时,我们不仅应该提到其圆心和半径,而且还应该把这些几何元素在图中表示 出来。如果不把它们表示出来,我们就不能对定义有任何具体的应用;叙述定 义而不作图只不过是空口说白话罢了 力图利用已知结果和回到定义去,是引入辅助元素的一些最好的理由;但 它们不是仅有的理由。为了使问题的概念更完整,更富于启发性,更为人所熟 悉,我们可以引入辅助元素,虽然目前我们几乎不知道我们怎样才能利用这些 所添加的元素。我们可能仅仅感觉到加上这样那样的元素用那种方式看问题是 个“好念头”。 引入辅助元素可以出自这种理由,也可以来自别的理由,但总得有些理由。 我们不能随随便便地引入辅助元素。 (3)例子。已知三角形一角和由此角顶点向对边所作的高和三角形的周长, 作这个三角形。 我们引入适当的记号。令已知角为a,从角a的顶点A向对边所作的高为h, 已知周长为P。我们画张图,在上面很容易标上a与h。我们是否已利用了所有的 数据?没有!我们的图并未包括等于三角形周长的已知长度P。因此,我们必须引 入P。但是怎样做呢? 我们可以用各种方式来试图引入P。图9,10所表示的方式看起来很笨拙。 如果我们自己琢磨一下为什么这两张图看来如此令人不称心,我们就可能看出 是由于缺乏对称性的缘故。 事实上,这个三角形有三条未知边:a,b,c。我们象通常所做的那样, 把A的对边叫做a,其余两边则相应地称为b与c。我们知道 a+b+c=P 这里,边b与边c的作用相同;它们是可交换的;我们的问题对于b和c是对称的 但在图9和图10中,b和c的作用却不相同;放上长度P,我们对待b和c就不同了; 图9和图10破坏了问题对b和c的自然对称性。我们应该这样来放置P,使得它和b 和c的关系是对称的。 图9 图10
时，我们不仅应该提到其圆心和半径，而且还应该把这些几何元素在图中表示 出来。如果不把它们表示出来，我们就不能对定义有任何具体的应用；叙述定 义而不作图只不过是空口说白话罢了。 力图利用已知结果和回到定义去，是引入辅助元素的一些最好的理由；但 它们不是仅有的理由。为了使问题的概念更完整，更富于启发性，更为人所熟 悉，我们可以引入辅助元素，虽然目前我们几乎不知道我们怎样才能利用这些 所添加的元素。我们可能仅仅感觉到加上这样那样的元素用那种方式看问题是 个“好念头”。 引入辅助元素可以出自这种理由，也可以来自别的理由，但总得有些理由。 我们不能随随便便地引入辅助元素。 (3)例子。已知三角形一角和由此角顶点向对边所作的高和三角形的周长， 作这个三角形。 我们引入适当的记号。令已知角为a，从角a的顶点A向对边所作的高为h， 已知周长为P。我们画张图，在上面很容易标上a与h。我们是否已利用了所有的 数据?没有!我们的图并未包括等于三角形周长的已知长度P。因此，我们必须引 入P。但是怎样做呢? 我们可以用各种方式来试图引入P。图9，10所表示的方式看起来很笨拙。 如果我们自己琢磨一下为什么这两张图看来如此令人不称心，我们就可能看出 是由于缺乏对称性的缘故。 事实上，这个三角形有三条未知边：a，b，c。我们象通常所做的那样， 把A的对边叫做a，其余两边则相应地称为b与c。我们知道 a+b+c=P 这里，边b与边c的作用相同；它们是可交换的；我们的问题对于b和c是对称的。 但在图9和图10中，b和c的作用却不相同；放上长度P，我们对待b和c就不同了； 图9和图10破坏了问题对b和c的自然对称性。我们应该这样来放置P，使得它和b 和c的关系是对称的。 图9 图10
上述考虑可能有助于建议象图11那样放置长度P。我们在三角形的边a的 侧,加上线段CE,其长为b,在三角形的另一侧加上线段BD,其长为C,使得在 图11中线段ED的长度恰好是P,即 b+a+c=P 如果我们对怍图题有些经验,我们就不会忘记和ED一起引入辅助线AD与AE。它 们都是等腰三角形的底边。事实上,在问题中引入象等腰三角形这样简单而又 为人熟悉的元素是合理的。 h 图11 迄今,我们在引入辅助线方面一直是十分幸运的。我们观察新图,就可以 发现∠EAD和已知角a有一简单关系。