尾处)? 你能把这结果或方法用于其它问题吗?在受到一些鼓励并且经过一两个示 范例子以后,学生们很容易找到应用,这些应用实质上就是把问题的抽象数学 元素赋予具体的解释。当教师在进行讨论的教室里,把教室当作问题中的长方 体,他自己就使用了这样一种具体的解释。一个笨拙的学生可能会提议计算食 堂的对角线,而不是教室的对角线来作为一种应用。如果学生们自己提不出来 更有想象力的内容,那么教师本人可以提出一个稍许不同的问题,例如:“给 定长方体的长、宽、高,求中心到一角的距离 学生可以利用刚才解决的问题的结果,因为所求距离是对角线的一半。或 者他们也可以利用引入适当的直角三角形的方法(后一种办法对于本例来说,是 不那么显而易见的,并且多少有点笨拙)。 在这个应用例子之后,教师可以讨论长方体四个对角线和六个棱锥体的结 构,这六个棱锥体的底是长方体的六个面、公共顶点是长方体的中心、而侧棱 是长方体对角线的一半。当学生的几何想象力被充分激发以后,教师应当回到 他的问题上来:你能把结果或方法用于某个其他问题吗?现在学生有机会找到更 有趣的具体应用了,例如,下面就是一个:“在一个长21码、宽16码的建筑物 的长方形平屋顶的中心要立一个高8码的旗杆。为了支撑这根旗杆,我们需要四 根等长的拉线。规定四根拉线要离旗杆顶点为2码处的同一点开始,而另一端是 建筑物顶部的四个角。问每根拉线有多长?” 学生可以采用上面已详细求解过的问题中所用方法,即在一个垂直平面上 引入一个直角三角形而在水平平面上引入另一个三角形。或者他们也可以利用 上面的结果:设想有一个长方体,其对角线x就是四根缆绳之一而它的边是 a=10.5,b=8,c=6 直接应用公式可求出x=14.5。 更多的例子可见“你能利用这个结果吗?”那一节。 15.不同的方法 我们对前面8、10、12、14几节所考虑的问题继续讨论一下。主要的工作, 即提出计划,已在第10节加以叙述。让我们观察教师用不同的方式来进行。从 与第10节相同之点出发,以后可以沿着稍许不同的路线提出下列各问题 “你是否知道任何与此有关的问题?” 你是否知道一个类比的问题?” 你看,所提的问题是关于空间的图形,它与长方体的对角线有关。关于 平面中的类比问题可能是什么?它应该与长方形的对角线有关” “平行四边形”。 即便非常迟钝和平凡、并且以前没有能力推测任何事物的学生,最后也会 被迫对解题的思路至少作出微小的贡献。此外,如果学生确实比较迟钝,为了 使学生有所准备,教师应该事先讨论平行四边形的类比问题,否则不能一下子 就端出现在的这个长方体问题。然后,教师可以继续提问如下:
尾处)? 你能把这结果或方法用于其它问题吗?在受到一些鼓励并且经过一两个示 范例子以后，学生们很容易找到应用，这些应用实质上就是把问题的抽象数学 元素赋予具体的解释。当教师在进行讨论的教室里，把教室当作问题中的长方 体，他自己就使用了这样一种具体的解释。一个笨拙的学生可能会提议计算食 堂的对角线，而不是教室的对角线来作为一种应用。如果学生们自己提不出来 更有想象力的内容，那么教师本人可以提出一个稍许不同的问题，例如：“给 定长方体的长、宽、高，求中心到一角的距离”。 学生可以利用刚才解决的问题的结果，因为所求距离是对角线的一半。或 者他们也可以利用引入适当的直角三角形的方法(后一种办法对于本例来说，是 不那么显而易见的，并且多少有点笨拙)。 在这个应用例子之后，教师可以讨论长方体四个对角线和六个棱锥体的结 构，这六个棱锥体的底是长方体的六个面、公共顶点是长方体的中心、而侧棱 是长方体对角线的一半。当学生的几何想象力被充分激发以后，教师应当回到 他的问题上来：你能把结果或方法用于某个其他问题吗?现在学生有机会找到更 有趣的具体应用了，例如，下面就是一个：“在一个长21码、宽16码的建筑物 的长方形平屋顶的中心要立一个高8码的旗杆。为了支撑这根旗杆，我们需要四 根等长的拉线。规定四根拉线要离旗杆顶点为2码处的同一点开始，而另一端是 建筑物顶部的四个角。问每根拉线有多长?” 学生可以采用上面已详细求解过的问题中所用方法，即在一个垂直平面上 引入一个直角三角形而在水平平面上引入另一个三角形。或者他们也可以利用 上面的结果：设想有一个长方体，其对角线x就是四根缆绳之一而它的边是 a=10.5, b=8, c=6 直接应用公式可求出x=14.5。 更多的例子可见“你能利用这个结果吗?”那一节。 15．不同的方法 我们对前面8、10、12、14几节所考虑的问题继续讨论一下。主要的工作， 即提出计划，已在第10节加以叙述。