解题技巧专题:反比例函数与一次函数的综合问题 ◆类型一同一坐标系中判断图象 1.(绥化中考)当k>0时,反比例函数y=-和一次函数y=kx+2的图象大致是( B 2.如图,在同一直角坐标系中表示函数y=一和y=mx+n(m≠0,n≠0)的图象正确的 是() A D ◆类型二利用反比例函数图象和一次函数的交点求解 3.已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点坐标为(1,3) 另一个交点坐标是 4.(青海中考)如图,直线y=x与双曲线y=-在第一象限的交点为A(2,m),则k= 第4题图 第5题图 5.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+2与反比例函数y=-的图象有唯一公共 点,若直线 +b与反比例函数y=-的图象没有公共点,则b的取值范围是 6.(襄阳中考)如图,直线y=ax+b与反比例函数y=-(x>0)的图象交于A(1,4)、B(4, n)两点,与x轴、y轴分别交于C、D两点. _:若M(x,n),M(x,y)是反比例函数图象上两点,且 0<x<x2,则y_2(填 或“>”) 2)若线段D上的点P到x轴、y轴的距离相等,求点P的坐标
1 解题技巧专题：反比例函数与一次函数的综合问题 ◆类型一 同一坐标系中判断图象 1．(绥化中考)当 k＞0 时，反比例函数 y＝ k x 和一次函数 y＝kx＋2 的图象大致是( ) 2．如图，在同一直角坐标系中表示函数 y＝ mn x 和 y＝mx＋n(m≠0，n≠0)的图象正确的 是( ) ◆类型二 利用反比例函数图象和一次函数的交点求解 3．已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点坐标为(1，3)，则 另一个交点坐标是________． 4．(青海中考)如图，直线 y＝ 1 2 x 与双曲线 y＝ k x 在第一象限的交点为 A(2，m)，则 k＝ ________． 第 4 题图 第 5 题图 5．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－x＋2 与反比例函数 y＝ 1 x 的图象有唯一公共 点，若直线 y＝－x＋b 与反比例函数 y＝ 1 x 的图象没有公共点，则 b 的取值范围是________． 6．(襄阳中考)如图，直线 y＝ax＋b 与反比例函数 y＝ m x (x＞0)的图象交于 A(1，4)、B(4， n)两点，与 x 轴、y 轴分别交于 C、D 两点． (1)m＝________，n＝________；若 M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函数图象上两点，且 0＜x1＜x2，则 y1________y2(填“＜”“＝”或“＞”)； (2)若线段 CD 上的点 P 到 x 轴、y 轴的距离相等，求点 P 的坐标．
DNA(1, 4 B(4,n) ◆类型三与图形面积相关的计算(含k的几何意义) 7.(江西中考)如图,直线1⊥x轴于点P,且与反比例函数=(>0)及=△(x>0) 的图象分别交于点A、B,连接OA、OB,已知△OAB的面积为2,则k一k2= 8.(甘孜州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=-ax+b的图象与反比 例函数y=的图象相交于点A(-4,-2)、B(m,4),与y轴相交于点C (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)求点C的坐标及△AOB的面积 参考答案与解析 1.C2.A3.(-1,-3)4.25.-2<b<2 6.解:(1)41>解析:∵反比例函数y=2(x>0)的图象过点A(1,4),∴m=1×4
2 ◆类型三 与图形面积相关的计算(含 k 的几何意义) 7．(江西中考)如图，直线 l⊥x 轴于点 P，且与反比例函数 y1＝ k1 x (x>0)及 y2＝ k2 x (x＞0) 的图象分别交于点 A、B，连接 OA、OB，已知△OAB 的面积为 2，则 k1－k2＝________． 8．(甘孜州中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝－ax＋b 的图象与反比 例函数 y＝ k x 的图象相交于点 A(－4，－2)、B(m，4)，与 y 轴相交于点 C. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求点 C 的坐标及△AOB 的面积． 参考答案与解析 1．C 2.A 3.(－1，－3) 4.2 5.－2＜b＜2 6．解：(1)4 1 > 解析：∵反比例函数 y＝ m x (x＞0)的图象过点 A(1，4)，∴m＝1×4
