每一边界元素恰与另一边界元素平行,而与其余的边界元素垂直。 这样,我们就将所比较的两个系统的对象(即长方形的边与长方体的面)的 某些共同关系表达出来了。这两个系统的类比存在于关系的共性之中。 (2)在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成 就中无不充满了类比。类比可在不同的水平使用。人们常常使用含糊不清的, 夸大的,不完全的或没有完全弄清楚的类比,但类比也可以达到数学精确性的 水平。所有各种类比在发现解答方面都可能起作用,所以我们不应当忽略任何 (3)在求解一个问题时,如果能成功地发现一个此较简单的类比问题,我们 会认为自己运气不错。在第十五节,我们原来的问题是长方体的对角线,它的 较简单的类比问题就是长方形的对角线,这个类比问题引导我们到达原问题的 解答。我们将讨论这种类型的另一个例子。我们需要求解下列问题: 求均匀四面体的重心。 若不具备积分与物理知识,这问题是很困难的。在阿基米德与伽里略的时 代,它是一个严肃的科学问题。因此,如果我们希望用尽可能少的预备知识来 解决它,我们就应该寻求一个较为简单的类比问题。在平面上的对应问题很自 然地就是下面的问题: 求一均匀三角形的重心。 现在,我们有了两个问题而不是一个问题。但两个问题比起一个问题来可 能还更容易回答——假定这两个问题能巧妙地联系起来的话。 (4)现在我们暂时把原来四面体的问题放在一边,而把注意力集中在有关 三角形这一比较简单的类比问题上。为了求解这个问题,我们必须了解一些关 于重心的知识。下列原理似乎是可信的而且提出它来也很自然: 若一物质系统S由几部分组成,每一部分的重心都位于同一平面上,则该 平面也必包含此整个系统S的重心 对于三角形情况来说,这一原理给出我们所需要的一切。首先,它指出三 角形的重心位于三角形的平面上。于是,我们可以把三角形看成由平行于三角 形某边(图7中边AB)的许多个小条条(薄条条无限窄的平行四边形)所组成。每 个小条条(平行四边形)的重心显然是它的中心,而所有这些中心位于连线CM上, C为与AB边相对的顶点,M为AB的中点(见图7)
每一边界元素恰与另一边界元素平行，而与其余的边界元素垂直。 这样，我们就将所比较的两个系统的对象(即长方形的边与长方体的面)的 某些共同关系表达出来了。这两个系统的类比存在于关系的共性之中。 (2)在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成 就中无不充满了类比。类比可在不同的水平使用。人们常常使用含糊不清的， 夸大的，不完全的或没有完全弄清楚的类比，但类比也可以达到数学精确性的 水平。所有各种类比在发现解答方面都可能起作用，所以我们不应当忽略任何 一种。 (3)在求解一个问题时，如果能成功地发现一个此较简单的类比问题，我们 会认为自己运气不错。在第十五节，我们原来的问题是长方体的对角线，它的 较简单的类比问题就是长方形的对角线，这个类比问题引导我们到达原问题的 解答。我们将讨论这种类型的另一个例子。我们需要求解下列问题： 求均匀四面体的重心。 若不具备积分与物理知识，这问题是很困难的。在阿基米德与伽里略的时 代，它是一个严肃的科学问题。因此，如果我们希望用尽可能少的预备知识来 解决它，我们就应该寻求一个较为简单的类比问题。在平面上的对应问题很自 然地就是下面的问题： 求一均匀三角形的重心。 现在，我们有了两个问题而不是一个问题。但两个问题比起一个问题来可 能还更容易回答——假定这两个问题能巧妙地联系起来的话。 (4)现在我们暂时把原来四面体的问题放在一边，而把注意力集中在有关 三角形这一比较简单的类比问题上。为了求解这个问题，我们必须了解一些关 于重心的知识。下列原理似乎是可信的而且提出它来也很自然： 若一物质系统S由几部分组成，每一部分的重心都位于同一平面上，则该 平面也必包含此整个系统S的重心。 对于三角形情况来说，这一原理给出我们所需要的一切。首先，它指出三 角形的重心位于三角形的平面上。于是，我们可以把三角形看成由平行于三角 形某边(图7中边AB)的许多个小条条(薄条条无限窄的平行四边形)所组成。每一 个小条条(平行四边形)的重心显然是它的中心，而所有这些中心位于连线CM上， C为与AB边相对的顶点，M为AB的中点(见图7)
