章节题目 第三节向量的坐标 向量在轴上的投影与投影定理 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 内/向量的模与方向余弦的坐标表示式 容 提 要 向量在坐标轴上的分向量与向量坐标的区别与联系 重点分析 向量的模与方向余弦的坐标表示式 难点分析 习题布置 391:1、2、4、7、8 备注
1 章 节 题 目 第三节 向量的坐标 内 容 提 要 向量在轴上的投影与投影定理 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 向量的模与方向余弦的坐标表示式 重 点 分 析 向量在坐标轴上的分向量与向量坐标的区别与联系 难 点 分 析 向量的模与方向余弦的坐标表示式 习 题 布 置 P391：1、2、4、7、8 备 注
教学内容 向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴,AB是轴u上的有向线段 如果数满足A2=|AB且当AB与轴同 向时λ是正的,当AB与u轴反向时A是负的, 那末数A叫做轴上有向线段AB的值,记作 AB,即A=AB 设e是与u轴同方向的单位向量, AB=(AB)e 设A,B,C是u轴上任意三点,不论这三点 的相互位置如何 AC= AB+BC Bp (AC)e=(AB)e+(BC)e=(AB+ BC)e AC=AB+Bc 例1在轴上取定一点O作为坐标原点.设A,B,是轴上坐标依次为1,l2的两 个点,E是与轴同方向的单位向量,证明AB=(l2-u1) B 证∵OA=1, 故OA=u,同理,OB=l2E,于是 AB=OB-O4=2e-e=(l2-1) 空间两向量的夹角的概念: 2
2 教 学 内 容 一、向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴u，AB 是轴u 上的有向线段. AB AB. u AB AB u AB AB u = = ，即 那末数 叫做轴 上有向线段 的值，记作 向时 是正的，当 与 轴反向时 是负的， 如果数 满足 ，且当 与 轴同 设e 是与u 轴同方向的单位向量， AB (AB)e. = 的相互位置如何， 设 A, B,C 是 u 轴上任意三点，不论这三点 AC = AB + BC, AC e AB e BC e 即 ( ) = ( ) +( ) (AB BC)e, = + AC = AB + BC. 例 1 在 u 轴上取定一点 o 作为坐标原点．设 A,B ,是 u 轴上坐标依次为 1 u , 2 u 的两 个点， e 是与 u 轴同方向的单位向量，证明 AB u u e ( ) = 2 − 1 . 证 , OA = u1 , 1 OA u e 故 = , 2 OB u e 同理， = 于是 AB = OB − OA u e u e = 2 − 1 ( ) . 2 1 u u e = − 空间两向量的夹角的概念： u A B o u A B 1 e o u A B 1 e 1 u u2
b≠0, 向量a与向量b的夹角 9=Gab)=(b,a)(0≤≤x) 类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定它们的夹角可在0与丌之间任意取 空间一点在轴上的投影 过点A作轴u的垂直平面,交点A即为点A在轴u上的投影 空间一向量在轴上的投影 已知向量的起点A和终点B在轴l上的投影分别为A’,B'那 么轴l上的有向线段A'B’的值,称为向量在轴u上的投影 向量AB在轴上的投影记为 Pr j AB=AB 关于向量的投影定理(1) 向量AB在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦:
3 0, a 0, b 向量 a 与向量 b 的夹角 (0 ) 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在 0 与 之间任意取 值. 空间一点在轴上的投影 过点 A 作轴 u 的垂直平面，交点 A 即为点 A 在轴 u 上的投影. 空间一向量在轴上的投影 已知向量的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别为 A , B 那 么轴 u 上的有向线段 AB 的值，称为向量在轴 u 上的投影. 向量 AB 在轴 u 上的投影记为 Pr j u AB = AB . 关于向量的投影定理（1） 向量 AB 在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦： a b (a,b) = (b, a) = u • A A u A A B B
Prj, Ab彐AB|cosq A Prj, ab= Prj,, Ab引 Abcs 定理1的说明: (1)0≤q< ,投影为正 (2)。<￠≤x,投影为负 (3)=x,投影为零: (4)相等向量在同一轴上投影相等 关于向量的投影定理(2) 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和 (可推广到有限多个) Prj(a,+a,)=Pr ja,+ Pr ja C B 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 设a=M1M2为一向量,u为一条数轴 点M1M2在轴u上的投影分别为点P,P 又设B,P在轴u上的坐标依次为1u2
4 Pr j u AB =| AB | cos Pr j u AB = Pr j u AB =| AB | cos 定理 1 的说明： (1) 0 , 2 投影为正； 2 (2) , 投影为负； (3) = , 2 投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等； 关于向量的投影定理（2） 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和. （可推广到有限多个） Pr ( ) Pr Pr . 1 2 1 a2 j a a ja j + = + 二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 点 在轴 上的投影分别为点 ． 设 为一向量， 为一条数轴． 1 2 1 2 1 2 M , M u P , P a = M M u 又设 P1 ,P2 在轴u 上的坐标依次为u1 ,u2． 证 u A B A B B u A A B B C C u 1 a 2 a
Pr rJ MM2=a PP=OP,-OP =u,-l 如果e是与l轴正向一致的单位向量 由例1知 PP2=ane =(u-u)e 设a是以M1(x1y12=1)为起点、M2(x2,y2,=2) 为终点的向量,过M1M2各作垂直于三个坐标轴的平面 这六个平面围成一个以线段MM2为对角线的长方体 P 以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量 上式分别表示 向量在x轴上的投影 向量在y轴上的投影 向量在z轴上的投影 ar=x2-x y-y1a2=22-1
5 Pr , u M1M2 au j = P1P2 = OP2 −OP1 , = u2 −u1 . au = u2 −u1 如果 e 是与 u 轴正向一致的单位向量， 由例 1 知 P P a eu = 1 2 ( ) . 2 1 u u e = − 设 a 是以 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 为起点、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为终点的向量，过 1 2 M , M 各作垂直于三个坐标轴的平面 , 这六个平面围成一个以线段 M1M2 为对角线的长方体. 以 i j k , , 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量. a a i a j a k x y z = + + 上式分别表示 向量在 x 轴上的投影 向量在 y 轴上的投影 向量在 z 轴上的投影 2 1 a x x x = − 2 1 a y y y = − 2 1 a z z z = − M1 P1 M2 o P2 u x y z o M1• P N Q R • M2 i j k