事实上,利用等腰三角形△ABD与△ACE 可知∠DAE=a/2+90°知道这个特点以后,我们很自然地会去作出△DAE。作此 三角形时,我们就要引入一个辅助问题,它远比原来的问题简单。 (4)教师与教科书的作者不应当忘记:聪明的学生和聪明的读者不会满足 于验证推理过程的每一步是正确的,他们还要求知道进行各一步的动机和目的 引入辅助元素是引入注目的一步。如果一条微妙的辅助线在图中岀现得很突然, 看不出任何动机,并且令人惊讶地解决了问题,那末聪明的读者和学生将会失 望,他们感到上当受骗。因为只有在我们的论证及发明会创造的能力中充分发 挥了数学的作用后,数学才是有趣味的。如果最引人注目的步骤的动机和目的 不可理解,那么我们在论证和发明创造方面就学不到什么东西。为使这样的步 骤可以理解,需要加以适当的说明(如前面(3)中所做的那样),或者精选问题和 建议(象第10、18、19、20节中所做的那样),这需要大量的时间和精力,但却 是值得一做的 3.辅助问题 辅助问题是这样一个问题,我们考虑它并非为了它本身,而是因为我们希 望通过它帮助我们去解决另一个问题,即我们原来的问题。原来的问题是我们 要达到的目的,而辅助问题只是我们试图达到目的的手段。 只飞虫企图穿过窗户玻璃逃出去,它在同一扇窗户上试了又试,而不去 试试附近打开的窗户,而那扇窗户就是它进来的那扇。人能够或者至少能够行 动得更聪明些。人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时,他 会绕过去;当原来的问题看起来似乎不好解时,就想出一个合适的辅助问题。 构想一个辅助问题是一项重要的思维活动。举出一个有助于另一问题的清晰的 新问题,能够清楚地把达到另一目标的手段设想成一个新目标,这都是运用智 慧的卓越成就。学会(或教会)怎样聪明地处理辅助问题是一项重大任务
上述考虑可能有助于建议象图11那样放置长度P。我们在三角形的边a的一 侧，加上线段CE，其长为b，在三角形的另一侧加上线段BD，其长为C，使得在 图11中线段 ED的长度恰好是P，即： b+a+c=P 如果我们对怍图题有些经验，我们就不会忘记和ED一起引入辅助线AD与AE。它 们都是等腰三角形的底边。事实上，在问题中引入象等腰三角形这样简单而又 为人熟悉的元素是合理的。 图11 迄今，我们在引入辅助线方面一直是十分幸运的。我们观察新图，就可以 发现∠EAD和已知角a有一简单关系。事实上，利用等腰三角形△ABD与△ACE， 可知∠DAE=α/2+90°知道这个特点以后，我们很自然地会去作出△DAE。作此 三角形时，我们就要引入一个辅助问题，它远比原来的问题简单。 (4)教师与教科书的作者不应当忘记：聪明的学生和聪明的读者不会满足 于验证推理过程的每一步是正确的，他们还要求知道进行各一步的动机和目的。 引入辅助元素是引入注目的一步。如果一条微妙的辅助线在图中出现得很突然， 看不出任何动机，并且令人惊讶地解决了问题，那末聪明的读者和学生将会失 望，他们感到上当受骗。因为只有在我们的论证及发明会创造的能力中充分发 挥了数学的作用后，数学才是有趣味的。如果最引人注目的步骤的动机和目的 不可理解，那么我们在论证和发明创造方面就学不到什么东西。为使这样的步 骤可以理解，需要加以适当的说明(如前面(3)中所做的那样)，或者精选问题和 建议(象第lO、18、19、20节中所做的那样)，这需要大量的时间和精力，但却 是值得一做的。 3．辅助问题 辅助问题是这样一个问题，我们考虑它并非为了它本身，而是因为我们希 望通过它帮助我们去解决另一个问题，即我们原来的问题。原来的问题是我们 要达到的目的，而辅助问题只是我们试图达到目的的手段。 一只飞虫企图穿过窗户玻璃逃出去，它在同一扇窗户上试了又试，而不去 试试附近打开的窗户，而那扇窗户就是它进来的那扇。人能够或者至少能够行 动得更聪明些。人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他 会绕过去；当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题。 构想一个辅助问题是一项重要的思维活动。举出一个有助于另一问题的清晰的 新问题，能够清楚地把达到另一目标的手段设想成一个新目标，这都是运用智 慧的卓越成就。学会(或教会)怎样聪明地处理辅助问题是一项重大任务