通过三角形中线CM的任何平面包含有三角形中所有平行小条条的重心。由 此得出结论:整个三角形的重心就在这一中线上。但是,根据同一理由它也必 须在其他二条中线上,所以它必须是所有三根中线的公共交点。 我们现在希望用纯几何方法(与任何力学上的假设无关)来证明三根中线 交于同一点。 (5)在弄懂了三角形的例子之后,四面体的情况就相当容易了。因为我们 现在已经解决了一个和我们所提问题有类比关系的问题,所以一旦解决这个类 比问题,我们就有了一个可以照着办的模型 在解决我们现在用作模型的类比问题中,我们设想三角形是由平行于其 边AB的平行小条条所组成的。现在我们设想四面体ABCD也由平行于其一棱AB的 小条条所组成。 组成三角形的小条条之中点全部位于同一直线上,即位于连接边AB的中点 M与相对顶点C的那根三角形中线上。组成四面体的小条条的中点全部位于连接 棱AB的中点M与对棱CD(见图8)的同一平面上;我们不妨将此平面MCD称为四面体 的中面。 图8 在三角形情况下,我们有象MC那样的三根中线,其中每一根都必须包含三 角形的重心。因此,这三根中线必须交于一点,这一点就是重心。在四面体情 况下,我们有象MCD那样的六个中面(连接一条棱中点与其对棱的平面),其中每 个中面都必定包含四面体的重心。因此,这六个中面必交于一点,这一点就是 重心 (6)这样,我们就解决了均匀四面体的重心问题。为了完成这个求解过程, 现在我们需要用纯几何(与力学上的考虑无关)来证明六个中面通过同一点 当我们解决了均匀三角形的重心问题以后,我们发现,为了完成求解过程, 需要证明三角形的三条中线通过同一点。这个问题可类比于上述问题,但显然 较为简单。 在解决四面体这一问题时,我们又可利用较简单的三角形类比问题(这里 我们假定它已经解决了)。事实上,我们考虑通过从D点出发的三条棱DA,DB
图7 通过三角形中线CM的任何平面包含有三角形中所有平行小条条的重心。由 此得出结论：整个三角形的重心就在这一中线上。但是，根据同一理由它也必 须在其他二条中线上，所以它必须是所有三根中线的公共交点。 我们现在希望用纯几何方法(与任何力学上的假设无关)来证明三根中线 交于同一点。 (5)在弄懂了三角形的例子之后，四面体的情况就相当容易了。因为我们 现在已经解决了一个和我们所提问题有类比关系的问题，所以一旦解决这个类 比问题，我们就有了一个可以照着办的模型。 在解决我们现在用作模型的类比问题中，我们设想三角形是由平行于其一 边AB的平行小条条所组成的。现在我们设想四面体ABCD也由平行于其一棱AB的 小条条所组成。 组成三角形的小条条之中点全部位于同一直线上，即位于连接边AB的中点 M与相对顶点C的那根三角形中线上。组成四面体的小条条的中点全部位于连接 棱AB的中点M与对棱CD(见图8)的同一平面上；我们不妨将此平面MCD称为四面体 的中面。 图8 在三角形情况下，我们有象MC那样的三根中线，其中每一根都必须包含三 角形的重心。因此，这三根中线必须交于一点，这一点就是重心。在四面体情 况下，我们有象MCD那样的六个中面(连接一条棱中点与其对棱的平面)，其中每 个中面都必定包含四面体的重心。因此，这六个中面必交于一点，这一点就是 重心。 (6)这样，我们就解决了均匀四面体的重心问题。为了完成这个求解过程， 现在我们需要用纯几何(与力学上的考虑无关)来证明六个中面通过同一点。 当我们解决了均匀三角形的重心问题以后，我们发现，为了完成求解过程， 需要证明三角形的三条中线通过同一点。这个问题可类比于上述问题，但显然 较为简单。 在解决四面体这一问题时，我们又可利用较简单的三角形类比问题(这里， 我们假定它已经解决了)。事实上，我们考虑通过从D点出发的三条棱DA，DB
