(2)化为对y的定积分, x=y2,y从-1到 B(1,1) y =x 「yd=Jnh 0.20.40.60.811.2 ∫yy)d A(1,-1) = 5
(2) 化为对y的定积分， , 2 x y L AB xydx xydx 1 1 2 2 y y( y ) dy y从 1到1. 1 1 4 2 y dy . 5 4 y x 2 A(1,1) B(1,1)
闭新 例2计算「y2tx,其中L为 L (1)半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; (2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段 x=acos 8 解(1) y=asin 0 0从0变到兀, B(-a,0)4(a0) 原式=「a2sine( casing)de
(2) ( ,0) ( ,0) . ; (1) , 2 从点 沿 轴到点 的直线段 的上半圆周 半径为 、圆心为原点、按逆时 针方向绕行 计算 其中 为 A a x B a a y dx L L 例 2 解 , sin cos (1) : y a x a L 从 0 变到 ， B(a,0) A(a,0) 0 原式 a sin ( asin )d 2 2
al(1-cos 8)d(cos 8) 3 (2)∵∴L:y=0, x从a变到-a, 原式=0b=0 B(-a,0) A(a20 问题:被积函数相同,起点和终点也相同,但 路径不同积分结果不同
B(a,0) A(a,0) . 3 4 3 a (2) L : y 0, x 从 a 变到 a， a a 原式 0dx 0. 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同积分结果不同. 0 3 a (1 cos ) (cos ) 2 d
闭新 例3计算∫2y+x2d,其中L为 (1)抛物线y=x2上从O(0,0到B(一段弧; (2)抛物线x=y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧; (3)有向折线OAB,这里O,4,B依次是点(0,0) (1,0),(1,1) 解(1)化为对x的积分 B(1,1) L:y=x2,x从0变到1, 原式=[(2x·x2+x2.2x) =4xx=1 02040.60.A1,0)2
例3 (1,0),(1,1). (3) , , (0,0) (2) (0,0) (1,1) ; (1) (0,0) (1,1) ; 2 , 2 2 2 有向折线 ，这里 依次是点 抛物线 上从 到 的一段弧 抛物线 上从 到 的一段弧 计算 其中 为 OAB O A B x y O B y x O B xydx x dy L L 2 y x A(1,0) B(1,1) 解 (1) 化为对 x 的积分. : , 0 1, L y x 2 x从 变到 1 0 2 2 原式 (2x x x 2x)dx 1 0 3 4 x dx 1
(2)化为对y的积分 B(1,1) L:x=y2,从0变到1, 0 原式=(2y2y2y+y) 5yt=1 (3)原式= 2xydx+xdy B(1,1 0A +Lr 2xydx+x'dy .20.40.60,8(1012
A(1,0) B (1 ,1 ) 2 x y (2) 化为对 y 的积分. : , 0 1 , L x y 2 y从 变到 1 0 2 4 原式 (2 y y 2 y y )dy 1 0 4 5 y dx 1. A(1,0) B(1,1) (3) AB OA xydx x dy xydx x dy 2 2 2 原式 2