(1)例子。求满足方程的x值: x4-13x2+36=0 如果我们看到x=(x2)2。我们就会发现引入 的好处。我们现在得到一个新问题:求满足方程的y值: y-13*y+36=0。 这个新问题是一个辅助问题;我们打算把它用作解决原问题的手段。辅助问题 的未知数y可恰如其份地称为辅助未知数。 (2)例子。在一长方体中已知由一顶点引出的三个棱的长度,求该长方体 的对角线。 在试图求解这一问题(第8节)时,我们可由类比(第15节)引导到另一问题: 在一长方形中,已知由同一顶点引出的两个边的长度,求长方形的对角线。 这个新问题是个辅助问题:我们之所以考虑它是因为我们希望从对它的考 虑中引出对原问题有用的东西。 (3)好处。考虑辅助问题的好处可以是多种多样的。我们可以利用辅助问 题的结果。譬如在例1中,通过求解y的二次方程,我们已经求得y等于4或等于9, 然后我们推得x2=4或x2=9,从而求出x的所有可取的值。在其它情况下,我们 可以利用辅助问题的方法。如例2中,辅助问题是平面几何问题;它类比于原来 的立体几何问题,但更为简单。引入这一类辅助问题是合理的,因为我们希望 它是有启发性的,它能给我们机会去熟悉以后可用于原问题的某些方法、操作 或工具。在例2中,辅助问题的选择更为幸运,因为仔细地考察它一番之后,我 们发现其方法与结果均可加以利用(见第15节和“你是否利用了所有的数据?” 那一节) (4)风险。我们不去考虑原问题,而花费时间与精力去注意辅助问题。如 果我们对辅助问题的研究失败了,那末我们在它上面所花的时间与精力就白白 损失了。所以在选择辅助问题时,我们应当加以判断。对于我们的选择,我们 可能有各种正当理由。辅助问题可以比原来的问题更容易理解;或者它看来更 富启发性;或者它有某种美的号召力。有时,辅助问题的唯一优点是它很新颖, 提供了尚未被探索过的可能性;我们选择它是因为我们对原问题厌倦了,并且 看来似乎所有的方法部已用尽了。 (5)怎样找出它。发现所提问题的解,常常有赖于发现一个合适的辅助问 题。令人不愉快的是,没有万灵的方法来发现合适的辅助问题,正如没有万灵 的方法求解一样。但无论如何,确实有一些问题和建议,它们常常是有所裨益 的。例如,看着未知数。通过问题的变化常常会使我们想到有用的辅助问题 (6)等价问题。如果两个问题中每一问题的解都蕴含另一问题的解,就说 这两个问题是等价的。因此,在例1中,原问题与辅助问题等价
(1)例子。求满足方程的x值： x 4 -13x2 +36=0 如果我们看到x 4 =(x2 ) 2。我们就会发现引入 y=x 2 的好处。我们现在得到一个新问题：求满足方程的y值： y 2 -13*y+36=O。 这个新问题是一个辅助问题；我们打算把它用作解决原问题的手段。辅助问题 的未知数y可恰如其份地称为辅助未知数。 (2)例子。在一长方体中已知由一顶点引出的三个棱的长度，求该长方体 的对角线。 在试图求解这一问题(第8节)时，我们可由类比(第15节)引导到另一问题： 在一长方形中，已知由同一顶点引出的两个边的长度，求长方形的对角线。 这个新问题是个辅助问题：我们之所以考虑它是因为我们希望从对它的考 虑中引出对原问题有用的东西。 (3)好处。考虑辅助问题的好处可以是多种多样的。我们可以利用辅助问 题的结果。譬如在例1中，通过求解y的二次方程，我们已经求得y等于4或等于9， 然后我们推得 x 2 =4或x 2 =9，从而求出x的所有可取的值。在其它情况下，我们 可以利用辅助问题的方法。如例2中，辅助问题是平面几何问题；它类比于原来 的立体几何问题，但更为简单。引入这一类辅助问题是合理的，因为我们希望 它是有启发性的，它能给我们机会去熟悉以后可用于原问题的某些方法、操作 或工具。在例2中，辅助问题的选择更为幸运，因为仔细地考察它一番之后，我 们发现其方法与结果均可加以利用(见第15节和“你是否利用了所有的数据?” 