DC的三个中面;每一中面同时也通过对棱的中点(通过DC边的中面经过中点M, 见图8)。现在,这三个中面和△ABC所在平面交于该三角形的三个中线。这三条 中线交于一点(这是前面较简单的类比问题的结果),而这点和D点一样,也是三 中面的公共点。连结这二个公共点的直线是所有三个中面的公共线 我们证明了六个中面中通过顶点D的三个中面有一条公共直线。对于通过 顶点A的三个中面,同样也成立;对于经过顶点B的三中面以及经过顶点C的三中 面也是如此。把这些事实适当地联系起来,我们就可证明这六个中面有一个公 共点(通过△ABC三边的三中面确定一公共点和交于此点的三交线。于是,根据 我们刚才证明的,通过每一交线,一定还有一个中面)。 (7)在上述(5)和(6)中,我们都利用了一个三角形的较为简单的类比问题 去解决四面体问题。但从一个重要方面来看,(5)和(6)两种情况是不相同的。 在(⑤5)中,我们是利用较简单的类比问题这一方法,逐点模仿它来求解。但在(6) 中,我们则是利用了较简单的类比问题所得的结果,我们并不关心这结果是怎 样得到的。有时,我们可能同时利用较简单的类比问题的方法及其结果。如果 我们把上述(5)和(6)看成是同一个问题求解的两个不同部分,则上述例子就是 同时利用类比问题的方法及结果的。 我们这个例子是典型的。在求解所提出的问题的过程中,我们经常可以利 用一个较简单的类比问题的解答;我们可能利用它的方法或者可能利用它的结 果,或者可能三者同时利用。当然,在更困难的问题中,可能会出现我们这个 例子中尚未出现过的复杂情况。特别是,可能发生下述情况:类比问题的解不 能直接用于我们原来的问题上。那时,可能需要我们去重新考虑解答,去改变 它,修改它,直到我们在试过解答的各种形式以后,终于找到一个可拓广到我 们原来的问题为止 (8)我们希望能预测结果,或者,至少在某种似乎可信的程度上预测到结 果的某些特征。这种似乎可信的预测通常是以类比为基础的。 这样,我们可能知道,均匀三角形的重心及其三个顶点的重心重合(即 三个质量相同的质点放在三角形的三个顶点上)。了解这点以后,我们可以猜测 均匀四面体的重心与其四个顶点的重心相重合。 这种猜测是一种“类比推论”。已知三角形和四面体在许多方面相似,我 们就猜测它们在其他某一个方面也是相似的。如果把这种猜测的似真性当作肯 定性,那将是愚蠢的。但是忽视这种似真的猜测将是同样愚蠢甚至更为愚蠢的。 类比推论看来是最普通的一种推论,并且可能是最主要的一种。它产生了 多少似乎可信的推测,这种推测可能被经验和更严格的论证加以证实或推翻。 为了预测药物对人类的影响,化学家在动物身上进行试验,再由类比得出结论。 甚至我认识的一个小男孩也这么做。他的小狗需要到兽医那儿去医疗,于是他 问: 谁是兽医” 动物的医生
DC的三个中面；每一中面同时也通过对棱的中点(通过DC边的中面经过中点M， 见图8)。现在，这三个中面和△ABC所在平面交于该三角形的三个中线。这三条 中线交于一点(这是前面较简单的类比问题的结果)，而这点和D点一样，也是三 中面的公共点。连结这二个公共点的直线是所有三个中面的公共线。 我们证明了六个中面中通过顶点D的三个中面有一条公共直线。对于通过 顶点A的三个中面，同样也成立；对于经过顶点B的三中面以及经过顶点C的三中 面也是如此。把这些事实适当地联系起来，我们就可证明这六个中面有一个公 共点(通过△ABC三边的三中面确定一公共点和交于此点的三交线。于是，根据 我们刚才证明的，通过每一交线，一定还有一个中面)。 (7)在上述(5)和(6)中，我们都利用了一个三角形的较为简单的类比问题 去解决四面体问题。