让我们观察教师用不同的方式来进行。 从 与第10节相同之点出发，以后可以沿着稍许不同的路线提出下列各问题： “你是否知道任何与此有关的问题?” “你是否知道一个类比的问题?” “你看，所提的问题是关于空间的图形，它与长方体的对角线有关。关于 平面中的类比问题可能是什么?它应该与长方形的对角线有关”。 “平行四边形”。 即便非常迟钝和平凡、并且以前没有能力推测任何事物的学生，最后也会 被迫对解题的思路至少作出微小的贡献。此外，如果学生确实比较迟钝，为了 使学生有所准备，教师应该事先讨论平行四边形的类比问题，否则不能一下子 就端出现在的这个长方体问题。然后，教师可以继续提问如下：
这里有一个与你有关且已解决了的问题,你能利用它吗?” 为了有可能利用它,你是否应当引入某个辅助元素?” 最后教师可以成功地向学生提出他所希望的概念。这就是把给定长方体的 对角线想象为必须引入图中的一个合适的平行四边形的对角线(这个平行四边 形是通过长方体和两个对边的平面的截面)。此概念本质上和前面(第10节)相 同,但方法却不一样。在第10节是通过未知数来触及到学生的可用的知识的; 我们回想起一个以前已解决的问题是因为其未知数和当前提出的问题中的未知 数相同。而在本节,是用类比的方法使学生触及到解题的概念 16.教师提问的方法 在第8,10,12,14,15各节所阐述的提问方法主要是先从表中一般化的 问题和建议开始,在需要时,逐步转向更特殊更具体的问题和建议,直到在学 生的头脑中能引出一个回答为止。如果你必须帮助学生开拓某种思路,如果可 能的话,从表中一个一般化的问题或建议重新开始提问,并在必要时再一次回 到某个更特殊的问题,如此等等。 当然,这张表仅仅是这种类型的第一张表,看来对大多数简单情况是够用 了。但无疑它还应该改进。重要的是,我们开始提的问题与建议应该简单、自 然和一般化,同时表应当短。 建议必须简单而自然,否则就会太唐突。 如果我们想培养学生的能力而不是特殊技巧的话,那么建议必须一般化, 不仅可用于目前的问题,而且可用于各类问题。 表必须简短,使得在不同情况下,能够不矫揉造作地重复提问,从而有机 会最终能为学生所掌握,并对培养思维习惯作出贡献。 为了培养学生的独立工作能力,必需逐步改为提出特殊的建议。 这种提问的方法不是一成不变的,幸好如此,因为在这类事情中,任何一 成不变的、机械的、陈旧的程序必然很糟糕。我们允许有一定的灵活性,它允 许采用各种办法(见第15节),它可以而且应该这样来实施,使得教师所提的问 题可以由学生自己提出来。 如果有读者希望在他的班上试一试这里所提出的方法,他当然应该小心地 进行,他应该仔细地研究第8节的例子和后面笫18、19、20节中的例子。他应当 仔细地准备他打算讨论的例子,同时也考虑到各种不同的方法。他开始时应作 少量试验,并逐渐摸索出他应如何掌握这个方法,学生如何学习这个方法并且 需要多少时间。 17.好问题与坏问题 如果能很好地理解上节所提出的提问方法,则通过比较可以有助于判断某
“这里有一个与你有关且已解决了的问题，你能利用它吗?” “为了有可能利用它，你是否应当引入某个辅助元素?” 最后教师可以成功地向学生提出他所希望的概念。这就是把给定长方体的 对角线想象为必须引入图中的一个合适的平行四边形的对角线(这个平行四边 形是通过长方体和两个对边的平面的截面)。此概念本质上和前面(第10节)相 同，但方法却不一样。在第10节是通过未知数来触及到学生的可用的知识的； 我们回想起一个以前已解决的问题是因为其未知数和当前提出的问题中的未知 数相同。而在本节，是用类比的方法使学生触及到解题的概念。 16．教师提问的方法 在第8，10，12，14，15各节所阐述的提问方法主要是先从表中一般化的 问题和建议开始，在需要时，逐步转向更特殊更具体的问题和建议，直到在学 生的头脑中能引出一个回答为止。如果你必须帮助学生开拓某种思路，如果可 能的话，从表中一个一般化的问题或建议重新开始提问，并在必要时再一次回 到某个更特殊的问题，如此等等。 当然，这张表仅仅是这种类型的第一张表，看来对大多数简单情况是够用 了。但无疑它还应该改进。重要的是，我们开始提的问题与建议应该简单、自 然和一般化，同时表应当短。 建议必须简单而自然，否则就会太唐突。 如果我们想培养学生的能力而不是特殊技巧的话，那么建议必须一般化， 不仅可用于目前的问题，而且可用于各类问题。 表必须简短，使得在不同情况下，能够不矫揉造作地重复提问，从而有机 会最终能为学生所掌握，并对培养思维习惯作出贡献。 