=4.∵点B(4,m在反比例函数y=的图象上,∴m=4n=4,解得n=1 在反比例函数y=-(x>0)中,m=4>0,∴当x>0时,y随x的增大而减小.∵0< 五<,∴片>巧 (2)∵过C、D点的直线解析式为y=ax+b,直线CD过点A(1,4),B(4,1)两点 J4=a+b, emala 解得 =4a+b, b=5,∴直线CD的解析式为=-x+5.设点P的坐标为(t,-t+ 5)0≤≤5,|=1-+51,解得=2点P的坐标为2,2 7.4解析:∵反比例函数n=x(x>0)及=x(x>0)的图象均在第一象限内,… >0,k>0.∵4⊥x轴,∴Sm=2,Sm=k,5Sm=Sm-5m=2(A-6)=2,解得 8.解:(1)∵点A(-4,-2)在反比例函数y=的图象上,∴k=-4×(-2)=8,∴反 比例函数的表达式为y=-.∵点B(m,4)在反比例函数y=-的图象上,∴4m=8,解得m=2 ∴点B(2,4).将点A(-4,-2),B(2,4)代入y=-ax+b中 2=4a+b, 4=-2a+b, b=2, 一次函数的表达式为y=x+2. 2)在y=x+2中,令x=0,则y=2,∴点C的坐标为(0,2).,。10,(x-x) ×2×[2-(-4)]=6. 考点综合专题:特殊平行四边形中的综合性问题 ◆类型一特殊四边形中的最值问题 1.如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点(且点P不与点B C重合),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则EF的最小值为() A.4B.4.8
3 ＝4.∵点 B(4，n)在反比例函数 y＝ 4 x 的图象上，∴m＝4n＝4，解得 n＝1. ∵在反比例函数 y＝ 4 x (x＞0)中，m＝4＞0，∴当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．∵0＜ x1＜x2，∴y1＞y2. (2)∵过 C、D 点的直线解析式为 y＝ax＋b，直线 CD 过点 A(1，4)，B(4，1)两点， ∴ 4＝a＋b， 1＝4a＋b， 解得 a＝－1， b＝5， ∴直线 CD 的解析式为 y＝－x＋5.设点 P 的坐标为(t，－t＋ 5)(0≤t≤5)，∴|t|＝|－t＋5|，解得 t＝ 5 2 .∴点 P 的坐标为 5 2 ， 5 2 . 7．4 解析：∵反比例函数 y1＝ k1 x (x＞0)及 y2＝ k2 x (x＞0)的图象均在第一象限内，∴k1 ＞0，k2＞0.∵AP⊥x 轴，∴S△OAP＝ 1 2 k1，S△OBP＝ 1 2 k2，S△OAB＝S△OAP－S△OBP＝ 1 2 (k1－k2)＝2，解得 k1－k2＝4. 8．解：(1)∵点 A(－4，－2)在反比例函数 y＝ k x 的图象上，∴k＝－4×(－2)＝8，∴反 比例函数的表达式为 y＝ 8 x .∵点 B(m，4)在反比例函数 y＝ 8 x 的图象上，∴4m＝8，解得 m＝2， ∴点 B(2，4)．将点 A(－4，－2)，B(2，4)代入 y＝－ax＋b 中，得 －2＝4a＋b， 4＝－2a＋b， 解得 a＝－1， b＝2， ∴一次函数的表达式为 y＝x＋2. (2)在 y＝x＋2 中，令 x＝0，则 y＝2，∴点 C 的坐标为(0，2)．∴S△AOB＝ 1 2 OC·(xB－xA) ＝ 1 2 ×2×[2－(－4)]＝6. 考点综合专题：特殊平行四边形中的综合性问题 ◆类型一 特殊四边形中的最值问题 1．如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P 为边 BC 上一动点(且点 P 不与点 B、 C 重合)，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F，则 EF 的最小值为( ) A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
第1题图 第2题图 2.如图,MN是正方形ABCD的一条对称轴,点P是直线MN上的一个动点,当PC+PD 最小时,∠PCD的度数为【方法17】() C.45°D.75 3.如图,点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点,AB=6,AD=8,则PA+PC的最小 值为 第3题图 第4题图 ◆类型二四边形间的综合性问题 4.(台湾中考)如图,有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG,其中E点在AD上.若∠BCD =35°,∠AEF=15°,则∠B的度数为( A.50°B.55° C.70°D.75° 5.(达州中考)如图,在ABCD中,已知ADAB (1)实践与操作:作∠BAD的平分线交BC于点E,在A上截取AF=AB,连接EF(要求: 尺规作图,保留作图痕迹,不写作法): (2)猜想并证明:猜想四边形ABEF的形状,并给予证明 6.★如图,以△ABC的三边为边,在BC边的同侧作等边△BDA,△BCE,△FAC (1)求证:四边形AFE是平行四边形; (2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFED是矩形?说明理由; 3)当△ABC满足什么条件时,四边形AFED是正方形?说明理由 (4)当△ABC满足什么条件时,四边形AFED不存在?