那一节)。 (4)风险。我们不去考虑原问题，而花费时间与精力去注意辅助问题。如 果我们对辅助问题的研究失败了，那末我们在它上面所花的时间与精力就白白 损失了。所以在选择辅助问题时，我们应当加以判断。对于我们的选择，我们 可能有各种正当理由。辅助问题可以比原来的问题更容易理解；或者它看来更 富启发性；或者它有某种美的号召力。有时，辅助问题的唯一优点是它很新颖， 提供了尚未被探索过的可能性；我们选择它是因为我们对原问题厌倦了，并且 看来似乎所有的方法部已用尽了。 (5)怎样找出它。发现所提问题的解，常常有赖于发现一个合适的辅助问 题。令人不愉快的是，没有万灵的方法来发现合适的辅助问题，正如没有万灵 的方法求解一样。但无论如何，确实有一些问题和建议，它们常常是有所裨益 的。例如，看着未知数。通过问题的变化常常会使我们想到有用的辅助问题。 (6)等价问题。如果两个问题中每一问题的解都蕴含另一问题的解，就说 这两个问题是等价的。因此，在例1中，原问题与辅助问题等价
考虑下列定理 A.在任何等边三角形中,每一角均等于60°。 B.在任何等角三角形中,每一角均等于60°。 此二定理不能看作是同一条定理。它们包含不同的概念:一个与边的相等 有关,另一个与三角形的角相等有关。但每一定理都可由另一定理得出。因此 求证题A与求证题B等价 如果我们需要求证A,则引入求证题B作为一个辅助问题是有某些好处的。 定理B的证明要比证明A容易些,而且更重要的是,我们可以预见到B比A容易 我们可以这样判断,我们可能从一开始就发现B很可能比A容易。事实上,定理B 仅与角有关,它比定理A更“单一”,定理A与角和边都有关 如果原问题和辅助问题是等价的,则从原问题过渡到辅助问题称为可逆化 归,或双向化归,或等价化归。例如,A化归为B(见上文)是可逆的,例1中的化 归也如此。从某个方面说来,可逆化归比其它引入辅助问题的方法更重要,更 令人想往,但是那些和原问题不等价的辅助问题可能也很有用;见例2。 (⑦)等价辅助问题链。等价辅助问题链在数学论证中是屡见不鲜的。我们 需要解决问题A;我们看不出解答,但我们可能发现A与另一问题等价。考虑B 时,我们又可能涉及与B等价的第三个问题C。照这样下去,我们又可将C化为D, 如此等等,直到最后得到问题L,其解答为已知或明显可知。既然每一个问题都 和前一个问题等价,则最后一个问题也必定和原问题A等价。于是我们能够从问 题L推出原问题A的解答,而L是辅助问题链的最后一个环节。 这种问题链,正如我们从帕扑斯的重要章节中所见,早已为希腊数学家们 所注意。我们重新考虑例1作为说明。让我们称(A)为未知数x的条件 (A)x-13x2+36=0 解决这个问题的一种方法是将所提出条件变换成另一个条件,称为(B): (B)(2x2)2-2(2x)·13+144=0 我们观察到条件(A)与条件(B)不同。如果你愿意,你可以说它们仅仅稍许有些 不同。你会很容易相信它们一定等价,但它们肯定不是同一个方程。从(A)过渡 到(B)不仅正确,而且有清楚的目的,这对任何熟悉求解二次方程的人来说都是 显而易见的。沿此一方向继续做下去,我们可将条件(B)再变换成另一条件(C) (C)(2x2)2-2(2x2)·13+169=25 照此方法继续下去,我们有 (D)(2x2-13)2=25 (E)2x2-13=±5 (F)x2=(13±5)/2 (G) 13±5 x=+ (H)x=3或-3,或2,或-2我们所做的每次化归都是可逆的。于是最后 个条件(H)与第一个条件(A)等价,所以,3、-3、2、-2是我们原问题所有可能 的解
