想起一个具有相同或相似结论的熟悉的定理 当且仅当一个三角形的三条边分别等于另一个三角形的三条边时,这两 个三角形全等。” 图5 做得好。本来你有可能会选出一条较差的定理的。现在这里有了一条与 你的问题有关的定理,且早已证明,你能否利用它?” “如果我知道BC=B’C,我能利用它。” “对!那么你的目标是什么? “证明BC=B’C。” 试回忆起一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。” 是的,我知道一个定理,它最后结束的句子是:……则两线相等 但它并不合适。” 为了能够利用它,你是否应该引入某个辅助元素?” 你看,在图中BC与B'C”间并无联系,你怎么能证明BC=B’C? “你利用了前提吗?前提是什么?” “我们假定AB∥A'B’,AC∥A'C。是的,当然我们必须利用这点。” 你是否利用了整个前提?你说AB∥A'B’,这是你所知道的关于这些线段的 全部情况吗?” “不,根据作图,AB还等于AB。它们彼此平行并且相等。AC和A'C’也是 这样。 “两个等长的平行线—这是很有趣的图形。你以前见过吗?” 当然见过!对!平行四边形!让我联结A与A’,B与B,C与 “这主意不太坏。现在你的图中有几个平行四边形?” 两个。不,三个。不,两个。我意思是说,其中有两个,你可以立刻证 明它们是平行四边形。还有第三个看来是个平行四边形。我希望我能证明它是。 这样证明就结束了!” 我们可能从这个学生前面的回答已经推测到他很聪明。但是等他作出上述 最后一个回答以后,我们对此就深信不疑了。 这个学生能够猜出数学结果并且能够清楚地区分证明与猜测。他也知道猜 测可以多多少少似乎是可信的。确实,他真的从数学课上得到了教益;他在解 题方面有了某种实际经验,他可以看出并且摸索出一个好的解题思路
想起一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。” “当且仅当一个三角形的三条边分别等于另一个三角形的三条边时，这两 个三角形全等。” 图5 “做得好。本来你有可能会选出一条较差的定理的。现在这里有了一条与 你的问题有关的定理，且早已证明，你能否利用它?” “如果我知道BC=B'C'，我能利用它。” “对!那么你的目标是什么?” “证明BC=B'C'。” “试回忆起一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。” “是的，我知道一个定理，它最后结束的句子是：‘……则两线相等’， 但它并不合适。” “为了能够利用它，你是否应该引入某个辅助元素?” “你看，在图中BC与B'C'间并无联系，你怎么能证明 BC=B'C'?” …… …… “你利用了前提吗?前提是什么?” “我们假定AB∥A'B'，AC∥A'C'。是的，当然我们必须利用这点。” “你是否利用了整个前提?你说AB∥A'B'，这是你所知道的关于这些线段的 全部情况吗?” “不，根据作图，AB还等于A'B'。它们彼此平行并且相等。AC和A'C'也是 这样。” “两个等长的平行线——这是很有趣的图形。你以前见过吗?” “当然见过!对!平行四边形!让我联结A与A'，B与 B'，C与C'。” “这主意不太坏。现在你的图中有几个平行四边形?” “两个。不，三个。不，两个。我意思是说，其中有两个，你可以立刻证 明它们是平行四边形。还有第三个看来是个平行四边形。我希望我能证明它是。 这样证明就结束了!” 我们可能从这个学生前面的回答已经推测到他很聪明。但是等他作出上述 最后一个回答以后，我们对此就深信不疑了。 这个学生能够猜出数学结果并且能够清楚地区分证明与猜测。他也知道猜 测可以多多少少似乎是可信的。确实，他真的从数学课上得到了教益；他在解 题方面有了某种实际经验，他可以看出并且摸索出一个好的解题思路
