《高等数学》课程电子教案：第九章（9.5）利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

章节题目 第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 内容提要 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 重点分析 利用柱面坐标计算三重积分时积分限的确定 难点分析 习\p,1、2、3(单、6(3)、8(3) 题 布 备注

1 章 节 题 目 第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 内 容 提 要 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 重 点 分 析 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 难 点 分 析 利用柱面坐标计算三重积分时积分限的确定 习 题 布 置 P141 1、2、3（单）、6（3）、8（3） 备 注

教学内容 利用柱面坐标计算三重积分 设M(x,y,2z)为空间内一点,并设点M在xoy面上的 投影P的极坐标为r,O,则这样的三个数r,O,z就叫点M的 柱面坐标 规定:0≤r<+∞,0≤6≤2x,-0<2<+∞ P(r,0) 如图,三坐标面分别为 (x,y,2) r为常数→圆柱面 6为常数→半平面 z为常数→平面

2 教 学 内 容 一、利用柱面坐标计算三重积分 柱面坐标． 投影 的极坐标为 ，则这样的三个数 就叫点 的 设 为空间内一点，并设点 在 面上的 P r r z M M x y z M xoy , , , ( , , )   规定： 0  r  +, 0   2 , −  z  +. 如图，三坐标面分别为 r 为常数  圆柱面；  为常数  半平面； z 为常数  平面． x y z o M (x, y,z) P(r, )  r • • • M (x, y,z) P(r, ) •  r z x y z o

柱面坐标与直角坐标的关系为{y=rsn, 二=二 如图,柱面坐标系中的体积元素为 mu 1 dv= rdrdedz f(x,y, =)dxdyd==lllf(rose, rsn 8, -)rdrdeds 例1、计算=顶=tdt,其中是球面x2+y2+=2=4与抛物面 x2+y2=3z所围的立体 x=rose 解由y=rsnb,知交线为 1,r= 把闭区域Ω投影到xoy面上, 0≤r≤√3 0≤6<2丌 F.z13

3 柱面坐标与直角坐标的关系为      = = = . sin , cos , z z y r x r   如图，柱面坐标系中的体积元素为 dv = rdrddz,    f (x, y,z)dxdydz ( cos , sin , ) .   = f r  r  z rdrddz 例 1 、 计 算   I = zdxdydz ，其中  是球面 4 2 2 2 x + y + z = 与抛物面 x y 3z 2 2 + = 所围的立体. 解 由      = = = z z y r x r   sin cos ,知交线为    = + = r z r z 3 4 2 2 2  z =1, r = 3, 把闭区域投影到xoy面上， 0 2 . 0 3, 4 3 : 2 2         − r z r r ，    − =  2 3 2 2 4 0 3 0 r r I d dr r zdz   . 4 13 =  d r x y z o dz dr rd

例2计算I=「(x2+y2)dxdd,其中Ω是曲线 2z,x=0绕O 轴旋转一周而成的曲面与两平面z=2,二=8所围的立体 解由 0 绕Oz轴旋转得,旋转面方程为x2+y2=2x, 所围成的立体如图, 所围成立体的投影区域如图, D1:x2+y2=16

4 例２ 计算   I = (x + y )dxdydz 2 2 ， 其中  是曲线 y 2z 2 = ， x = 0 绕 oz 轴旋转一周而成的曲面与两平面 z = 2, z = 8 所围的立体. 解 由    = = 0 2 2 x y z 绕 oz 轴旋转得，旋转面方程为 2 , 2 2 x + y = z 所围成的立体如图， 所围成立体的投影区域如图， : D1 16, 2 2 x + y = D2 D1

0≤6≤2丌 0<r≤4 Q 6<2丌 0≤r≤2 z≤2 1=1-12=Jx2+y2)hv-(x2+y2)tdv D 1,=rdrdef: fa==l der drfrr'd=2 原式l=-丌-=丌=336丌 、利用球面坐标计算三重积分 设M(x,y,2)为空间内一点,则点M可用三个有次序的 数r,φ,θ来确定,其中r为原点O与点M间的距离,q为 有向线段OM与z轴正向所夹的角,O为从正z轴来看自x轴 按逆时针方向转到有向线段OP的角,这里P为点M在xoy 面上的投影,这样的三个数r,p,就叫做点M的球面坐标 规定:0≤r<+∞,0≤≤x,0≤6≤2丌 如图,三坐标面分别为 r为常数→球面

5 , 8 2 0 4 0 2 : 1 2              z r r   : D2 4, 2 2 x + y = . 2 2 0 2 0 2 : 2 2              z r r   ( ) ( ) , 1 2 2 2 2 2 1 2      I = I − I = x + y dxdydz − x + y dxdydz   = 1 2 8 2 1 D r I rdrd fdz    =  8 2 4 0 2 0 2 2 r d dr r r dz   , 3 4 5 =    = 2 2 2 2 2 D r I rdrd fdz    =  2 2 2 0 2 0 2 2 r d dr r r dz   , 6 2 5 =  原式 I =  3 4 5  6 2 5 − = 336 . 二、利用球面坐标计算三重积分 面上的投影，这样的三个数 ， ， 就叫做点 的球面坐标． 按逆时针方向转到有向线段 的角，这里 为点 在 有向线段 与 轴正向所夹的角， 为从正 轴来看自 轴 数 ， ， 来确定，其中 为原点 与点 间的距离， 为 设 为空间内一点，则点 可用三个有次序的 r M OP P M xoy OM z z x r r O M M x y z M       ( , , ) 规定： 0  r  +, 0    , 0   2. 如图，三坐标面分别为 r 为常数  球 面；