河南科技学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十章 曲线积分与曲面积分

注意: 1.若L(或是分段光滑的,(L=L1+L2) f(x,y)ds= f(x, y)ds+, f(x, y) L1+L2 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 曲线积分记为f(x,y)d L

注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L  L1  L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2      L L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函数 在闭曲线 上对弧长的

4性质 (1),If(x,y)±8(x,y)lds=f(x,y)d±,(x,y)d (2)4f(x,y)s=k,f(x,y)d(k为常数) (3)f(x, y)ds=l. f(x, y)ds+l. f(x,y)ds. (L=L1+L2

4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) .       L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f ( x, y)ds (k为常数). L L  (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2      L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L  L1  L2

闭新 、对弧长曲线积分的计算 定理 设∫(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为{x=g(, (a≤t≤B)其中 ∪y=v(t), (t,y()在|a,止上具有一阶连续导数,且 「(x,)k=Oy(9(0)+y(ym (a<B)

三、对弧长曲线积分的计算 定理 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , 2 2                               f x y ds f t t t t dt t t t y t x t L f x y L L 在 上具有一阶连续导数 且 的参数方程为 其中 设 在曲线弧 上有定义且连续

注意 1.定积分的下限a一定要小于上限B; 2.f(x,y)中x,y不彼此独立,而是相互有关的 特殊情形 (1)L:y=y(x)a≤x≤b. Ss(,yds=flEx, w(x)N1+w"(xdr(a<b)

注意: 1. 定积分的下限  一定要小于上限 ; 2. f (x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的. 特殊情形 (1) L : y  (x) a  x  b. ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a    (a  b)

(2)L:x=φp(y)c≤y≤d f(x,y)ds=fo(), yh1+p"(y)dy (c< d 推广:T:x=g(t),y=v(t),z=0(1),(a≤t≤B) f∫(x,y,z)d ∫|q(,vy(t),m(切)p2(t)+y(t)+o2(t)dt (a<B)

推广:  : x  (t), y  (t), z  (t). (  t   ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( , , ) 2 2 2                    f t t t t t t dt f x y z ds (2) L : x  ( y) c  y  d. ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) . 2 f x y ds f y y y dy d L c     (c  d )