∑P(5,m)x的极限存在,则称此极限为函 数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线 积分(或称第二类曲线积分),记作 P(x,y)=im∑P(95,m)Ax L -0 类似地定义∫(x,y)d=im∑(5,nA 其中P(x,y),Q(x,y叫做被积函数,L叫积分弧段
( , ) lim ( , ) . ( , ( , ) ( , ) , 1 0 1 i i n i i L n i i i i P x y dx P x P x y L x P x 积分 或称第二类曲线积分） 记作 数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线 的极限存在 则称此极限为函 类似地定义 ( , ) lim ( , ) . 1 0 i i n i i LQ x y dy Q y 其中P(x, y), Q(x, y)叫做被积函数 , L叫积分弧段
2存在条件:当P(x,y),Qx,y)在光滑曲线弧L 上连续时,第二类曲线积分存在 3组合形式 「P(,n)d+Q(xy) JL P(x, y)dx+e(x, y)dy=F ds 其中F=P+Q,d=di+d!y
2.存在条件： , . ( , ), ( , ) 上连续时 第二类曲线积分存在 当P x y Q x y 在光滑曲线弧 L 3.组合形式 L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) F Pi Qj, ds dxi dyj. 其中 . L F ds
推广 空间有向曲线弧r「P+Q+Rdz 「Px,3k=im∑P(5,,)△x 「(xy,x)=m∑Q(5,n,)A i=1 R(x,y,)=lm∑R(1,n,)△ 入→>0=1
4.推广 空间有向曲线弧 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i P x y z dx P x . Pdx Qdy Rdz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy Q y ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz R z
闭新 5性质 (1)如果把L分成L和L2,则 J, Pdx+ edy=L Pd+@dy+.Pdx+Ody (2)设L是有向曲线弧,L是与L方向相反的 有向曲线弧,则 ∫,P(x,y)x+g(x,y)=-JP(x,yx+(x,y) 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关
5.性质 . (1) , 1 2 1 2 L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 如果把 L分成 L 和L 则 有向曲线弧 则 设 是有向曲线弧 是与 方向相反的 , (2) L ,L L 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
对坐标的曲线积分的计算 定理设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧L上有定义且连 续L的参数方程为X=g(, 当参数t单调地由a变 y=y(t), 到时,点M(x,y)从L的起点4沿L运动到终点B, q(t,y()在以a及/为端点的闭区间上具有一阶连 续导数,且q2()+y"2(t)≠0,则曲线积分 P(x,y)x+Q(x,y)存在
三、对坐标的曲线积分的计算 ( , ) ( , ) , , ( ) ( ) 0, ( ), ( ) , ( , ) , ( ), ( ), , ( , ), ( , ) 2 2 存在 续导数 且 则曲线积分 在以 及 为端点的闭区间上具有 一阶连 到 时 点 从 的起点 沿 运动到终点 续 的参数方程为 当参数 单调地由 变 设 在曲线弧 上有定义且连 L P x y dx Q x y dy t t t t M x y L A L B t y t x t L P x y Q x y L 定理