章节题目 第五节曲面及其方程 曲面方程的概念F(x,y,z)=0 内|转曲面的概念及求法 孕|柱面的概念 提 要 已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程 已知坐标间的关系式,研究曲面形状 重点分析 旋转曲面的求法 难点分析 趣P11、3、5、8(4)、10 布 备注
1 章 节 题 目 第五节 曲面及其方程 内 容 提 要 曲面方程的概念 F x y z ( , , ) 0 = 旋转曲面的概念及求法 柱面的概念 重 点 分 析 已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程 已知坐标间的关系式，研究曲面形状 难 点 分 析 旋转曲面的求法 习 题 布 置 P410：1、3、5、8（4）、10 备 注
教学内容 曲面方程的概念 曲面的实例:水桶的表面、台灯的罩子面等 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程F(x,y,x)=0有下述关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的图形 以下给出几例常见的曲面 例1建立球心在点M0(xy,二0)、半径为R的球面方程 解设M(x,y,z)是球面上任一点, 根据题意有|MM0=R (x-x)+(y-y2)+(=-=)=R 所求方程为(x-x)+(v-y)+(-=0)=R2 特殊地:球心在原点时方程为x2+y2+z2=R2 例2求与原点O及M0(2,34)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程 解设M(x,y,z)是曲面上任一点 根据题意有|MO IMMoI 2 √(x-2)+(y-3)+(=-4)2 所求方程为x+2+(U+1)+(=+ 116 9 例3已知A(1,2,3),B(2,-1,4),求线段AB的垂直平分面的方程 解设M(x,y,x)是所求平面上任一点, 根据题意有| MA MB 2
2 教 学 内 容 一、曲面方程的概念 曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 如果曲面 S 与三元方程 F(x, y,z) = 0 有下述关系： (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； (2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F(x, y,z) = 0 就叫做曲面 S 的方程，而曲面 S 就叫做方程的图形． 以下给出几例常见的曲面. 例 1 建立球心在点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 、半径为 R 的球面方程. 解 设 M (x, y,z) 是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 |= R (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) = R 2 0 2 0 2 0 所求方程为 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 x − x0 + y − y + z − z = R 特殊地：球心在原点时方程为 2 2 2 2 x + y + z = R 例 2 求与原点 O 及 (2,3,4) M0 的距离之比为 1: 2 的点的全体所组成的曲面方程. 解 设 M (x, y,z) 是曲面上任一点， 根据题意有 , 2 1 | | | | 0 = MM MO ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + + x y z x y z 所求方程为: ( ) . 9 116 3 4 1 3 2 2 2 2 = + + + + x + y z 例 3 已知 A(1,2,3)， B(2,−1,4) ，求线段 AB 的垂直平分面的方程. 解 设 M (x, y,z) 是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA |=| MB |
√(x-1)+(y-2)+(-3)=√(x-2)+(y+1)+(-4) 化简得所求方程2x-6y+2x-7=0 例4方程z=(x-1)2+(y-2)2-1的图形是怎样的? 解根据题意有z≥-1 用平面z=C去截图形得圆: (x-1)2+(y-2)2=1+c(c≥-1) 当平面z=C上下移动时,得到一系列圆 圆心在(,2,c),半径为√1+c 半径随C的增大而增大.图形上不封顶,下封底 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题 (1)已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程.(讨论旋转曲面) (2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状.(讨论柱面、二次曲面) 旋转曲面 定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面 这条定直线叫旋转曲面的轴 旋转过程中的特征:如图 M1(O,y1,=1) M f(y,=) 设M(x,y,)
3 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x −1 + y − 2 + z −3 ( 2) ( 1) ( 4) , 2 2 2 = x − + y + + z − 化简得所求方程 2x − 6y + 2z − 7 = 0. 例 4 方程 ( 1) ( 2) 1 2 2 z = x − + y − − 的图形是怎样的？ 解 根据题意有 z −1 用平面 z = c 去截图形得圆： ( 1) ( 2) 1 ( 1) 2 2 x − + y − = + c c − 当平面 z = c 上下移动时，得到一系列圆 圆心在 (1,2,c) ，半径为 1+ c 半径随 c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论柱面、二次曲面） 二、旋转曲面 定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴． 旋转过程中的特征：如图 设M(x, y,z), z x o y c x o z y f ( y,z) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z M d
(1)二= (2)点M到z轴的距离 d=√x2+y2=1y1 将二=-12y=±√x2+y2代入 f(y,=1)=0 得方程 =0, y0z坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周的旋转曲面方程 同理:y0x坐标面上的已知曲线∫(y,z)=0绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为 ±√x2+2)=0 例5直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫圆锥面.两直 线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角a|0<a 叫圆锥面的半顶角.试建 立顶点在坐标原点,旋转轴为z轴,半顶角为∝的圆锥面方程. M1(O,y1=1) M(x,y,=) 解y0面上直线方程为z= cota 圆锥面方程z=±√x2+y2cota 例6将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程 (1)双曲线-三=1分别绕x轴和二轴 绕x轴旋转
4 1 (1) z = z （2）点 M 到 z 轴的距离 | | 1 2 2 d = x + y = y 将 2 2 1 1 z = z , y = x + y 代入 f (y1 ,z1 ) = 0 得方程 ( , ) 0, 2 2 f x + y z = yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程. 同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为 ( , ) 0. 2 2 f y x + z = 例 5 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直 线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角 2 0 叫圆锥面的半顶角．试建 立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为 的圆锥面方程． 解 yoz 面上直线方程为 z = y cot 圆锥面方程 cot 2 2 z = x + y 例 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程． （1）双曲线 1 2 2 2 2 − = c z a x 分别绕 x 轴和 z 轴； 绕 x 轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + − c y z a x x o z y (0, , ) 1 1 1 M y z M (x, y,z) o x z y
绕轴旋转+y2 (旋转双曲面) (2)椭圆 绕y轴和z轴 绕y轴旋转 绕z轴旋转 (旋转椭球面 y2=2 (3)抛物线 D (旋转抛物面) 柱面 定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面 这条定曲线C叫柱面的准线,动直线L叫柱面的母线 观察柱面的形成过程 柱面举例 平面 抛物柱面 从柱面方程看柱面的特征: 只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0,在空间直角坐标系中表示母线平行于二轴的 柱面,其准线为xoy面上曲线C c海新 +一=1椭圆柱面∥x轴
5 绕 z 轴旋转 1 2 2 2 2 2 − = + c z a x y (旋转双曲面) （2）椭圆 = + = 0 1 2 2 2 2 x c z a y 绕 y 轴和 z 轴； 绕 y 轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + + c x z a y 绕 z 轴旋转 1 2 2 2 2 2 + = + c z a x y (旋转椭球面) （3）抛物线 = = 0 2 2 x y pz 绕 z 轴； x y 2pz 2 2 + = (旋转抛物面) 三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: 柱面举例 从柱面方程看柱面的特征： 只含 x, y 而缺 z 的方程 F(x, y) = 0 ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的 柱面，其准线为 xoy 面上曲线 C . 实 例: 1 2 2 2 2 + = c z b y 椭圆柱面 // x 轴 x o z y y 2x 2 = 抛物柱面 x o z y y = x 平面