章节题目 第六节空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程、参数方程 内 ∫F(x,y,)=0 y=y() G(x,y,=)=0 容提要 二=(1) 空间曲线在坐标面上的投影 (x,y)=0JR(y,)=0jT(x,)=0 二=0 x=0 0 空间曲线方程的建立 给出方程确定曲线 重点分析 空间曲线的投影 难点分析 习题布置 1(3)、3、7、8 备注
1 章 节 题 目 第六节 空间曲线及其方程 内 容 提 要 空间曲线的一般方程、参数方程． = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t 空间曲线在坐标面上的投影． = = 0 ( , ) 0 z H x y = = 0 ( , ) 0 x R y z = = 0 ( , ) 0 y T x z 重 点 分 析 空间曲线方程的建立 给出方程确定曲线 难 点 分 析 空间曲线的投影 习 题 布 置 P416：1（3）、3、7、8 备 注
教学内容 空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线 F(x,y,=)=0 IG(x, y, =)=0 空间曲线的一般方程 特点:曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能 同时满足两个方程 例1方程」x2+y2=1 表示怎样的曲线? 2x+3y+3 5 解x2+y2=1表示圆柱面, 2x+3y+32=6表示平面 交线为椭圆 2x+3y+3z=6 例2方程组 表示怎样的曲线? 2
2 教 学 内 容 一、空间曲线的一般方程 空间曲线 C 可看作空间两曲面的交线. = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能 同时满足两个方程. 例 1 方程组 + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 表示怎样的曲线？ 解 1 2 2 x + y = 表示圆柱面， 2x + 3y + 3z = 6 表示平面， + + = + = 2 3 3 6 1 2 2 x y z x y 交线为椭圆. 例 2 方程组 − + = = − − 4 ) 2 ( 2 2 2 2 2 2 a y a x z a x y 表示怎样的曲线？ x o z y S1 2 S C
解二=a2-x2-y2上半球面 (x-2)+y2=2圆柱面 交线如图 空间曲线的参数方程 x=x() y=y()空间曲线的参数方程 二=(D) 当给定t=1时,就得到曲线上的一个点(x,y1,=1),随着参数的变化可得到曲线 上的全部点 例3如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度O绕z轴旋转,同时又 以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中O、v都是常数),那么点M构成的 图形叫做螺旋线.试建立其参数方程. ot. 取时间t为参数,动点从A点出发,经过t时间,运动到M点
3 解 2 2 2 z = a − x − y 上半球面, 4 ) 2 ( 2 2 2 a y a x − + = 圆柱面, 交线如图. 二、空间曲线的参数方程 = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t 空间曲线的参数方程 当给定 1 t = t 时，就得到曲线上的一个点 ( , , ) 1 1 1 x y z ，随着参数的变化可得到曲线 上的全部点. 例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 2 2 2 x + y = a 上以角速度 绕 z 轴旋转，同时又 以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中 、v 都是常数），那么点 M 构成的 图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． 取时间 t 为参数，动点从 A 点出发，经过 t 时间，运动到 M 点 A • M M t 解 x y z o
M在xoy面的投影M(x,y,0) x= acos ot c=vt (螺旋线的参数方程) 螺旋线的参数方程还可以写为 x=acos c=be 螺旋线的重要性质: 上升的高度与转过的角度成正比 即:日→日+a,z:b6→>b+ba, a=2丌,上升的高度h=2bz(螺距) 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程: F(x,y,=)=0 IG(x,y, =)=0 消去变量二后得:H(x,y)=0 曲线关于xoy的投影柱面 投影柱面的特征: 以此空间曲线为准线,垂直于所投影的坐标面 如图:投影曲线的研究过程
4 M 在 xoy 面的投影 M (x, y,0) x = acost y = a sin t z = vt (螺旋线的参数方程) 螺旋线的参数方程还可以写为 = = = z b y a x a sin cos ( , ) v = t b = 螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比． 即 : , 0 →0 + : , z b0 →b0 +b = 2 , 上升的高度 h = 2b (螺距) 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程： = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 消去变量 z 后得： H(x, y) = 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面. 如图:投影曲线的研究过程
空间曲线 投影柱面 投影曲线 空间曲线在xy面上的投影曲线H(x,y)=0 类似地:可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 y0z面上的投影曲线,xOz面上的投影曲线 「R(y,=)=0 T(x,=)=0 =0 例4求曲线 在坐标面上的投影 解(1)消去变量:后得x+y=4 在x0y面上的投影为/x2+y2 z=0 (2)因为曲线在平面z=上,所以在xO面上的投影为线段 √3 y=0
5 空间曲线在 xoy 面上的投影曲线 = = 0 ( , ) 0 z H x y 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 yoz 面上的投影曲线, xoz 面上的投影曲线, = = 0 ( , ) 0 x R y z = = 0 ( , ) 0 y T x z 例 4 求曲线 = + + = 2 1 1 2 2 2 z x y z 在坐标面上的投影. 解（1）消去变量 z 后得 , 4 2 2 3 x + y = 在 xoy 面上的投影为 , 0 4 2 2 3 = + = z x y （2）因为曲线在平面 2 1 z = 上，所以在 xoz 面上的投影为线段. ; 2 3 , | | 0 2 1 = = x y z 空间曲线 投影柱面 投影曲线