第二章测评 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（每小题5分，共60分） 1.下列命题不一定成立的是( A.a+m=b+m→a=b B.am=bm→a=b C.a=Ba=b mm D.a=b-→am=bm 答案B 2.下列式子是恒等式的是( Ax2-1=3 B.m=1 C.0×n=0 D.a2+b2≥2ab 答案：C 3.将式子3x2+11x+6进行因式分解，正确的结果是( A.(3x+2)x+3) B.(3x-2)x-3) C.(3x-2)x+3) D.(3x+1)x+6) 答案：A 4.方程x2+1=-x的解集为( A.0 B.R c D.{0,1} 答案：A 5.已知4={x2-2x>0},B={x<0,则AUB=() A.{x|1<x<2} B.{x2<x<3} C.{xx<0或x>1} D.{xx<0或1<x<2} 解析：由题意，得A={xx>2或x<0},B={x1<x<3,则AUB={xx<0或x>1} 答案：C 6.若关于x的方程3x2+mx+1=0的两根分别是n,则m,n的值分别为( A.4,-1 B.4,1 C.-4,1 D.4,-1 -+n=.m 解析：由题意，得 3 解得m=4, ()×n=5 ln=-1 答案：A
第二章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.下列命题不一定成立的是( ) A.a+m=b+m⇒a=b B.am=bm⇒a=b C. 𝑎 𝑚 = 𝑏 𝑚 ⇒a=b D.a=b⇒am=bm 答案:B 2.下列式子是恒等式的是( ) A.x 2 -1=3 B.m=1 C.0×n=0 D.a 2+b2≥2ab 答案:C 3.将式子 3x 2+11x+6 进行因式分解,正确的结果是( ) A.(3x+2)(x+3) B.(3x-2)(x-3) C.(3x-2)(x+3) D.(3x+1)(x+6) 答案:A 4.方程 x 2+1=-x 的解集为( ) A.⌀ B.R C.{ -1+√3 2 , -1-√3 2 } D.{0,1} 答案:A 5.已知 A={x|x2 -2x>0},B={𝑥 | 𝑥-3 𝑥-1 < 0},则 A∪B=( ) A.{x|1<x<2} B.{x|2<x<3} C.{x|x<0 或 x>1} D.{x|x<0 或 1<x<2} 解析:由题意,得 A={x|x>2 或 x<0},B={x|1<x<3},则 A∪B={x|x<0 或 x>1}. 答案:C 6.若关于 x 的方程 3x 2+mx+1=0 的两根分别是- 1 3 ,n,则 m,n 的值分别为( ) A.4,-1 B.4,1 C.-4,1 D.-4,-1 解析:由题意,得{ - 1 3 + 𝑛 = - 𝑚 3 , (- 1 3 ) × 𝑛 = 1 3 , 解得{ 𝑚 = 4, 𝑛 = -1. 答案:A
7方程组侧一子的解集为机 A.{(2,-3)} B.{2,-3),(-2,-7)} C.{2,3),(-2,7)} D.o 解桥由侧5母代-名x化子 故原方程组的解集为{(2，-3)，(-2，-7)} 答案B 8.下列命题中真命题的个数是() ①若x>y>z,则y>bz ②若a>b,c>d.abcd4-0,则>是 ③若<0，则ab<b ④若a>b,则2>= a-1 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：当y=0时，①不成立；当a=1,b=-2,c=-1,d=-2时，满足a>b,c>d,但2<故②不 成立； 片<行六0，ba<0,∴ab<,故国成立 a(a-1) aba-h0,当aa-l》0,即a>1或a<0时会-宁0，此时片> 当aa-l0,即0<aK1时名-0，此时始<品@不成立 答案：A 9.若不等式x+3引x-1≤a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( A.(-0,-1]U[4,+o) B.(-0,-2]U[5,+∞) C.[1,2] D.(-o,1]U[2,+o) 解析：根据绝对值的几何意义知x+3引-r-1的最大值为4，则a2-3a≥4，解得a≤-1或 a≥4 答案：A 10.若不等式组x-1之a2的解集非空，则实数a的取值范围是( ) x-4<2a A.(-1,3) B.(-0,-1)U(3,+o) C.(-3,1) D.(-0,-3)U(1,+0) 解析：原不等式组等价于化>1+a2 (x<2a+4, 由题意可得1+a2<2a+4,即a2-2a-3<0, 解得-1<a<3,故选A
