河南科技学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十章 曲线积分与曲面积分

且P(x,y)+Q(x,y) ={P|q(),()kp()+Ql(,v()(t)dt 特殊情形 (1)L:y=y(x)x起点为a,终点为b gUL P x+ody=[(PIx, y(x)]+Ql*,y(x)ly (x)idx (2)L:x=x(y)y点为c,终点为d au pax+@dy=f(P[x(v), ykx'()+olx(),yidy

P t t t Q t t t dt P x y dx Q x y dy L { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( , ) ( , )               且 特殊情形 (1) L : y  y(x) x起点为a，终点为b. Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)]y (x)}dx. b L a 则     (2) L : x  x( y) y起点为c，终点为d. Pdx Qdy {P[x( y), y]x ( y) Q[x( y), y]}dy. d L c 则    

x=φp(t) (3)推广r:y=v(),施点a终点B z=0(t) Pdx+ody+ Rdz ={Pp(),v(,0()lp() +elo(t),y(t), a(tly(t) +ro(t),y(o),a(tla(t)dt

, , . ( ) ( ) ( ) (3) :      推广 t起点 终点 z t y t x t          R t t t t dt Q t t t t P t t t t Pdx Qdy Rdz [ ( ), ( ), ( )] ( )} [ ( ), ( ), ( )] ( ) { [ ( ), ( ), ( )] ( )                        

(4)两类曲线积分之间的联系: 设有向平面曲线弧为L: x=o(t) y=y() L上点(x,y)处的切线向量的方向角为α,B, 则Pk+J(Pc+ 2cos p)ds 其中cosa= ( g2(t)+y/2() COS B √g(t)+y"2(t (可以推广到空间曲线上r)

(4) 两类曲线积分之间的联系： , ( ) ( )      y t x t L   设有向平面曲线弧为 ： L上点( x, y)处的切线向量的方向角 为, ,        L L 则 Pdx Qdy (Pcos Qcos )ds 其中 , ( ) ( ) ( ) cos 2 2 t t t          , ( ) ( ) ( ) cos 2 2 t t t          （可以推广到空间曲线上）

r上点(x,y,z处的切线向量的方向角为a,B,y, 则P+Qp+R「(Pa++ 可用向量表示=「Atds=AdF=-Ads, 其中A={P,Q,R},t={cosa,c0sβ,c0sy}, r上点(x,,z处的单位切向量 l=tds={r,dy,d}有向曲线元 A为向量A在向量t上的投影

上点(x, y, z)处的切线向量的方向角 为, , ,   则 Pdx  Qdy  Rdz  (Pcos  Qcos  Rcos )ds   A t ds     A dr  ,   A ds t  可用向量表示 其中 A  {P, Q, R}，  t  {cos, cos, cos },  dr  t ds  {dx, dy, dz}   有向曲线元； A为向量 A在向量 t上的投影. t  上点(x, y,z)处的单位切向量

例1计算,其中L为抛物线y2=x上从 A(1,-1)到B(1,1)的一段弧 B(1,1) 解()化为对x的定积分,y=±x y =x 0.20.40.60.811.2 hyde xydx+ xydx OB 0 A(1,-1) x(-√x)dx+|x√xax =2x2x 5

例1 (1, 1) (1,1) . , 2 到 的一段弧 计算 其中 为抛物线 上从 A B xydx L y x L    解 (1) 化为对x的定积分，y   x.      L AO OB xydx xydx xydx      1 0 0 1 x( x)dx x xdx   1 0 2 3 2 x dx . 5 4  y  x 2 A(1,1) B(1,1)