1)(2-x)(x+3)<0; (2)4(2x 2 -2x+1)>x(4-x). 解:(1)原不等式等价于(x-2)(x+3)>0, 故原不等式的解集为(-∞,-3)∪(2,+∞). (2)原不等式等价于 9x 2 -12x+4>0, 即(3x-2)2>0, 故原不等式的解集为{𝑥 |𝑥 ≠ 2 3 }. 11.解关于 x 的不等式:ax2 -(2a+1)x+2<0. 解:原不等式等价于(ax-1)(x-2)<0. (1)当 a=0 时,有-(x-2)<0,解得 x>2; (2)当 a>0 时,不等式可变形为(𝑥- 1 𝑎 )(x-2)<0
(a>0, ①当任>2即0a讲，解得2号 (a>0, 回当=2即a时，此时xa a>0, @当<2甲a宁时，解得22 (3)当a<0时，不等式变形为(x月x-2)>0 :a<00,2.x<浅x2 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为{x<-或x>2} 当a=0时，原不等式的解集为{xx>2}; 当0<<时，原不等式的解集为{x2<x<} 当a=时，原不等式的解集为@； 当a>时，原不等式的解集为{x片<x<2 拓展提高 1.不等式-2x2+x+3<0的解集是( A.{xx<-1) B{xx>引 C{x1<x<}D.{xx<-1或x>引 解析：不等式-2x2+x+3<0可变形为2xr2-x-3>0,解得x<-1或x>故选D. 答案D 2.己知集合A={xx2-4x+3<0},B={xx-3>1-x},则An(CRB)等于() A.[-2,1) B.[-2,2] C.(1,2] D.(-0,2) 解析：由题意，得A=(1,3),B=(2,+o), 则CRB=(-o,2], 故An(CRB)=(1,2] 答案：C 3.不等式-2<x2-3x≤10的解集是( A.[-2,1)U(2,5] B.[-2,1) C.(2,5) D[-2,5] (x2-3x>-2,① 解析：原不等式等价于不等式组 x2.3x≤10.② 不等式①可化为x2.3x+2>0,解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2-3x-10≤0，解得-2≤x≤5 故原不等式的解集为[-2,1)U(2,5]
①当{ 𝑎 > 0, 1 𝑎 > 2, 即 0<a<1 2 时,解得 2<x<1 𝑎 . ②当{ 𝑎 > 0, 1 𝑎 = 2, 即 a= 1 2时,此时 x∈⌀. ③当{ 𝑎 > 0, 1 𝑎 < 2, 即 a>1 2时,解得1 𝑎 <x<2. (3)当 a<0 时,不等式变形为(𝑥- 1 𝑎 )(x-2)>0. ∵a<0,∴ 1 𝑎 <0,∴ 1 𝑎 <2.∴x<1 𝑎或 x>2. 综上所述,当 a<0 时,原不等式的解集为{𝑥 |𝑥 < 1 𝑎 或𝑥 > 2}; 当 a=0 时,原不等式的解集为{x|x>2}; 当 0<a<1 2 时,原不等式的解集为{𝑥 |2 < 𝑥 < 1 𝑎 }; 当 a= 1 2时,原不等式的解集为⌀; 当 a>1 2时,原不等式的解集为{𝑥 | 1 𝑎 < 𝑥 < 2}. 拓展提高 1.不等式-2x 2+x+3<0 的解集是( ) A.{x|x<-1} B.{𝑥 |𝑥 > 3 2 } C.{𝑥 |-1 < 𝑥 < 3 2 } D.{𝑥 |𝑥 < -1 或𝑥 > 3 2 } 解析:不等式-2x 2+x+3<0 可变形为 2x 2 -x-3>0,解得 x<-1 或 x>3 2 ,故选 D. 答案:D 2.已知集合 A={x|x2 -4x+3<0},B={x|x-3>1-x},则 A∩(∁RB)等于( ) A.[-2,1) B.[-2,2] C.(1,2] D.(-∞,2) 解析:由题意,得 A=(1,3),B=(2,+∞), 则∁RB=(-∞,2], 故 A∩(∁RB)=(1,2]. 答案:C 3.不等式-2<x2 -3x≤10 的解集是( ) A.[-2,1)∪(2,5] B.[-2,1) C.(2,5) D.[-2,5] 解析:原不等式等价于不等式组{ 𝑥 2 -3𝑥 > -2,① 𝑥 2 -3𝑥 ≤ 10.② 不等式①可化为 x 2 -3x+2>0,解得 x>2 或 x<1. 不等式②可化为 x 2 -3x-10≤0,解得-2≤x≤5. 故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5]