考虑下列定理： A．在任何等边三角形中，每一角均等于60°。 B．在任何等角三角形中，每一角均等于60°。 此二定理不能看作是同一条定理。它们包含不同的概念：一个与边的相等 有关，另一个与三角形的角相等有关。但每一定理都可由另一定理得出。因此 求证题A与求证题B等价。 如果我们需要求证A，则引入求证题B作为一个辅助问题是有某些好处的。 定理B的证明要比证明A容易些，而且更重要的是，我们可以预见到B比A容易； 我们可以这样判断，我们可能从一开始就发现B很可能比A容易。事实上，定理B 仅与角有关，它比定理A更“单一”，定理A与角和边都有关。 如果原问题和辅助问题是等价的，则从原问题过渡到辅助问题称为可逆化 归，或双向化归，或等价化归。例如，A化归为B(见上文)是可逆的，例1中的化 归也如此。从某个方面说来，可逆化归比其它引入辅助问题的方法更重要，更 令人想往，但是那些和原问题不等价的辅助问题可能也很有用；见例2。 (7)等价辅助问题链。等价辅助问题链在数学论证中是屡见不鲜的。我们 需要解决问题A；我们看不出解答，但我们可能发现A与另一问题等价。考虑B 时，我们又可能涉及与B等价的第三个问题C。照这样下去，我们又可将C化为 D， 如此等等，直到最后得到问题L，其解答为已知或明显可知。既然每一个问题都 和前一个问题等价，则最后一个问题也必定和原问题A等价。于是我们能够从问 题L推出原问题 A的解答，而L是辅助问题链的最后一个环节。 这种问题链，正如我们从帕扑斯的重要章节中所见，早已为希腊数学家们 所注意。我们重新考虑例1作为说明。让我们称(A)为未知数x的条件： (A) x 4 -13x2 +36=O 解决这个问题的一种方法是将所提出条件变换成另一个条件，称为(B)： (B) (2x2 ) 2 -2(2x2 )·13+144=O 我们观察到条件(A)与条件(B)不同。如果你愿意，你可以说它们仅仅稍许有些 不同。你会很容易相信它们一定等价，但它们肯定不是同一个方程。从(A)过渡 到(B)不仅正确，而且有清楚的目的，这对任何熟悉求解二次方程的人来说都是 显而易见的。沿此一方向继续做下去，我们可将条件(B)再变换成另一条件(C)： (C) (2x2 ) 2 -2(2x2 )·13+169=25 照此方法继续下去，我们有 (D) (2x2 -13)2 =25 (E) 2x2 -13=±5 (F) x2 =(13±5)/2 (G) 2 13 ± 5 x = ± (H) x=3或-3，或2，或-2我们所做的每次化归都是可逆的。于是最后一 个条件(H)与第一个条件(A)等价，所以，3、-3、2、-2是我们原问题所有可能 的解
上面我们从原条件(A)导出一系列条件(B),(C),①D), 每一个都等 价于前一个。这一点值得我们给予最大的注意。等价条件是由同一对象满足的。 因此,如果我们从所提条件过渡到等价于它的新条件,我们就有相同的解。但 是如果我们从所提条件过渡到较窄的条件,我们就失去解;如果我们从所提条 件过渡到较宽的条件,我们则得到非正常的外来解,它与所提问题无关。如果 在一串连续的化归中,我们过渡到较窄的,接着又过渡到较宽的条件,我们可 能完全偏离原来的问题。为了避免这种危险,我们必须小心地检查每次新引入 的条件的性质:它与原条件等价吗?当我们所处理的对象不是像这里的单个方程 而是一组方程时,或者当条件不是用方程来表达(例如,象几何作图问题)时, 上述问题尤为重要。 请与“帕扑斯”一节,特别是评注(2),(3),(4),(8)相比较。那里的 描述受到了不必要的限制。它描述一个求解问题的链,其中每个问题都有一个 不同的未知数。这里所讲的例子则相反,链中所有各个未知数相同,仅仅是条 件的形式不同。当然,并不需要这种限制。] (8)单向化归。我们有两个都未曾求解的问题A与B。如果我们能解A,则我 们能导出B的完全解。反之则不然;即,如果我们能解B,我们可能会得到A的某 些信息,但我们却不知道怎样从B导出A的完全解。在这样一种情况下,解A要 比解B收获大。让我们称A为这两个问题中的期望大的而B为期望小的。 如果从所提问题过渡到期望大的或期望小的辅助问题,我们称这一步骤为 单向化归。有两类单向化归,二者在某些方面都比双向或可逆化归更冒风险。 例2说明的是化归为期望小的问题的一个单向化归。事实上,如果我们能 够解决属于长、宽、高分别为a,b,c的长方体的原问题,令c=0,得到长为a, 宽为b的长方形,则我们就转到辅助问题。化沟期望小的问题的单向化归的另 例子是“特殊化”这一节的(3),(4),(5)。