因此寻求极值点的方法 在导数为0的点或者是连续不可导点中去寻找 5判定极值的第一充分条件 定理9(判定极值的第一充分条件设函数y=f(x)在U(x0,) 内连续,在U(x,6)(或U(x,。))内可导 (1)若当x∈(x-,x)时f(x)>当x∈(x1,x+6)时, ∫(x)<0.则x0为极大值点;f(x)为f(x)的极大值 (2)若当x∈(x-6,x)时f(x)<0当x∈(xnx+O)时, f(x)>0.则x为极小值点;f(x)为f(x)的极小值′ 六人 (3)若当x∈U(xn,6,)时,f(x)保号,则x不为极值点 证由极值的定义及定理8可证
6 在导数为0的点或者是连续不可导点中去寻找. 定理9(判定极值的第一充分条件)设函数y =ƒ(x)在 内连续,在 (或 ) 内可导. 0 U(x , ) 0 U(x , ) 0 0 U(x , ) 0 0 0 0 0 0 (1) ( , ) ( ) 0; ( , ) ( ) 0. ( ) ( ) . x x x f x x x x f x x f x f x 若当 时 当 时, 则 为极大值点； 为 的极大值 5.判定极值的第一充分条件 因此寻求极值点的方法: 0 0 0 0 0 0 (2) ( , ) ( ) 0; ( , ) ( ) 0. ( ) ( ) . x x x f x x x x f x x f x f x 若当 时 当 时, 则 为极小值点； 为 的极小值 0 0 (3)若当xU(x ,,) 时, f(x) 保号,则x 不为极值点. 证 由极值的定义及定理8可证
此定理可简单叙述为:设为连续函数f(x)的可能极值点, 若f(x在x的两侧保号,则x不是f(x)的极值点, 若当x从x左侧变到右侧时,f(x)变号,则x为f(x)的极 值点 因此求极值的一般步骤为: (1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点; (2)考察这些点两侧导函数的符号(方法:特殊取点),从而确定极值点; (3)求出极值点的函数值,即为极值 例21求函数f(x)=(x-1)2(x-2)3的极值 解定义域为(-∞,+∞) f(x)=2(x-1)(x-2)3+3(x-2)(x-1)2=(x-1)(x-2)2(5x-7)
7 因此求极值的一般步骤为: 0 x 0 x f (x) 0 x f (x) 0 x 0 x 例21 求函数 的极值. 2 3 f(x)(x1) (x2) 此定理可简单叙述为: 设 为连续函数ƒ(x)的可能极值点, 若当x从 左侧变到右侧时, 变号, 则 为ƒ(x)的极 值点. 若 在 的两侧保号, 则 不是ƒ(x)的极值点, (1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点; (2)考察这些点两侧导函数的符号(方法:特殊取点),从而确定极值点; (3)求出极值点的函数值,即为极值. 解 定义域为 ( , ) 3 2 2 2 f (x) 2(x 1)(x 2) 3(x 2) (x 1) (x 1)(x 2) (5x 7)
由(x)=0得f(x)的三个驻点=,。7 253=2无连续不可导点 这三个点将(,+)分为四个子区间(∞,1)(,)(,2),(2,+∞) 列表讨论如下 x)+ 0 f(x) 极大值 极小值 无极 108 f(1)=03)=-3125 值 故函数有极大值f(1)=0.函数有极小值∫ 108 3125 例22求函数f(x)=(x-1)x2的极值 此函数的单调性在例17中已讨论,现重新列表如下:
8 1 2 3 7 ( ) 0 ( ) 1, , 2 . 5 由f x 得 f x 的三个驻点 x x x 无连续不可导点 7 7 (- , ) (- ,1),(1, ),( ,2),(2, ). 5 5 这三个点将 分为四个子区间 x 1 2 + 0 – 0 + 0 + ƒ(x) 极大值 ƒ(1)=0 极小值 无极 值 (,1) 7 (1, ) 5 7 5 7 ( , 2) 5 (2,) f (x) 7 108 ( ) 5 3125 f 故函数有极大值ƒ(1) = 0. 函数有极小值 7 108 ( ) . 5 3125 f 例22 求函数 的极值. 3 2 f (x) (x 1) x 此函数的单调性在例17中已讨论, 现重新列表如下: 列表讨论如下 :