7.方程组{ |𝑥| = 2, 𝑥-𝑦 = 5 的解集为( ) A.{(2,-3)} B.{(2,-3),(-2,-7)} C.{(2,3),(-2,7)} D.⌀ 解析:由{ |𝑥| = 2, 𝑥-𝑦 = 5 得 { 𝑥 = 2, 𝑦 = -3 或 { 𝑥 = -2, 𝑦 = -7. 故原方程组的解集为{(2,-3),(-2,-7)}. 答案:B 8.下列命题中真命题的个数是( ) ①若 x>y>z,则|xy|>|yz|; ②若 a>b,c>d,abcd≠0,则 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑑 ; ③若 1 𝑎 < 1 𝑏 <0,则 ab<b2 ; ④若 a>b,则 𝑏 𝑎 > 𝑏-1 𝑎-1 . A.1 B.2 C.3 D.4 解析:当 y=0 时,①不成立;当 a=1,b=-2,c=-1,d=-2 时,满足 a>b,c>d,但 𝑎 𝑐 < 𝑏 𝑑 ,故②不 成立; ∵ 1 𝑎 < 1 𝑏 <0,∴b<a<0,∴ab<b2 ,故③成立; 𝑏 𝑎 − 𝑏-1 𝑎-1 = 𝑎-𝑏 𝑎(𝑎-1) , ∵a>b,∴a-b>0,当 a(a-1)>0,即 a>1 或 a<0 时, 𝑏 𝑎 − 𝑏-1 𝑎-1 >0,此时𝑏 𝑎 > 𝑏-1 𝑎-1 ; 当 a(a-1)<0,即 0<a<1 时, 𝑏 𝑎 − 𝑏-1 𝑎-1 <0,此时𝑏 𝑎 < 𝑏-1 𝑎-1 ,∴④不成立. 答案:A 9.若不等式|x+3|-|x-1|≤a 2 -3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( ) A.(-∞,-1]∪[4,+∞) B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[1,2] D.(-∞,1]∪[2,+∞) 解析:根据绝对值的几何意义知|x+3|-|x-1|的最大值为 4,则 a 2 -3a≥4,解得 a≤-1 或 a≥4. 答案:A 10.若不等式组{ 𝑥-1 > 𝑎 2 , 𝑥-4 < 2𝑎 的解集非空,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-1,3) B.(-∞,-1)∪(3,+∞) C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 解析:原不等式组等价于{ 𝑥 > 1 + 𝑎 2 , 𝑥 < 2𝑎 + 4, 由题意可得 1+a2<2a+4,即 a 2 -2a-3<0, 解得-1<a<3,故选 A
答案A 11.对任意实数x,不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0恒成立，则a的取值范围是( A.(-2,2] B.[-2,2] C.(-0,-2)U[2,+o) D.(-0,-2]U(2,+∞) 解析：当a=2时，4<0恒成立，符合题意； 当a2时，要使不等式恒成立， 则4=2a-22.4la-2)×4<0 解得-2<a<2.所以-2<a≤2 答案：A 12.己知a1>a2>a3>0,则使得(1-ax2<1(i=1,2,3)都成立的x的取值范围是( A(0) B(0,) c() D.(o.) 解析：“求(1-ax)2<1(i=1,2,3)都成立的x的取值范围”，实质上是求不等式组 (1-a1x)2<1 (1-a2x)2<1,的解集」 (1-a3x)2<1 由于这几个不等式结构一样，因此其中解集“最小”的一个不等式的解集即为不等 式组的解集」 (1-ax)2<1,即ax2-2ax<0,ax(ax-2)K0 :a>0,∴这个不等式可以化为x(x)<0, 0<r号 若二取最小，则a应取最大，因此0<x<二，故选B. ai 答案B 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.不等式2-3x<1的解集为 解析：由3x-2<1,得-1<3x-2<1,解得<x<1 答案(（G,1) 14.对于实数x,当且仅当n≤x<n+1(n∈N)时，规定[x]=n,则不等式4[x]P 36[x]+45<0的解集是 解析：由4[x]2-36[x+45<0, 得<xK5,则2≤x<8, 答案：2,8)
答案:A 11.对任意实数 x,不等式(a-2)x 2+2(a-2)x-4<0 恒成立,则 a 的取值范围是( ) A.(-2,2] B.[-2,2] C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,-2]∪(2,+∞) 解析:当 a=2 时,-4<0 恒成立,符合题意; 当 a≠2 时,要使不等式恒成立, 则{ 𝑎-2 < 0, 𝛥 = [2(𝑎-2)] 2 -4(𝑎-2) × (-4) < 0, 解得-2<a<2.所以-2<a≤2. 答案:A 12.已知 a1>a2>a3>0,则使得(1-aix) 2<1(i=1,2,3)都成立的 x 的取值范围是( ) A.(0, 1 𝑎1 ) B.(0, 2 𝑎1 ) C.(0, 1 𝑎3 ) D.(0, 2 𝑎3 ) 解析:“求(1-aix) 2<1(i=1,2,3)都成立的 x 的取值范围”,实质上是求不等式组 { (1-𝑎1𝑥) 2 < 1, (1-𝑎2𝑥) 2 < 1, (1-𝑎3𝑥) 2 < 1 的解集. 