20.一个速率问题 水以速率r流进锥形容器。容器具有正圆锥形状,底是水平的,顶点在下 方,底的半径是a,高为b。当水深为y时,求水表面上升的速率。最后,假定a=4 尺,b=3尺,r=2立方尺/分,y=1尺,求未知数的数值。 我们假定学生知道最简单的微分法和变化率的概念 已知数是什么?” 圆锥底的半径a=4尺,圆锥的高b=3尺,水流入容器的速率r=2立方尺/分, 在某一时刻的水深y=1尺。” 对,从问题的叙述方式看来,是建议你先忽略具体数值而用字母求解, 把未知数用a,b,r,y表示出来,而仅在最终得到未知数的字母表达式以后再 代入具体数值。我愿意按照这条建议做。现在未知数是什么?” “当水深为y时,水面升起的速率。” 它是什么?你能用其他术语来说吗?” 水深增加的速率。” 它是什么?你能否再重新叙述得更不同些?” “水深的变化率。” 对,y的变化率。但什么是变化率?回到定义去。” 函数的变化率是导数。” “正确。现在y是函数吗?如前所述,我们不管y的具体数值。你能否想象y 是变化的?” 是的,水深y随着时间而增加。” 这样,y是什么的函数 时间t的 “好,引入适当的记号。用数学符号,你将怎样写‘y的变化率’?” 好,这就是你的未知数。你必须用a,b,r,y来表示它。顺便说一下, 数据中有一个是‘速率’,哪一个?” r是水流进容器的速率。” “它是什么?你能用别的术语来说它吗?” r是容器中水的体积的变化率。” 它是什么?你能否再重新叙述得更不同些?你将怎样用适当的记号来写
20．一个速率问题 水以速率r流进锥形容器。容器具有正圆锥形状，底是水平的，顶点在下 方，底的半径是a，高为b。当水深为y时，求水表面上升的速率。最后，假定a=4 尺，b=3尺，r=2立方尺/分，y=1尺，求未知数的数值。 图6 我们假定学生知道最简单的微分法和变化率的概念。 “已知数是什么?” “圆锥底的半径a=4尺，圆锥的高b=3尺，水流入容器的速率r=2立方尺/分， 在某一时刻的水深y=1尺。” “对，从问题的叙述方式看来，是建议你先忽略具体数值而用字母求解， 把未知数用a，b，r，y表示出来，而仅在最终得到未知数的字母表达式以后再 代入具体数值。我愿意按照这条建议做。现在未知数是什么？” “当水深为y时，水面升起的速率。” “它是什么?你能用其他术语来说吗?” “水深增加的速率。” “它是什么?你能否再重新叙述得更不同些?” “水深的变化率。” “对，y的变化率。但什么是变化率?回到定义去。” “函数的变化率是导数。” “正确。现在y是函数吗?如前所述，我们不管y的具体数值。你能否想象y 是变化的?” “是的，水深y随着时间而增加。” “这样，y是什么的函数?” “时间t的。” “好，引入适当的记号。用数学符号，你将怎样写‘y的变化率’?” “dy/dt” “好，这就是你的未知数。你必须用a，b，r，y来表示它。顺便说一下， 数据中有一个是‘速率’，哪一个?” “r是水流进容器的速率。” “它是什么?你能用别的术语来说它吗?” “r是容器中水的体积的变化率。” “它是什么?你能否再重新叙述得更不同些?你将怎样用适当的记号来写 它?