为了培养学生的独立工作能力，必需逐步改为提出特殊的建议。 这种提问的方法不是一成不变的，幸好如此，因为在这类事情中，任何一 成不变的、机械的、陈旧的程序必然很糟糕。我们允许有一定的灵活性，它允 许采用各种办法(见第15节)，它可以而且应该这样来实施，使得教师所提的问 题可以由学生自已提出来。 如果有读者希望在他的班上试一试这里所提出的方法，他当然应该小心地 进行，他应该仔细地研究第8节的例子和后面笫18、19、20节中的例子。他应当 仔细地准备他打算讨论的例子，同时也考虑到各种不同的方法。他开始时应作 少量试验，并逐渐摸索出他应如何掌握这个方法，学生如何学习这个方法并且 需要多少时间。 17．好问题与坏问题 如果能很好地理解上节所提出的提问方法，则通过比较可以有助于判断某
些建议的好坏,这些建议是为了帮助学生而可能提出来的。 回到原来在第10节开始时的情况,那时提问下列问题:你知道一个与此有 关的问题吗?我们从帮助学生的最好意愿出发,不问这个问题,而改为提问:你 能应用毕达哥拉斯定理吗? 我们的动机可能是极好的,但是这种提问却大概是最坏的。我们必须认识 是在什么情况下提出这个问题的;然后我们会发现有一大堆反对意见反对这种 类型的“帮助”。 (1)如果学生已接近于问题的解决,他可能理解问题的建议;但是如果他不 是这样,他十分可能完全看不到问题的着眼点,因而在最需要帮助之处却得不 到帮助。 (2)这建议的针对性太强了,即使学生能利用它解决当前的问题,对于将 来的问题来说并没有学到什么。这种提问不是很有启发性的。 (3)即使学生理解这建议,他们也极少能理解教师怎么会想到提出这样 个问题,而学生他自己又怎样能想出这样一个问题呢?它看起来很不自然,很令 人诧异,就好象变戏法耍魔术一样。它实在没有什么启发性。 对第10、15节中所描述的过程就提不出上述任何反对意见了。 更多的例子 18.一个作图题 在给定三角形中作一正方形。正方形的两个顶点在三角形的底边上,另二 个顶点分别在三角形的另两边上。 未知的是什么?” 个正方形 “已如数据是什么? “一个给定的三角形,其它没有。” “条件是什么?” “正方形的四个角在三角形的边线上,两个在底上,其余两边每边上有 个 是否可能满足条件?” 我想如此,但不太有把握。” “看起来,你解此题并不太容易。如果你不能解决所提问题,首先尝试去 解决某个与此有关的问题。你能满足部分条件吗?” 你说部分条件是什么意思?” 你看,条件与正方形的所有顶点有关,这里有几个顶点?” “四个。” “所谓部分条件涉及的顶点数应当少于四个。请仅仅保持部分条件而舍去 其余部分。什么样的部分条件容易满足?
些建议的好坏，这些建议是为了帮助学生而可能提出来的。 回到原来在第10节开始时的情况，那时提问下列问题：你知道一个与此有 关的问题吗?我们从帮助学生的最好意愿出发，不问这个问题，而改为提问：你 能应用毕达哥拉斯定理吗? 我们的动机可能是极好的，但是这种提问却大概是最坏的。我们必须认识 是在什么情况下提出这个问题的；然后我们会发现有一大堆反对意见反对这种 类型的“帮助”。 (1)如果学生已接近于问题的解决，他可能理解问题的建议；但是如果他不 是这样，他十分可能完全看不到问题的着眼点，因而在最需要帮助之处却得不 到帮助。 (2)这建议的针对性太强了，即使学生能利用它解决当前的问题，对于将 来的问题来说并没有学到什么。这种提问不是很有启发性的。 (3)即使学生理解这建议，他们也极少能理解教师怎么会想到提出这样一 个问题，而学生他自己又怎样能想出这样一个问题呢?它看起来很不自然，很令 人诧异，就好象变戏法耍魔术一样。它实在没有什么启发性。 对第10、15节中所描述的过程就提不出上述任何反对意见了。 更多的例子 18．一个作图题 在给定三角形中作一正方形。正方形的两个顶点在三角形的底边上，另二 个顶点分别在三角形的另两边上。 “未知的是什么?” “一个正方形” “已如数据是什么?” “一个给定的三角形，其它没有。” “条件是什么?” “正方形的四个角在三角形的边线上，两个在底上，其余两边每边上有一 个。” “是否可能满足条件?” “我想如此，但不太有把握。” “看起来，你解此题并不太容易。如果你不能解决所提问题，首先尝试去 解决某个与此有关的问题。你能满足部分条件吗?” “你说部分条件是什么意思?” “你看，条件与正方形的所有顶点有关，这里有几个顶点?” “四个。” “所谓部分条件涉及的顶点数应当少于四个。请仅仅保持部分条件而舍去 其余部分。什么样的部分条件容易满足?