这些例子表明,有时凑巧,我们可 能利用期望小的问题作为踏脚石,将辅助问题的解加上适当的补充说明,可以 得到原问题的解。 化为期望大的问题的单向化归也可能会成功(见“普遍化”这一节(2)及“归 纳与数学归纳法”这一节(1),(2)中所述第一问题化为第二问题的例子)。事实 上,期望人的问题可能更容易着手;这就是“发明者的矛盾”。 4.波尔查诺(Bo1zano) 他是逻辑学家与数学家。在他逻辑学的综合性著作:《科学沦》中,有相 当大一部分是关于探索法这一题目的(第三卷,293-575页)。在他著作的这 部分,他写道:“我根本不认为我在这里能够提出任何早先未曾为所有具有才 华的人所察看出的研究过程;并且我也根本不想允诺你们可以从我这里发现这 方面的很新颖的任何内容。但是,我将煞费苦心地用清晰的词句来说明所有有 才能的人所遵循的研究规则与方法,这些有才华的人在大多数情况下,甚至不 知道他们自己是遵循这些规则与方法的。虽然,即使正在做这件事的时候,我 也不敢幻想我将会完全成功,但我仍然希望这里所提出的一孔之见会博得某些
上面我们从原条件(A)导出一系列条件(B)，(C)，(D)，……，每一个都等 价于前一个。这一点值得我们给予最大的注意。等价条件是由同一对象满足的。 因此，如果我们从所提条件过渡到等价于它的新条件，我们就有相同的解。但 是如果我们从所提条件过渡到较窄的条件，我们就失去解；如果我们从所提条 件过渡到较宽的条件，我们则得到非正常的外来解，它与所提问题无关。如果 在一串连续的化归中，我们过渡到较窄的，接着又过渡到较宽的条件，我们可 能完全偏离原来的问题。为了避免这种危险，我们必须小心地检查每次新引入 的条件的性质：它与原条件等价吗?当我们所处理的对象不是像这里的单个方程 而是一组方程时，或者当条件不是用方程来表达(例如，象几何作图问题)时， 上述问题尤为重要。 [请与“帕扑斯”一节，特别是评注(2)，(3)，(4)，(8)相比较。那里的 描述受到了不必要的限制。它描述一个求解问题的链，其中每个问题都有一个 不同的未知数。这里所讲的例子则相反，链中所有各个未知数相同，仅仅是条 件的形式不同。当然，并不需要这种限制。] (8)单向化归。我们有两个都未曾求解的问题A与B。如果我们能解A，则我 们能导出B的完全解。反之则不然；即，如果我们能解B，我们可能会得到A的某 些信息，但我们却不知道怎样从B导出A的完全解。在这样一种情况下，解 A要 比解B收获大。让我们称A为这两个问题中的期望大的而B为期望小的。 如果从所提问题过渡到期望大的或期望小的辅助问题，我们称这一步骤为 单向化归。有两类单向化归，二者在某些方面都比双向或可逆化归更冒风险。 例2说明的是化归为期望小的问题的一个单向化归。事实上，如果我们能 够解决属于长、宽、高分别为a，b，c的长方体的原问题，令c=O，得到长为a， 宽为b的长方形，则我们就转到辅助问题。化沟期望小的问题的单向化归的另一 例子是“特殊化”这一节的(3)，(4)，(5)。这些例子表明，有时凑巧，我们可 能利用期望小的问题作为踏脚石，将辅助问题的解加上适当的补充说明，可以 得到原问题的解。 化为期望大的问题的单向化归也可能会成功(见“普遍化”这一节(2)及“归 纳与数学归纳法”这一节(1)，(2)中所述第一问题化为第二问题的例子)。事实 上，期望人的问题可能更容易着手；这就是“发明者的矛盾”。 4．波尔查诺(Bolzano) 他是逻辑学家与数学家。在他逻辑学的综合性著作：《科学沦》中，有相 当大一部分是关于探索法这一题目的(第三卷，293—575页)。在他著作的这一 部分，他写道：“我根本不认为我在这里能够提出任何早先未曾为所有具有才 华的人所察看出的研究过程；并且我也根本不想允诺你们可以从我这里发现这 方面的很新颖的任何内容。但是，我将煞费苦心地用清晰的词句来说明所有有 才能的人所遵循的研究规则与方法，这些有才华的人在大多数情况下，甚至不 知道他们自己是遵循这些规则与方法的。虽然，即使正在做这件事的时候，我 也不敢幻想我将会完全成功，但我仍然希望这里所提出的一孔之见会博得某些