“r=dv/dt” V是什么?” 在时间t,容器中水的体积” 好,这样你必须用a,b,dV/dt,y,来表示dy/dt,你将怎样做? 如果你不能解决所提问题,首先尝试去解决某个与此有关的问题。如果 你到现在还看不出dy/dt与数据间的联系;尝试去引入某种能作为中间过渡踏脚 石的更简单的联系。” “你看不出还有别的联系吗?例如y与V是否彼此独立? “不,当y增加,V一定也增加。 那么说,是有联系了,这联系是什么? 好,V是锥体的体积,y是锥体的高。但我现在还不知道底的半径。” “不过,你可以考虑它。叫它什么,譬如设它为x吧!” 元y 正确,关于x又知道些什么?它是否与y独立?” “不,当水深y增加,自由表面的半径x也增加。” “这么说,它们之间是有联系的。但这联系是什么?” “当然是相似三角形。x:y=a:b” 你看,又多了个联系,我不愿错过从它那儿得到的好处。别忘了,你希 望知道的是y与V之间的联系。” “现在我有x=ay/b “很好,这看来像个踏脚点。难道不是吗?但你别忠了你的目标。未知数是 什么?” “噢,是dy/dt”。 “你必须找出dy/dt,dV/dt与其他数量间的联系。但这里有的却是y,V和其 他数量间的联系。你该怎么办?” 当然是微分 yc就是它。 at b at “妙!那么从已经给出的数值能得出什么结果呢?” 若a=4,b=3,dv/dt=r=2,y=1,则 丌×16×1oy 。”也即 dy/dt=0.358尺/分 第二部分怎样解题—一段对话 1.熟悉问题 我应该从哪儿开始?从问题的叙述开始
“r=dV/dt” “V是什么?” “在时间t，容器中水的体积” “好，这样你必须用a，b，dV/dt，y，来表示dy/dt，你将怎样做?” …… …… “如果你不能解决所提问题，首先尝试去解决某个与此有关的问题。如果 你到现在还看不出dy/dt与数据间的联系；尝试去引入某种能作为中间过渡踏脚 石的更简单的联系。” “你看不出还有别的联系吗?例如y与V是否彼此独立?” “不，当y增加，V一定也增加。” “那么说，是有联系了，这联系是什么?” “好，V是锥体的体积，y是锥体的高。但我现在还不知道底的半径。” “不过，你可以考虑它。叫它什么，譬如设它为x吧!” “V= 3 2 px y 。” “正确，关于x又知道些什么?它是否与y独立?” “不，当水深y增加，自由表面的半径x也增加。” “这么说，它们之间是有联系的。但这联系是什么?” “当然是相似三角形。x：y=a：b” “你看，又多了个联系，我不愿错过从它那儿得到的好处。别忘了，你希 望知道的是y与V之间的联系。” “现在我有x=ay/b V= 2 2 3 3b pa y ” “很好，这看来像个踏脚点。难道不是吗?但你别忠了你的目标。未知数是 什么?” “噢，是dy/dt”。 “你必须找出dy/dt，dV/dt与其他数量间的联系。但这里有的却是y，V和其 他数量间的联系。你该怎么办?” “当然是微分! t y b a y t V ¶ ¶ = ¶ ¶ 2 2 2 p 就是它。” “妙!那么从已经给出的数值能得出什么结果呢?” “若a=4，b=3，dV/dt=r=2，y=l，则 t y ¶ ´ ´ ¶ = 9 16 1 2 p 。”也即 dy/dt=0.358尺/分。 第二部分怎样解题——一段对话 1．熟悉问题 我应该从哪儿开始?从问题的叙述开始
我能做什么?观察揣摩整个问题,尽量使其清晰而鲜明。暂时先抛开细节 这样做,我能得到什么好处?你会明白问题,使自己熟悉问题,并把问题 的目标牢记在脑海中。这样全神贯注地对待问题也会调动起你的记忆力,做好 准备去重新联想与问题有关的各点。 2.深入理解问题 我应该从哪儿开始?还是从问题的叙述开始。当你对问题的叙述已如此清楚 并已深深地印入脑海,以致你即使暂时不去看它,你也不怕把它完全忘掉时, 你就可以开始下面的工作了。 我能做什么?先把问题的主要部分剖析出来。因为前提与结论是“求证题” 的主要部分。未知、已知与条件是“求解题”的主要部分。再把问题中的主要 部分都弄一遍,并且要逐个地考虑,轮流地考虑,而且在各种组合中来考虑, 同时把每个细节与其它细节联系起来,把每个细节与整个问题联系起来。 