4 第 1 题图 第 2 题图 2．如图，MN 是正方形 ABCD 的一条对称轴，点 P 是直线 MN 上的一个动点，当 PC＋PD 最小时，∠PCD 的度数为【方法 17】( ) A．60° B．90° C．45° D．75° 3．如图，点 P 是矩形 ABCD 对角线 BD 上的一个动点，AB＝6，AD＝8，则 PA＋PC 的最小 值为________． 第 3 题图 第 4 题图 ◆类型二 四边形间的综合性问题 4．(台湾中考)如图，有一平行四边形 ABCD 与一正方形 CEFG，其中 E 点在 AD 上．若∠ECD ＝35°，∠AEF＝15°，则∠B 的度数为( ) A．50° B．55° C．70° D．75° 5．(达州中考)如图，在▱ABCD 中，已知 AD＞AB. (1)实践与操作：作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，在 AD 上截取 AF＝AB，连接 EF(要求： 尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)猜想并证明：猜想四边形 ABEF 的形状，并给予证明． 6．★如图，以△ABC 的三边为边，在 BC 边的同侧作等边△BDA，△BCE，△FAC. （1）求证：四边形AFED是平行四边形； (2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFED 是矩形？说明理由； (3)当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFED 是正方形？说明理由； (4)当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFED 不存在？
◆类型三特殊平行四边形的动态探究问题 7.如图,F是正方形ABCD的边CD上的一个动点,BF的垂直平分线交对角线AC于点E, 连接B,FE,则∠EBF的度数是( A.45°B.50 C.60°D.不确定 题 第8题图 8.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形EFO绕点O旋转,若两正方形的 边长相等,则两正方形的重合部分的面积【方法17】( A.由小变大 B.由大变小 C.始终不变 D.先由大变小,后由小变大 9.(眉山校级期中)如图①,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿着B→C→D→A运 动到点A停止.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y与x的函数图象如图② 所示,则△ABC的周长为() 图① A.9B. C.12D.7 10.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边 上一动点(不与点A重合),连接M并延长交CD的延长线于点M,连接MD,AM.当AM为 时,四边形AMDV是矩形 11.★(选做)(临沂中考)如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,AB上的点 且CE=BF.连接DE,过点E作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC (1)请判断:FG与CE的数量关系是 位置关系是 (2)如图②,若点E,F分别是边CB,BA延长线上的点,其他条件不变,(1)中结论是否 仍然成立?请作出判断并给予证明 (3)如图③,若点E,F分别是边BC,AB延长线上的点,其他条件不变,(1)中结论是否 仍然成立?请直接写出你的判断
5 ◆类型三 特殊平行四边形的动态探究问题 7．如图，F 是正方形 ABCD 的边 CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线 AC 于点 E， 连接 BE，FE，则∠EBF 的度数是( ) A．45° B．50° C．60° D．不确定 第 7 题图 第 8 题图 8．如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，正方形 EFGO 绕点 O 旋转，若两正方形的 边长相等，则两正方形的重合部分的面积【方法 17】( ) A．由小变大 B．由大变小 C．始终不变 D．先由大变小，后由小变大 9．(眉山校级期中)如图①，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿着 B→C→D→A 运 动到点 A 停止．设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，如果 y 与 x 的函数图象如图② 所示，则△ABC 的周长为( ) A．9 B．6 C．12 D．7 10．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠DAB＝60°，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边 上一动点(不与点A重合)，连接ME并延长交CD的延长线于点N，连接MD，AN.当AM为________ 时，四边形 AMDN 是矩形． 11．★(选做)(临沂中考)如图①，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上的点， 且 CE＝BF.连接 DE，过点 E 作 EG⊥DE，使 EG＝DE，连接 FG，FC. (1)请判断：FG 与 CE 的数量关系是__________，位置关系是________； (2)如图②，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否 仍然成立？请作出判断并给予证明； (3)如图③，若点 E，F 分别是边 BC，AB 延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否 仍然成立？请直接写出你的判断．