例1求Ⅰ=[,xyb,L:椭圆 x= acos t (第I象限) Ly=bint, 解 I=2acost.bsint\(asin)+(b cost)dt ab 2 sint costva'sin2t+b2 cos2tdt ab udu (u=va'sin2t+b2 cost b2↓b ab(a + ab+b) 3(a+b)
例1 ( ). sin , cos , 求 , :椭圆 第象限 y b t x a t I xyds L L 解 I a t b t a t b t dt 2 2 2 0 cos sin ( sin ) ( cos ) ab t t a t b tdt 2 2 2 2 2 0 sin cos sin cos a b u du a b ab 2 2 2 ( sin cos ) 2 2 2 2 令u a t b t . 3( ) ( ) 2 2 a b ab a ab b
例2求Ⅰ=,yd, 4r 其中L:y2=4x,从(1,2到(1,-2)一段 解 2 Ⅰ=「,y1+()2p=0 2 例3求Ⅰ=「zb,其中r:x=acos,y=asin, z=k的一段,(0≤0≤2m) 解 2兀 a2 cos sin.kova+k de ka2、a2+k2
例2 : 4 , (1,2) (1, 2) . , 其中 2 从 到 一段 求 L y x I yds L 解 dy y I y 2 2 2 ) 2 1 ( 0. 例3 . (0 2 ) , : cos , sin , 的一段 求 其中 z k I xyzds x a y a 解 . 2 1 2 2 2 ka a k y 4x 2 a k a k d 2 2 2 cos sin 2 0 I
例4求I=[xs, 其中r为圆周 ∫x2+p2+x2=a2, x+y+i=0. 解由对称性,知x2=y2ds=x2 故I=「(x2+y2+z2) 2 3·(2ma=「k球面大圆周长)
例4 0. , , 2 2 2 2 2 x y z x y z a I x ds 其中 为圆周 求 解 由对称性, 知 . 2 2 2 x ds y ds z ds I (x y z )ds 3 故 1 2 2 2 ds a 3 2 . 3 2 3 a (2 ,球面大圆周长) a ds
四、几何与物理意义 (1)当p(x,y)表示L的线密度时, M=p(,y)ds (2)当f(x,)=时,L长=」; z= f(r,y) (3)当f(x,y)表示立于L上的 柱面在点(x,y)处的高时, 柱面面积 ∫f(xy)
四、几何与物理意义 (1) 当(x, y)表示 L的线密度时, ( , ) ; L M x y ds (2) ( , ) 1 , ; L f x y L ds 当 时 弧长 ( , ) , (3) ( , ) 柱面在点 处的高时 当 表示立于 上的 x y f x y L ( , ) . L S柱面面积 f x y ds s L z f ( x, y)
(4)曲线弧对x轴及y轴的转动惯量, ,= spds (5)曲线弧的重心坐标
(4) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 , , . 2 2 L y L x I x ds I y ds (5) 曲线弧的重心坐标 , . L L L L ds y ds y ds x ds x