2.2.4均值不等式及其应用 第1课时均值不等式 课后·训练提升 1.己知ab≠0，a,b∈R,则下列不等式恒成立的是() A8+号≥2 B+≥2 C+号≤2 D怡+≥2 解析ab-0,2与2同号 怡+=月+周≥2 当且仅当lal=|bl时等号成立 答案D 2.设b>a>0,且P= 0子M=a而N-R 2 a2+b ，则它们的大小关系是 2 () A.P<O<M<N<R B.O<P<M<N<R C.P<M<N<O<R D.P<O<M<R<N 解析：b>a>0,V面<2碧kN .a2+b2>2ab,∴.2(a2+b2)>(a+b2 :2+>a+> 2 4，…2 2 ..N<R. 11 1,1 同理，可知 2> 2 2 <1..P<o. 2 2 方2元=Vb,·Q<M故选A 答案A 3.下列不等式不一定成立的是() A.a2+b2≥2ab(a,b∈R) B.a2+3>2a(a,b∈R) C.3x+>≥26t∈R)
2.2.4 均值不等式及其应用 第 1 课时 均值不等式 课后· 1.已知 ab≠0,a,b∈R,则下列不等式恒成立的是( ) A. 𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 ≥2 B. 𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 ≥-2 C. 𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 ≤-2 D.| 𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 |≥2 解析:∵ab≠0,∴ 𝑏 𝑎 与 𝑎 𝑏同号. ∴| 𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 | = | 𝑏 𝑎 | + | 𝑎 𝑏 |≥2. 当且仅当|a|=|b|时等号成立. 答案:D 2.设 b>a>0,且 P=√ 2 1 𝑎2 + 1 𝑏 2 ,Q= 2 1 𝑎 + 1 𝑏 ,M=√𝑎𝑏,N=𝑎+𝑏 2 ,R=√ 𝑎 2+𝑏 2 2 ,则它们的大小关系是 ( ) A.P<Q<M<N<R B.Q<P<M<N<R C.P<M<N<Q<R D.P<Q<M<R<N 解析:∵b>a>0,∴√𝑎𝑏 < 𝑎+𝑏 2 ,∴M<N. ∵a 2+b2>2ab,∴2(a 2+b2 )>(a+b) 2 . ∴ 𝑎 2+𝑏 2 2 > (𝑎+𝑏) 2 4 ,∴√ 𝑎 2+𝑏 2 2 > 𝑎+𝑏 2 , ∴N<R. 同理,可知√ 1 𝑎2 + 1 𝑏 2 2 > 1 𝑎 + 1 𝑏 2 . ∴√ 2 1 𝑎2 + 1 𝑏 2 < 2 1 𝑎 + 1 𝑏 ,∴P<Q. ∴ 2 1 𝑎 + 1 𝑏 < 2 2√ 1 𝑎𝑏 = √𝑎𝑏,∴Q<M.故选 A. 答案:A 3.下列不等式不一定成立的是( ) A.a 2+b2≥2ab(a,b∈R) B.a 2+3>2a(a,b∈R) C.3x+ 1 3𝑥≥2(x∈R)
D学s严abER) 解析：当x<0时，C选项不成立；当x>0时，C选项成立，故选C. 答案：C 4.已知正整数a,b满足4a+b=30,则使得二+取最小值的实数对(a,b)是( A.(5,10) B.(6,6) C.(10,5) D.(7,2) 解桥+后+4a+创品G+号+5)≥(2层号+5)=品 当且仅当=“时等号成立. b 电6a+230解得8二50 答案：A 5.设a,b∈R,a2+2b2=6,则ab的最大值为() A.3V2 B. 2 D.3 解析ah浸≤六- 2 2 当且仅当a=√2b时等号成立. 答案B 6.