但从一个重要方面来看，(5)和(6)两种情况是不相同的。 在(5)中，我们是利用较简单的类比问题这一方法，逐点模仿它来求解。但在(6) 中，我们则是利用了较简单的类比问题所得的结果，我们并不关心这结果是怎 样得到的。有时，我们可能同时利用较简单的类比问题的方法及其结果。如果 我们把上述(5)和(6)看成是同一个问题求解的两个不同部分，则上述例子就是 同时利用类比问题的方法及结果的。 我们这个例子是典型的。在求解所提出的问题的过程中，我们经常可以利 用一个较简单的类比问题的解答；我们可能利用它的方法或者可能利用它的结 果，或者可能三者同时利用。当然，在更困难的问题中，可能会出现我们这个 例子中尚未出现过的复杂情况。特别是，可能发生下述情况：类比问题的解不 能直接用于我们原来的问题上。那时，可能需要我们去重新考虑解答，去改变 它，修改它，直到我们在试过解答的各种形式以后，终于找到一个可拓广到我 们原来的问题为止。 (8)我们希望能预测结果，或者，至少在某种似乎可信的程度上预测到结 果的某些特征。这种似乎可信的预测通常是以类比为基础的。 这样，我们可能知道，均匀三角形的重心及其三个顶点的重心重合(即， 三个质量相同的质点放在三角形的三个顶点上)。了解这点以后，我们可以猜测 均匀四面体的重心与其四个顶点的重心相重合。 这种猜测是一种“类比推论”。已知三角形和四面体在许多方面相似，我 们就猜测它们在其他某一个方面也是相似的。如果把这种猜测的似真性当作肯 定性，那将是愚蠢的。但是忽视这种似真的猜测将是同样愚蠢甚至更为愚蠢的。 类比推论看来是最普通的一种推论，并且可能是最主要的一种。它产生了 多少似乎可信的推测，这种推测可能被经验和更严格的论证加以证实或推翻。 为了预测药物对人类的影响，化学家在动物身上进行试验，再由类比得出结论。 甚至我认识的一个小男孩也这么做。他的小狗需要到兽医那儿去医疗，于是他 问： “谁是兽医” “动物的医生
“哪种动物是动物的医生?” (9)得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强。但是 这里质量仍然比数量更为重要。清晰的类比较模糊的相似更有价值,安排有序 的例子比随意收集的情况更能说明问题。 前面【上述(8)】我们提出了一个关于四面体重心的猜测。这猜测就是根 据类比而提出的;四面体的情况类比于三角形的情况。通过考察另一个类比的 例子,均匀棒(即均匀密度的直线段)的例子,我们可以增加对猜测的认识。 存在于 线段 角形四面体 之间的类比有许多方面。线段包含在直线上,三角形在平面上,四面体在空间 中。直线段是最简单的一维有界图形,三角形是最简单的多边形,四面体是最 简单的多面体。 线段有两个零维边界元素(2端点)而其内部是一维的。 三角形有三个零维及三个一维边界元素(三顶点,三边),而其内部是二维 的。 四面体有四个零维,六个一维,四个二维边界元素(四顶点,六边,四面), 而其内部是三维的。 这些数字可以列成一个表如下,其中各列分别表示零维,一维,二维与三 维元素的数目,各行分别表示线段,三角形与四面体的数目 零维一维二维三维 线段2 三角形331 四面体4 只须对二项式展开有稍许的了解,便可认出这些数字是巴斯卡三角形中的 部分。我们在线段、三角形和四面体中找出了一个值得注意的规则性。 (10)如果我们已经体会到我们所比较的对象是有密切联系的,则下列“类 比推论”对于我们可能有某些价值。 均匀捧的重心与其两端点的重心相重合。均匀三角形的重心与其三顶点的 重心相重合。为什么我们不应该设想均匀四面体的重心与其四顶点的重心相重 合呢? 还有,均匀捧的重心按比例1:1来划分其端点间的距离。均匀三角形的重 心按比例2:1来划分任何顶点与其对边中点间的距离。为什么我们不应该猜测 均匀四面体的重心是按比例3:1来划分任何顶点与其对面的重心间的距离呢?