这么做,我能得到什么好处?你会准备好并弄清楚以后可能起作用的细节 3.探索有益的念头 应该从哪儿开始?从考虑问题的主要部分开始。当主要部分能很清楚地排 列出来,想得明明白白(这应归功于你前面的工作)并且也记得住时,这时开始 做下一步。 怎样进行?从各个方面来考虑你的问题,找出与你现有知识有关之处。 从各个方面考虑你的问题。分别突出各个部分,考察各个细节,用不同方 去反复审查同一细节。把细节用不同方式组合起来,从不同角度考虑它。试着 在每一细节中发现某些新意义,尝试在整个问题中得出某些新解释。 从你现有知识中找出与问题有关之处。试想过去在类似的情况下有什么曾 帮过你的忙。在你所考察的内容中,设法找出熟悉的东西来,在你所熟悉的东 西中,努力找出有用的东西来。 能找出什么?一个有用的念头,也许是个决定性的念头,它能使你一限看 出解决问题的途径。 念头有什么用?它会给你指出整个或部分解题途径,它或多或少地清楚地 向你建议该怎么做。念头多多少少还是完整的。如果你有一个念头,你就够幸 运的了 碰上一个不完整的念头怎么办?应该加以考虑。如果它看来有好处,就应 该多考虑一会儿。如果它看来是可靠的,你应当确定它能引导你走多远,并重 新考虑一下形势。由于这个有益的念头,情況已经变化了。你要从各个方面来 考虑新形势并找出它与你现有知识之间的联系。 再次这样做,还能得到什么好处?如果你走运的话,你或许能找到另一个 念头。也许下一个念头会引导你去解决问题。也许在下一个念头以后,你还需
我能做什么?观察揣摩整个问题，尽量使其清晰而鲜明。暂时先抛开细节。 这样做，我能得到什么好处?你会明白问题，使自己熟悉问题，并把问题 的目标牢记在脑海中。这样全神贯注地对待问题也会调动起你的记忆力，做好 准备去重新联想与问题有关的各点。 2．深入理解问题 我应该从哪儿开始?还是从问题的叙述开始。当你对问题的叙述已如此清楚 并已深深地印入脑海，以致你即使暂时不去看它，你也不怕把它完全忘掉时， 你就可以开始下面的工作了。 我能做什么?先把问题的主要部分剖析出来。因为前提与结论是“求证题” 的主要部分。未知、已知与条件是“求解题”的主要部分。再把问题中的主要 部分都弄一遍，并且要逐个地考虑，轮流地考虑，而且在各种组合中来考虑， 同时把每个细节与其它细节联系起来，把每个细节与整个问题联系起来。 这么做，我能得到什么好处?你会准备好并弄清楚以后可能起作用的细节。 3．探索有益的念头 应该从哪儿开始?从考虑问题的主要部分开始。当主要部分能很清楚地排 列出来，想得明明白白(这应归功于你前面的工作)并且也记得住时，这时开始 做下一步。 怎样进行?从各个方面来考虑你的问题，找出与你现有知识有关之处。 从各个方面考虑你的问题。分别突出各个部分，考察各个细节，用不同方 法反复审查同一细节。把细节用不同方式组合起来，从不同角度考虑它。试着 在每一细节中发现某些新意义，尝试在整个问题中得出某些新解释。 从你现有知识中找出与问题有关之处。试想过去在类似的情况下有什么曾 帮过你的忙。在你所考察的内容中，设法找出熟悉的东西来，在你所熟悉的东 西中，努力找出有用的东西来。 能找出什么?一个有用的念头，也许是个决定性的念头，它能使你一限看 出解决问题的途径。 念头有什么用?它会给你指出整个或部分解题途径，它或多或少地清楚地 向你建议该怎么做。念头多多少少还是完整的。如果你有一个念头，你就够幸 运的了。 碰上一个不完整的念头怎么办?应该加以考虑。如果它看来有好处，就应 该多考虑一会儿。如果它看来是可靠的，你应当确定它能引导你走多远，并重 新考虑一下形势。由于这个有益的念头，情况已经变化了。你要从各个方面来 考虑新形势并找出它与你现有知识之间的联系。 再次这样做，还能得到什么好处?如果你走运的话，你或许能找到另一个 念头。也许下一个念头会引导你去解决问题。也许在下一个念头以后，你还需