若正实数a,b满足a+b=1,则( A+有最大值4 B.ab有最小值 C.Va+Vb有最大值v2 D.a2+b2有最小值 解析后+后=（侣+a+b)-2+8+≥4 当且仅当a=b=时等号成立，故A错， ab≤（碧）=京当且仅当a=b时等号成立，故B错； ≤受-va+历s2 当且仅当a=b时等号成立，故C正确： a2+b2=(a+b2-2ab=1-2ab≥1-2×2=3故D错. 答案：C 7.已知正数a,b满足a+b=ab,则a+b的最小值为 解析：a+b=ab≤（色2）， ∴.(a+b)2-4(a+b)≥0. a+b>0,∴.(a+b)4≥0，.a+b≥4. 当且仅当a=b=2时等号成立
D. 𝑎+𝑏 2 ≤ √ 𝑎 2 +𝑏 2 2 (a,b∈R) 解析:当 x<0 时,C 选项不成立;当 x>0 时,C 选项成立,故选 C. 答案:C 4.已知正整数 a,b 满足 4a+b=30,则使得1 𝑎 + 1 𝑏 取最小值的实数对(a,b)是( ) A.(5,10) B.(6,6) C.(10,5) D.(7,2) 解析: 1 𝑎 + 1 𝑏 = 1 30 ( 1 𝑎 + 1 𝑏 )(4a+b)= 1 30 ( 𝑏 𝑎 + 4𝑎 𝑏 + 5) ≥ 1 30 (2√ 𝑏 𝑎 · 4𝑎 𝑏 + 5) = 3 10 , 当且仅当𝑏 𝑎 = 4𝑎 𝑏 时等号成立. 由{ 𝑏 2 = 4𝑎 2 , 4𝑎 + 𝑏 = 30, 解得{ 𝑎 = 5, 𝑏 = 10. 答案:A 5.设 a,b∈R,a 2+2b 2=6,则 ab 的最大值为( ) A.3√2 B. 3√2 2 C. 3 2 D.3 解析:ab=𝑎·√2𝑏 √2 ≤ 1 √2 · 𝑎 2+(√2𝑏) 2 2 = 3√2 2 . 当且仅当 a=√2b 时等号成立. 答案:B 6.若正实数 a,b 满足 a+b=1,则( ) A. 1 𝑎 + 1 𝑏有最大值 4 B.ab 有最小值1 4 C.√𝑎 + √𝑏有最大值√2 D.a 2+b2 有最小值√2 2 解析: 1 𝑎 + 1 𝑏 = ( 1 𝑎 + 1 𝑏 )(a+b)=2+ 𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 ≥4, 当且仅当 a=b=1 2时等号成立,故 A 错; ab≤( 𝑎+𝑏 2 ) 2 = 1 4 ,当且仅当 a=b 时等号成立,故 B 错; ∵ √𝑎+√𝑏 2 ≤ √ 𝑎+𝑏 2 = √ 1 2 ,∴√𝑎 + √𝑏 ≤ √2. 当且仅当 a=b 时等号成立,故 C 正确; a 2+b2=(a+b) 2 -2ab=1-2ab≥1-2× 1 4 = 1 2 ,故 D 错. 答案:C 7.已知正数 a,b 满足 a+b=ab,则 a+b 的最小值为 . 解析:∵a+b=ab≤( 𝑎+𝑏 2 ) 2 , ∴(a+b) 2 -4(a+b)≥0. ∵a+b>0,∴(a+b)-4≥0,∴a+b≥4. 当且仅当 a=b=2 时等号成立
答案4 8.若0<a<b,且a+b=三则，a,2ab,a2+b2中最大的是 解析：0<a<b,a+b-号 ÷0<ab :.q+b<a+b-id+b-2qb. “所给四个数中最大的是影 答案 已知a,b均为正实数4=艺，B=V反+V万1，则A与B的大小关系 为 解析：A-B=a牛也-Va-Vb+1=2@+1-26杜=@6≥0， 2 2 A≥B 答案A≥B 10.已知ab,c均为正实数，且a+b+c=1,求证（日-1）（后-1）(-1)≥8 证明：，a,b,c均为正实数，且a+b+c=1 11片+≥2层 181号+g2周 b 11号+≥2厚 )G0≥2辰2层2层-8， 当且仅当a=b=c时等号成立. 故原不等式成立 11.己知a,b,xy均为正实数，且+-1，求证x+y≥（√a+√b2 证明：a,bxy均为正实数，股+-l, 六x+y=6+作+)=a+b+g+g>≥a+b+2a历=Va+V万 y 当且收当婴=警即号=时等号成立 故x+y≥(va+Vb?成立. 12.设a,b,c是不全相等的正数，求证b+c-++a-b+a+b-c>3 b 证明：，a,b,c是不全相等的正数， b+6-2++a-b+a+h-g b c =2+9+9+8+g+3