“哪种动物是动物的医生?” (9)得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强。但是 这里质量仍然比数量更为重要。清晰的类比较模糊的相似更有价值，安排有序 的例子比随意收集的情况更能说明问题。 前面【上述(8)】我们提出了一个关于四面体重心的猜测。这猜测就是根 据类比而提出的；四面体的情况类比于三角形的情况。通过考察另一个类比的 例子，均匀棒(即均匀密度的直线段)的例子，我们可以增加对猜测的认识。 存在于 线段 三角形 四面体 之间的类比有许多方面。线段包含在直线上，三角形在平面上，四面体在空间 中。直线段是最简单的一维有界图形，三角形是最简单的多边形，四面体是最 简单的多面体。 线段有两个零维边界元素(2端点)而其内部是一维的。 三角形有三个零维及三个一维边界元素(三顶点，三边)，而其内部是二维 的。 四面体有四个零维，六个一维，四个二维边界元素(四顶点，六边，四面)， 而其内部是三维的。 这些数字可以列成一个表如下，其中各列分别表示零维，一维，二维与三 维元素的数目，各行分别表示线段，三角形与四面体的数目： 零维 一维 二维 三维 线段 2 1 三角形 3 3 1 四面体 4 6 4 1 只须对二项式展开有稍许的了解，便可认出这些数字是巴斯卡三角形中的 一部分。我们在线段、三角形和四面体中找出了一个值得注意的规则性。 (10)如果我们已经体会到我们所比较的对象是有密切联系的，则下列“类 比推论”对于我们可能有某些价值。 均匀捧的重心与其两端点的重心相重合。均匀三角形的重心与其三顶点的 重心相重合。为什么我们不应该设想均匀四面体的重心与其四顶点的重心相重 合呢? 还有，均匀捧的重心按比例1：1来划分其端点间的距离。均匀三角形的重 心按比例2：1来划分任何顶点与其对边中点间的距离。为什么我们不应该猜测 均匀四面体的重心是按比例3：1来划分任何顶点与其对面的重心间的距离呢?
说上述问题所提出的猜测是错误的,说这样美妙的一种规律性竟遭破坏, 这点总叫人觉得极不可能。认为和谐的简单秩序不会骗人这样一种感觉,在数 学及其他科学领域中指引着作出发现的人们,并表达为拉丁格言 简单是真理的标志 [从上面讲的会想到,所讨论的结果可推广到n维。如果对前三维(n=1、2、 3)成立而对维数高的n就不再成立,这看来不大可能。这种猜测是一种“归纳推 论”;它表明归纳很自然地以类比为基础。参见“归纳与数学归纳法”一节。 [(11)在结束本节以前,我们简单地考虑一类最重要的情况:在这类情况 下,类比这一数学概念变得更精确了] (I两个数学对象系统设为S和S,是这样相互联系的:S的对象之间的某 些关系和S’的对象之间的某些关系遵循同一法则。 在S和S间的这种类比可以用上述(1)中所讨论的内容为例说明之;把长方 形的边作为S,把长方体的面作为S。 (IⅠ)在两个系统S与S’的对象之间存在一一对应,即保持某种关系。也就 是说,如果一个系统的对象之间保持这样一种关系,则在另一系统的对应对象 之间也保持同一关系。在两个系统中的这种联系是一种非常精确的类比;它称 为同构。 (IⅠI)在两个系统S与S'’的对象之间存在一对多的对应而保持某种关系(这 在高等数学研究的各分支中,特别在群论中很重要,这里不多赘言)。这种情况 称为同态。同态也可看成另一种非常精确的类比。 辅助元素 我们对问题的概念在我们工作结束时远比我们开始工作时丰富得多(见 “进展与成就”一节)。随着工作的进展,我们在原有考虑之外,增加一些新元 素。