答案A 4.若关于x的方程x2+2mx-m+12=0的两根都大于2，则实数m的取值范围是 () AR B.(-0,-4]U[3,+∞) c(4 D.(-0,-2) 解析：方程要有两个大于2的根， 4=(2m)2-4×1×(-m+12)≥0 需 22+2m×2-m+12>0, (罗>2， 解得台<m≤4 答案：C 5.己知集合A={xx2-2x≤0}，B={xlx-1川K3},则AnB= 解析：由题意，得A=[0,2],B=(-2,4),则A∩B=[0,2] 答案[0,2] 6.若规定 aa X- ≥0的解集为[0,4]，则实数m的值 1 m 为 X 解析：由题意，得 x ≥0，等价于x2-mx≤0 1 ml 当m=0时，不合题意； 当m<0时，不等式的解集为[m,0],不合题意： 当m>0时，不等式的解集为[0，m], 故m=4 答案4 7.已知1和b是一元二次方程ax2.3x+2=0的两根 (1)求实数a,b的值 (2)解关于x的不等式c>0(c为常数) ax-b 解(1).1，b为方程ar2-3x+2=0的两根， b= a (1+b= a 解件6二2 (2)原不等式等价于(x-cx-2)>0 当c>2时，原不等式的解集为{xx>c或x<2:
答案:A 4.若关于 x 的方程 x 2+2mx-m+12=0 的两根都大于 2,则实数 m 的取值范围是 ( ) A.R B.(-∞,-4]∪[3,+∞) C.(- 16 3 ,-4] D.(-∞,-2) 解析:方程要有两个大于 2 的根, 需{ 𝛥 = (2𝑚) 2 -4 × 1 × (-𝑚 + 12) ≥ 0, 2 2 + 2𝑚 × 2-𝑚 + 12 > 0, - 2𝑚 2 > 2, 解得- 16 3 <m≤-4. 答案:C 5.已知集合 A={x|x2 -2x≤0},B={x||x-1|<3},则 A∩B= . 解析:由题意,得 A=[0,2],B=(-2,4),则 A∩B=[0,2]. 答案:[0,2] 6.若规定| 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 |=ad-bc,且| 𝑥 𝑥 2 1 𝑚 |≥0 的解集为[0,4],则实数 m 的值 为 . 解析:由题意,得| 𝑥 𝑥 2 1 𝑚 |≥0,等价于 x 2 -mx≤0. 当 m=0 时,不合题意; 当 m<0 时,不等式的解集为[m,0],不合题意; 当 m>0 时,不等式的解集为[0,m], 故 m=4. 答案:4 7.已知 1 和 b 是一元二次方程 ax2 -3x+2=0 的两根. (1)求实数 a,b 的值; (2)解关于 x 的不等式: 𝑥-𝑐 𝑎𝑥-𝑏 >0(c 为常数). 解:(1)∵1,b 为方程 ax2 -3x+2=0 的两根, ∴{ 𝑏 = 2 𝑎 , 1 + 𝑏 = 3 𝑎 , 解得{ 𝑎 = 1, 𝑏 = 2. (2)原不等式等价于(x-c)(x-2)>0. 当 c>2 时,原不等式的解集为{x|x>c 或 x<2};
当c=2时，原不等式的解集为{x≠2： 当c<2时，原不等式的解集为{xx>2或x<c} 挑战创新 解关于x的不等式ar2-(a+1)x+1<0. 解：当a=0时，x+1<0,解得x>1. 当a0时，①当a<0时，原不等式可变形为x)x-l)>0,解得x<或x>l ②当a=1时-1，(x-月x-l)0无解； ③当a>1时1，原不等式可变形为(x)c1)0,解得x<1 ④当0<a<1时，l,原不等式可变形为(x周c-1)0,解得1<r<a 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为{xx<或x>1} 当a=0时，原不等式的解集为{xx>l}: 当0<a<1时，原不等式的解集为{x1<x<} 当a=1时，原不等式的解集为②； 当a>1时，原不等式的解集为{x片<x<1
当 c=2 时,原不等式的解集为{x|x≠2}; 当 c<2 时,原不等式的解集为{x|x>2 或 x<c}. 挑战创新 解关于 x 的不等式 ax2 -(a+1)x+1<0. 解:当 a=0 时,-x+1<0,解得 x>1. 当 a≠0 时,①当 a<0 时,原不等式可变形为(𝑥- 1 𝑎 )(x-1)>0,解得 x<1 𝑎或 x>1; ②当 a=1 时, 1 𝑎 =1,(𝑥- 1 𝑎 )(x-1)<0 无解; ③当 a>1 时, 1 𝑎 <1,原不等式可变形为(𝑥- 1 𝑎 )·(x-1)<0,解得1 𝑎 <x<1; ④当 0<a<1 时, 1 𝑎 >1,原不等式可变形为(𝑥- 1 𝑎 )(x-1)<0,解得 1<x<1 𝑎 . 综上所述,当 a<0 时,原不等式的解集为{𝑥 |𝑥 < 1 𝑎 或𝑥 > 1}; 当 a=0 时,原不等式的解集为{x|x>1}; 当 0<a<1 时,原不等式的解集为{𝑥 |1 < 𝑥 < 1 𝑎 }; 当 a=1 时,原不等式的解集为⌀; 当 a>1 时,原不等式的解集为{𝑥 | 1 𝑎 < 𝑥 < 1}