要几个有益的念头。也许有些念头会把你引入歧途。无论如何,你应当感谢所 有的新念头,感谢那些次要的念头,感谢那些模糊的念头,也感谢那些使模糊 念头得以纠正的补充性念头。即使你暂时还没有发现什么有价值的新念头,但 如果你对问题的概念更完全了,或者更连贯、更和谐或者更平衡了,那你也应 当表示感谢。 4.实现计划 应该从哪儿开始?从引导到解决问题的思路开始。当你感到你已抓住主要 的联系,并且自信能提供可能需要的次要细节时,就开始。 怎幺做?你对问题应抓得很有把握。详细地进行你以前认为可行的全部代 数或几何运算。用形式推理或直接观察检查每一步骤的正确性,或者,如果你 能够的话,两种方法都用。如果你的问题很复杂,你可以分成“大”步骤和“小” 步骤,每一大步骤又由几个小步骤组成。首先检査大步骤,以后再检验小步骤。 这样做,我能有什么好处?这样提出的解,每个步骤无疑都是正确的。 5.回顾 应该从哪儿开始?从解答开始,它的每一个细节都应该是完整而正确的, 怎么做?从各个方面考虑这个解,找出与你已有知识之间的联系。 考虑解的细节,并尝试使它们尽可能地简单;研究解答中较冗长的部分, 使它们更短些;试着一眼就看出整个解。试着去改进解的各部分,尝试去改进 整个解,使它直观,使它尽量自然地适合于你已有的知识。总结你解题的方法 试看出它的要点,并且尝试把它用于其他问题。总结所得结果并试着把它用 于其他的问题 这样做,我能有什么好处?你可能找出一个新的更好的解,你可能发现新 的有趣的事实。无论如何,如果你用这方式养成研究与总结你的解的习惯,你 将获得某些井然有序的,便于应用的知识,并且你将会提高你解题的能力 第三部分探索法小词典 类比 类比就是一种相似。相似的对象在某个方面彼此一致,类比的对象则其相 应部分在臬些关系上相似 (1)长方形可与长方体类比。事实上,长方形各边之间的关系与长方体各面 之间的关系相似 长方形的每一边恰与另一边平行,而与其余的边垂直。 长方体的每一面恰与另一面平行,而与其余的面垂直。 让我们把边称为长方形的边界元素,而面称为长方体的边界元素,则前述 两个命题可合而为一并可同等地应用于这两个图形:
要几个有益的念头。也许有些念头会把你引入歧途。无论如何，你应当感谢所 有的新念头，感谢那些次要的念头，感谢那些模糊的念头，也感谢那些使模糊 念头得以纠正的补充性念头。即使你暂时还没有发现什么有价值的新念头，但 如果你对问题的概念更完全了，或者更连贯、更和谐或者更平衡了，那你也应 当表示感谢。 4．实现计划 应该从哪儿开始?从引导到解决问题的思路开始。当你感到你已抓住主要 的联系，并且自信能提供可能需要的次要细节时，就开始。 怎幺做?你对问题应抓得很有把握。详细地进行你以前认为可行的全部代 数或几何运算。用形式推理或直接观察检查每一步骤的正确性，或者，如果你 能够的话，两种方法都用。如果你的问题很复杂，你可以分成“大”步骤和“小” 步骤，每一大步骤又由几个小步骤组成。首先检查大步骤，以后再检验小步骤。 这样做，我能有什么好处?这样提出的解，每个步骤无疑都是正确的。 5．回顾 应该从哪儿开始?从解答开始，它的每一个细节都应该是完整而正确的， 怎么做?从各个方面考虑这个解，找出与你已有知识之间的联系。 考虑解的细节，并尝试使它们尽可能地简单；研究解答中较冗长的部分， 使它们更短些；试着一眼就看出整个解。试着去改进解的各部分，尝试去改进 整个解，使它直观，使它尽量自然地适合于你已有的知识。总结你解题的方法， 尝试看出它的要点，并且尝试把它用于其他问题。总结所得结果并试着把它用 于其他的问题。 这样做，我能有什么好处?你可能找出一个新的更好的解，你可能发现新 的有趣的事实。无论如何，如果你用这方式养成研究与总结你的解的习惯，你 将获得某些井然有序的，便于应用的知识，并且你将会提高你解题的能力。 第三部分 探索法小词典 1．类比 类比就是一种相似。相似的对象在某个方面彼此一致，类比的对象则其相 应部分在臬些关系上相似： (1)长方形可与长方体类比。事实上，长方形各边之间的关系与长方体各面 之间的关系相似： 长方形的每一边恰与另一边平行，而与其余的边垂直。 长方体的每一面恰与另一面平行，而与其余的面垂直。 让我们把边称为长方形的边界元素，而面称为长方体的边界元素，则前述 两个命题可合而为一并可同等地应用于这两个图形：