旨在促进求解而引入的这种元素称为辅助元素。 (1)有各种辅助元素。解决几何问题,我们可能在图中引入新的线,即辅助 线。解决代数问题,我们可能引人辅助未知薮【见“辅助问题”,(1)】。辅助 定理是这样一种定理,我们证明它是希望促进我们对原来问题的求解。 (2)引入辅助元素有各种理由。当我们想到一个与我们现在的问题有关、 且早已解决的问题时,我们很高兴。很可能我们能利用这样一个问题,但目前 还不知道怎么利用它。例如,我们试图求解的是一个几何问题,而我们想到的 早已解决的有关问题是三角形问题。但在我们的图中并没有三角形;为了有可 能利用所想的问题,我们必须找到一个三角形;所以我们不得不在我们图中用 添加适当的辅助线的办法引入一个三角形。一般说来,当我们想到一个早已解 决的有关问题后,我们必须经常问:为了可能利用它,我们是否应该引入某个 辅助元素?(第10节中的例子是典型的)。 回到定义去,我们将有另一个引进辅助元素的机会。例如,说明圆的定义
说上述问题所提出的猜测是错误的，说这样美妙的一种规律性竟遭破坏， 这点总叫人觉得极不可能。认为和谐的简单秩序不会骗人这样一种感觉，在数 学及其他科学领域中指引着作出发现的人们，并表达为拉丁格言： 简单是真理的标志 [从上面讲的会想到，所讨论的结果可推广到n维。如果对前三维(n=1、2、 3)成立而对维数高的n就不再成立，这看来不大可能。这种猜测是一种“归纳推 论”；它表明归纳很自然地以类比为基础。参见“归纳与数学归纳法”一节。 [(11)在结束本节以前，我们简单地考虑一类最重要的情况：在这类情况 下，类比这一数学概念变得更精确了]。 (I)两个数学对象系统设为S和S'，是这样相互联系的： S的对象之间的某 些关系和S'的对象之间的某些关系遵循同一法则。 在S和S'间的这种类比可以用上述(1)中所讨论的内容为例说明之；把长方 形的边作为S，把长方体的面作为S'。 (II)在两个系统S与S'的对象之间存在一一对应，即保持某种关系。也就 是说，如果一个系统的对象之间保持这样一种关系，则在另一系统的对应对象 之间也保持同一关系。在两个系统中的这种联系是一种非常精确的类比；它称 为同构。 (III)在两个系统S与S’的对象之间存在一对多的对应而保持某种关系(这 在高等数学研究的各分支中，特别在群论中很重要，这里不多赘言)。这种情况 称为同态。同态也可看成另一种非常精确的类比。 2．辅助元素 我们对问题的概念在我们工作结束时远比我们开始工作时丰富得多(见 “进展与成就”一节)。随着工作的进展，我们在原有考虑之外，增加一些新元 素。旨在促进求解而引入的这种元素称为辅助元素。 (1)有各种辅助元素。解决几何问题，我们可能在图中引入新的线，即辅助 线。解决代数问题，我们可能引人辅助未知数【见“辅助问题”，(1)】。辅助 定理是这样一种定理，我们证明它是希望促进我们对原来问题的求解。 (2)引入辅助元素有各种理由。当我们想到一个与我们现在的问题有关、 且早已解决的问题时，我们很高兴。很可能我们能利用这样一个问题，但目前 还不知道怎么利用它。例如，我们试图求解的是一个几何问题，而我们想到的 早已解决的有关问题是三角形问题。但在我们的图中并没有三角形；为了有可 能利用所想的问题，我们必须找到一个三角形；所以我们不得不在我们图中用 添加适当的辅助线的办法引入一个三角形。一般说来，当我们想到一个早已解 决的有关问题后，我们必须经常问：为了可能利用它，我们是否应该引入某个 辅助元素?(第10节中的例子是典型的)。 回到定义去，我们将有另一个引进辅助元素的机会。例如，说明圆的定义