由于这几个不等式结构一样,因此其中解集“最小”的一个不等式的解集即为不等 式组的解集. (1-aix) 2<1,即𝑎𝑖 2 x 2 -2aix<0,aix(aix-2)<0. ∵ai>0,∴这个不等式可以化为 x(𝑥- 2 𝑎𝑖 )<0, ∴0<x<2 𝑎𝑖 . 若 2 𝑎𝑖 取最小,则 ai 应取最大,因此 0<x< 2 𝑎1 ,故选 B. 答案:B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.不等式|2-3x|<1 的解集为 . 解析:由|3x-2|<1,得-1<3x-2<1,解得1 3 <x<1. 答案:( 1 3 ,1) 14.对于实数 x,当且仅当 n≤x<n+1(n∈N)时,规定[x]=n,则不等式 4[x] 2 - 36[x]+45<0 的解集是 . 解析:由 4[x] 2 -36[x]+45<0, 得 3 2 <[x]< 15 2 ,则 2≤x<8. 答案:[2,8)
15.己知ab是正实数且a+b=l,则下列不等式①ab≤号②ab+品之兴③Va+ V历≤V2,④片+元≥2V2中，恒成立的有 (填序号) 解析：.a,b均为正实数，a+b=1, ∴ab≤(（)2=ab+品≥兴(Wa+V3=a+b+2a西≤a+b+a+h=2 ∴√a+√b≤√瓦，故①②③正确 +六=尝+器=+台+元22侣元=+V2当且仅当公=28时等号 2b 成立) ④不正确， 答案：①②③ 16若abh∈Rab0则B的最小值为 解析+h+1≥4a+1=4ab+二≥2V4=4,当且仅当a2=2b2且4b=二时，等号成 ab ab ab ab 立 答案：4 三、解答题（共70分） 17.(10分)已知一元二次方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的解集为{-1,2}，求方程组 区+my二5的解集 (nx+y=3 解：，-1和2是方程x2+mx+n=0的两根， 2%贤过 一份+5-3化 (y=-13 ∴.原方程组的解集为{(-8，-13)} 18.(10分1)已知数轴上，A(-2),Bx),C(6),D(7).若线段BC的中点M到点A的距离 小于线段AD的长，求x的取值范围： (2)若对于任意x,x-2+x+2≥a2+3a恒成立，求实数a的取值范围. 解0)迪题意，得-(2<2-7八 即作+59，解得-28<x<8 故x的取值范围是(-28,8) (2)由绝对值的几何意义知x-2+x+2的最小值为4，.a2+3a≤4，即a2+3a-4≤0，解 得-4≤a≤1. 故a的取值范围是[4,1] 19.(12分)已知二次函数y=x2+2x+c(c∈R)的图象过点(1,3)， (1)求出此函数表达式， (2)求方程x2+2x+c=0的解集
15.已知 a,b 是正实数,且 a+b=1,则下列不等式:①ab≤ 1 4 ;②ab+ 1 𝑎𝑏 ≥ 17 4 ;③√𝑎 + √𝑏 ≤ √2;④ 1 𝑎 + 1 2𝑏 ≥2√2中,恒成立的有 .(填序号) 解析:∵a,b 均为正实数,a+b=1, ∴ab≤( 𝑎+𝑏 2 ) 2 = 1 4 ,ab+ 1 𝑎𝑏 ≥ 17 4 ,(√𝑎 + √𝑏) 2=a+b+2√𝑎𝑏≤a+b+a+b=2, ∴√𝑎 + √𝑏 ≤ √2,故①②③正确. ∵ 1 𝑎 + 1 2𝑏 = 𝑎+𝑏 𝑎 + 𝑎+𝑏 2𝑏 = 3 2 + 𝑏 𝑎 + 𝑎 2𝑏 ≥ 3 2 +2√ 𝑏 𝑎 · 𝑎 2𝑏 = 3 2 + √2(当且仅当 a 2=2b 2 时等号 成立), ∴④不正确. 答案:①②③ 16.若 a,b∈R,ab>0,则 𝑎 4 +4𝑏 4+1 𝑎𝑏 的最小值为 . 解析: 𝑎 4 +4𝑏 4+1 𝑎𝑏 ≥ 4𝑎 2 𝑏 2+1 𝑎𝑏 =4ab+ 1 𝑎𝑏 ≥2√4=4,当且仅当 a 2=2b 2 且 4ab= 1 𝑎𝑏时,等号成 立. 答案:4 三、解答题(共 70 分) 17.(10 分)已知一元二次方程 x 2+mx+n=0(m,n∈R)的解集为{-1,2},求方程组 { 𝑥 + 𝑚𝑦 = 5, 𝑛𝑥 + 𝑦 = 3 的解集. 解:∵-1 和 2 是方程 x 2+mx+n=0 的两根, ∴{ -1 + 2 = -𝑚, (-1) × 2 = 𝑛, ∴ { 𝑚 = -1, 𝑛 = -2, ∴{ 𝑥-𝑦 = 5, -2𝑥 + 𝑦 = 3, 解得{ 𝑥 = -8, 𝑦 = -13. ∴原方程组的解集为{(-8,-13)}. 18.(10 分)(1)已知数轴上,A(-2),B(x),C(6),D(7).若线段 BC 的中点 M 到点 A 的距离 小于线段 AD 的长,求 x 的取值范围; (2)若对于任意 x,|x-2|+|x+2|≥a 2+3a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由题意,得| 𝑥+6 2 -(-2)|<|-2-7|, 即| 𝑥 2 + 5|<9,解得-28<x<8. 故 x 的取值范围是(-28,8). (2)由绝对值的几何意义知|x-2|+|x+2|的最小值为 4,∴a 2+3a≤4,即 a 2+3a-4≤0,解 得-4≤a≤1. 故 a 的取值范围是[-4,1]. 19.(12 分)已知二次函数 y=x2+2x+c(c∈R)的图象过点(1,3). (1)求出此函数表达式; (2)求方程 x 2+2x+c=0 的解集;
