高等数学第八章习题 选择填空 1已知X={偏导数存在的函数类},Y={偏导数存在且连续的函数类},z={可微函数类}, 则() (A)X=y三z(B)Y三X三z(C)X三z=Y x 2已知函数f(x)={x2+ x+y2≠0 在(0,0)点下列叙述正确的是 (A)连续但偏导不存在 (B)连续偏导也存在 (C)不连续偏导也不存在 (D)不连续但偏导存在 3曲线x=1,y=-12,z=13的所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有()条 (A)1 (C)3 (D)4 4曲面= sin xsin siR(x+y)上点(z,x,3)处的法线与xoy面夹角的正弦值为() (C) (D) 13 26 5函数f(x,y)在P(x,y)点沿向量e= 的方向导数为一f (A){0,-1} (B){-1。0} (C){1,0}(D){0,1} 6z=∫(x,y)在(xo、y)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又(x0,y)是驻点, 令Jx(x0,y0)=A、fn(x0,y)=B、f(x0,y)=C,则f(x,y)在(x,y0)处取得极 值的条件为 (A)B2-4AC>0(B)B2-4AC=0(C)B2-4AC<0①)A、B、C任何关系 7梯度与方向导数的关系为:梯度的方向是方向导数取得 的方向,梯度的模是方向 导数的最大值 (A)极大值 (B)最小值 (C)最大值 D)极小值 8二元函数的二阶混合偏导数相等的充分条件是 (A)Jx=0且J,=0(B)J连续(C)Jx连续(D)J与∫x都连续 填空 1已知∫(x+y,x-y)=xy+x2,则f(x,y) x2+y2+z2=9 2空间曲线 的参数方程为 y 3已知向量AB的终点是(2-17),它在x,yz轴上的投影依次为4-47。则AB的起点A
高等数学第八章习题 一 选择填空 1 已知 X={偏导数存在的函数类}, Y={偏导数存在且连续的函数类},Z={可微函数类}, 则 ( ) (A) X Y Z (B) Y X Z (C) X Z Y (D) Z Y X 2 已知函数 + = + = + 0 0 0 ( ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x ,在 (0,0) 点下列叙述正确的是( ) (A)连续但偏导不存在 (B) 连续偏导也存在 (C)不连续偏导也不存在 (D)不连续但偏导存在 3 曲线 2 3 x = t, y = −t ,z = t 的所有切线中与平面 x + 2y + z = 4 平行的切线有( )条. (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 4 曲面 z = sin x sin y sin( x + y) 上点 ) 4 3 , 3 , 6 ( 处的法线与 xoy 面夹角的正弦值为（ ） （A） 13 2 26 （B） 26 3 26 （C） 13 13 （D） 26 1 5 函数 f (x, y) 在 P(x, y) 点沿向量 = ________ → e 的方向导数为 y − f 。 （A）{0,-1} (B) {-1,0} (C) {1,0} (D) {0,1} 6 z = f (x, y)在（x0, y0） 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 ( , ) 0 0 x y 是驻点， 令 ( , ) ( , ) ( , ) , f xx x0 y0 = A、f xy x0 y0 = B、f yy x0 y0 = C 则 f (x, y) 在 （x0 , y0） 处取得极 值的条件为 （A） 4 0 2 B − AC (B) 4 0 2 B − AC = (C) 4 0 2 B − AC (D) A、B、C 任何关系。 7 梯度与方向导数的关系为：梯度的方向是方向导数取得 ______ 的方向，梯度的模是方向 导数的最大值 (A) 极大值 (B) 最小值 (C) 最大值 (D)极小值 8 二元函数的二阶混合偏导数相等的充分条件是 ____ (A) f x = 0 且 f y = 0 (B) xy f 连续 (C) yx f 连续 (D) xy f 与 yx f 都连续 二 填空 1 已知 2 f (x + y, x − y) = xy + x ，则 f (x, y) = _____________________ 2 空间曲线 = + + = x y x y z 9 2 2 2 的参数方程为 ____________________ 3 已知向量 AB 的终点是 (2,−1,7) ，它在 x, y,z 轴上的投影依次为 4,−4,7 。则 AB 的起点 A