答案:4 8.若 0<a<b,且 a+b=1 2 ,则 1 2 ,a,2ab,a 2+b2 中最大的是 . 解析:∵0<a<b,a+b=1 2 , ∴0<a<1 4 <b<1 2 . ∴a 2+b2<a+b=1 2 ,a 2+b2>2ab, ∴所给四个数中最大的是1 2 . 答案: 1 2 9.已知 a,b 均为正实数,A=𝑎+𝑏 2 ,B=√𝑎 + √𝑏-1,则 A 与 B 的大小关系 为 . 解析:∵A-B=𝑎+𝑏 2 − √𝑎 − √𝑏+1= 𝑎-2√𝑎+1+𝑏-2√𝑏+1 2 = (√𝑎-1) 2+(√𝑏-1) 2 2 ≥0, ∴A≥B. 答案:A≥B 10.已知 a,b,c 均为正实数,且 a+b+c=1,求证:( 1 𝑎 -1) ( 1 𝑏 -1) ( 1 𝑐 -1)≥8. 证明:∵a,b,c 均为正实数,且 a+b+c=1, ∴ 1 𝑎 -1= 𝑎+𝑏+𝑐 𝑎 -1= 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑎≥2√ 𝑏𝑐 𝑎 2 , 1 𝑏 -1= 𝑎+𝑏+𝑐 𝑏 -1= 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑏 ≥2√ 𝑎𝑐 𝑏 2 , 1 𝑐 -1= 𝑎+𝑏+𝑐 𝑐 -1= 𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑐 ≥2√ 𝑎𝑏 𝑐 2 , ∴( 1 𝑎 -1) ( 1 𝑏 -1) ( 1 𝑐 -1)≥2√ 𝑏𝑐 𝑎 2·2√ 𝑎𝑐 𝑏 2·2√ 𝑎𝑏 𝑐 2=8, 当且仅当 a=b=c 时等号成立. 故原不等式成立. 11.已知 a,b,x,y 均为正实数,且 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 =1,求证:x+y≥(√𝑎 + √𝑏) 2 . 证明:∵a,b,x,y 均为正实数,且 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 =1, ∴x+y=(x+y)( 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 )=a+b+𝑏𝑥 𝑦 + 𝑎𝑦 𝑥 ≥a+b+2√𝑎𝑏=(√𝑎 + √𝑏) 2 . 当且仅当𝑎𝑦 𝑥 = 𝑏𝑥 𝑦 ,即 𝑥 2 𝑦 2 = 𝑎 𝑏时等号成立. 故 x+y≥(√𝑎 + √𝑏) 2 成立. 12.设 a,b,c 是不全相等的正数,求证: 𝑏+𝑐-𝑎 𝑎 + 𝑐+𝑎-𝑏 𝑏 + 𝑎+𝑏-𝑐 𝑐 >3. 证明:∵a,b,c 是不全相等的正数, ∴ 𝑏+𝑐-𝑎 𝑎 + 𝑐+𝑎-𝑏 𝑏 + 𝑎+𝑏-𝑐 𝑐 = 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑐 -3
-(+月+(+)+（后+）3 >2层2层+2后3-3 原不等式成立
=( 𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 ) + ( 𝑐 𝑎 + 𝑎 𝑐 ) + ( 𝑐 𝑏 + 𝑏 𝑐 )-3 >2√ 𝑏 𝑎 · 𝑎 𝑏 +2√ 𝑐 𝑎 · 𝑎 𝑐 +2√ 𝑐 𝑏 · 𝑏 𝑐 -3=3. ∴原不等式成立