(3)解不等式x2+2x+c<0. 解(1)由题意，得3=12+2×1+c, 解得c=0,则y=x2+2x (2).c=0,∴.x2+2x=0, ∴.x(x+2)=0,解得x=0或x=-2. 故原方程的解集为{0，-2} (3)x2+2x<0等价于xx+2)<0, 解得-2<x<0. 故原不等式的解集为(2,0) 20.(12分)已知a,b∈(0，+o,且a时b,求证：ava+b√b>avb+bva 证明：.'(ava+bWb)-(aWb+b√a =√a(a-b)+vb(b-a) =(√a-√b(a-b) =(Va-VBy(Va+VB). ,'a,b∈(0，+∞），且a≠b ∴√a+√b>0,(a-vb2>0 ..(Va-Vb)2(Va+Vb)>0, ∴.ava+bvb>aVb+bva. 21.(12分)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件 (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件.要使销售的总收 入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技 术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费 用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用试问：当该商品 明年的销售量α至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入 与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 解(1)设每件定价为1元 由题意，得(8×0.2)≥25×8， 即2-651+1000≤0，解得25≤1≤40. 故要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元 (2)由题意，得当x>25时，不等式ax≥25×8+50+x2-600)+有解， 等价于当x25时，≥2++号有解 :2+2≥2吧名x=10当且仅当x=30时，等号成立， .a≥10.2
(3)解不等式 x 2+2x+c<0. 解:(1)由题意,得 3=1 2+2×1+c, 解得 c=0,则 y=x2+2x. (2)∵c=0,∴x 2+2x=0, ∴x(x+2)=0,解得 x=0 或 x=-2. 故原方程的解集为{0,-2}. (3)x 2+2x<0 等价于 x(x+2)<0, 解得-2<x<0. 故原不等式的解集为(-2,0). 20.(12 分)已知 a,b∈(0,+∞),且 a≠b,求证:a√𝑎+b√𝑏>a√𝑏+b√𝑎. 证明:∵(a√𝑎+b√𝑏)-(a√𝑏+b√𝑎) =√𝑎(a-b)+√𝑏(b-a) =(√𝑎 − √𝑏)(a-b) =(√𝑎 − √𝑏) 2 (√𝑎 + √𝑏). ∵a,b∈(0,+∞),且 a≠b, ∴√𝑎 + √𝑏>0,(√𝑎 − √𝑏) 2>0, ∴(√𝑎 − √𝑏) 2 (√𝑎 + √𝑏)>0, ∴a√𝑎+b√𝑏>a√𝑏+b√𝑎. 21.(12 分)某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2 000 件.要使销售的总收 入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技 术革新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入1 6 (x 2 -600)万元作为技改费 用,投入 50 万元作为固定宣传费用,投入1 5 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品 明年的销售量 a 至少应达到多少万件时,才可能使明年的销售收入不低于原收入 与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 解:(1)设每件定价为 t 元, 由题意,得(8- 𝑡-25 1 × 0.2)t≥25×8, 即 t 2 -65t+1 000≤0,解得 25≤t≤40. 故要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为 40 元. (2)由题意,得当 x>25 时,不等式 ax≥25×8+50+ 1 6 (x 2 -600)+ 1 5 x 有解, 等价于当 x>25 时,a≥ 150 𝑥 + 1 6 x+1 5 有解. ∵ 150 𝑥 + 1 6 x≥2√ 150 𝑥 · 1 6 𝑥=10(当且仅当 x=30 时,等号成立), ∴a≥10.2