的坐标是 4设函数z=二(x,y)由方程x-y+ arctan y=0所确定,则 5本函数=l(x2+y2+2)在点M(1,2,-2)处的梯度为 6由方程xy+√x2+y2+=2=0所确定的隐函数==(x,y)在点M0-1)处的全微分 7若f(x)=2x2+xy2+ax+2y在点(1-1)处取得极值,则a= 8设F(l,v,)是可微函数,且F(2,2,2,)=F(2,2,2,)=3,F(2,2,2,)=-6。曲面 F(x+y,y+,+x)=0通过(1)点,则过这点的法线方程是 完成下列各题 1证明函数∫(x)=1x2+y x2+y2≠0 当(x,y)→>(00)时极限不存在。 2求z=xy在条件x+y=4下的极值 3已知隐函数〓=二(x,y)由方程G(xyy+z,-x)=0所确定,且G(l,v,w)具有一阶连续偏 导,G2+xG≠0,求 4求曲面x2y2+y2+22x2=3在点(1,-1,-1)处的切平面方程 四完成下列各题 1求函数二=√在(0)点的偏导数2求极限 五完成下列各题 1设u=l(x,y)具有二阶连续偏导,且lx-l1n=0,(x,2x)=x,2(x,2x)=x2,求 lx(x,2x),lx(x,2x),1(x,2x) 2设D1由y=2x2及x=a,x=2,y=0所围成,D2由轴y=2x2及x=a,y=0所围成 (0<a<2)、(1)试求D绕x轴旋转及D2绕y轴旋转而成立体的体积(2)a为何值时,两体积 之和最大? 3设z=f(x,y,x+y),其中∫具有二阶连续偏导数,求
的坐标是 ______________。 4 设函数 z = z(x, y) 由方程 xz − y + arctan y = 0 所确定，则 __________ 2 = x y z 。 5 本函数 ln( ) 2 2 2 u = x + y + z 在点 M (1,2,−2) 处的梯度为__________________________ 6 由方程 0 2 2 2 xyz + x + y + z = 所确定的隐函数 z = z(x, y) 在点 M (1,0,−1) 处的全微分 __________________________。 7 若 f (x) 2x xy ax 2y 2 2 = + + + 在点 (1,−1) 处取得极值，则 a = _________________ 8 设 F(u,v,w) 是可微函数，且 Fu (2,2,2,) = Fw (2,2,2,) = 3， Fv (2,2,2,) = −6 。曲面 F(x + y, y + z,z + x) = 0 通过 (1,1,1) 点，则过这点的法线方程是 _______。 三 完成下列各题 1 证明函数 + = + = + 0 0 0 ( ) 2 2 2 2 2 4 2 x y x y x y x y f x 当 (x, y) → (0,0) 时极限不存在。 2 求 z = xy 在条件 x + y = 4 下的极值。 3 已知隐函数 z = z(x, y) 由方程 G(xy, y + z,zx) = 0 所确定，且 G(u,v,w) 具有一阶连续偏 导， 0 / 3 / G2 + xG ，求 x z 4 求曲面 3 2 2 2 2 2 2 x y + y z + z x = 在点 (1,−1,−1) 处的切平面方程。 四 完成下列各题 1 求函数 z = xy 在 (0,0) 点的偏导数 2 求极限 4 4 2 2 lim x y x y y x + + → → 五 完成下列各题 1 设 u = u(x, y) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 , 且 2 u u 0,u(x,2x) x,u (x,2x) x xx − yy = = x = , 求 u (x,2x),u (x,2x),u (x,2x), xx xy yy . 2 设 D1 由 2 y = 2x 及 x = a, x = 2, y = 0 所围成, D2 由轴 2 y = 2x 及 x = a, y = 0 所围成 (0 a 2) ,(1)试求 D1 绕 x 轴旋转及 D2 绕 y 轴旋转而成立体的体积.(2) a 为何值时,两体积 之和最大? 3 设 z = f (x, y, x + y) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 2 2 x z