两顶点在三角形边线上,甚至三个顶点都在三角形边线上的正方形,是 容易画出来的!” 画张图!” 学生画出图2。 “你仅仅保留了部分条件,同时你舍去了其余条件。现在未知的确定到了 什么程度?” “如果正方形只有三个顶点在三角形的边线上,那么它是不确定的。” 好!画张图。” 学生画出图3。 正象你所说的,保持部分条件不能确定正方形、它会怎样变化呢?” 你的正方形的三个角在三角形的边线上,但第四个角还不在它应该在的 地方。正象你说的,你的正方形是不确定的,它能变化;第四个角也是这样, 它怎样变化? 如果你希望的,你可以用实验的办法试试看。按照图中已有的两个正方 形的相同办法,去画出更多的三个角在边线上的正方形。画出小的正方形与大 的正方形。第四角的轨迹看起来象是什么?它将怎样变化? 教师已把学生带到非常接近于解答的地方。如果学生能猜到第四个角的轨 迹是一条直线,他就得到这个主意了 19.一个证明题 在不同平面上的两个角,其中一个角的每一边平行于另一角的对应边且方 向相同。证明这两个角相等 我们要证的是立体几何的一个基本定理。这个问题可以提给那些熟悉平面 几何以及立体几何中下列少数事实的学生,这少数事实构成了欧几里得原理中 当前这个定理的预备知识。我们不但把直接引自我们表中的问题与建议划上线
“两顶点在三角形边线上，甚至三个顶点都在三角形边线上的正方形，是 容易画出来的!” “画张图!” 学生画出图2。 图2 “你仅仅保留了部分条件，同时你舍去了其余条件。现在未知的确定到了 什么程度?” “如果正方形只有三个顶点在三角形的边线上，那么它是不确定的。” “好!画张图。” 学生画出图3。 “正象你所说的，保持部分条件不能确定正方形、它会怎样变化呢?” 图3 “你的正方形的三个角在三角形的边线上，但第四个角还不在它应该在的 地方。正象你说的，你的正方形是不确定的，它能变化；第四个角也是这样， 它怎样变化?” …… “如果你希望的，你可以用实验的办法试试看。按照图中已有的两个正方 形的相同办法，去画出更多的三个角在边线上的正方形。画出小的正方形与大 的正方形。第四角的轨迹看起来象是什么?它将怎样变化? 教师已把学生带到非常接近于解答的地方。如果学生能猜到第四个角的轨 迹是一条直线，他就得到这个主意了。 19．一个证明题 在不同平面上的两个角，其中一个角的每一边平行于另一角的对应边且方 向相同。证明这两个角相等。 我们要证的是立体几何的一个基本定理。这个问题可以提给那些熟悉平面 几何以及立体几何中下列少数事实的学生，这少数事实构成了欧几里得原理中 当前这个定理的预备知识。我们不但把直接引自我们表中的问题与建议划上线
而且把那些与它们相对应的问题与建议也划上线。例如,“求证题”是和“求 解题”相对应的(在“求解题,求证题”标题下的第5,6小节中,我们再系统地 讨论这种对应关系)。 “前提是什么?” “两角在不同的平面上,其中一个的每一边平行于另一角的对应边,且方 向相同。 结论是什么? 两角相等。 “画张图,引入适当的符号 学生画出图4中的线,并在教师的或多或少的帮助下,标出图4中的字母。 “前提是什么?请用你的符号表达出来。” “A,B,C和A’,B',C不在同一平面上,且AB∥A'B’,AC∥A'C’。AB的 方向与A'B’的方向相同,而AC的方向与A'C的方向相同。” “结论是什么? “看着结论!尝试想起一个具有相同或相似结沦的熟悉的定理。” “如果两个三角形全等,则对应角相等。” 很好!现在有一个与你的问题有关的定理,且早已证明。你能否利用 “我想如此,不过我还不清楚怎么办。” 为了可能利用它,你是否应该引入某个辅助元素 好,你提得非常好的那个定理是关于三角形的,是关于一对全等三角形 的。在你的图中有没有三角形?” 没有,但我能引进一些。让我连接B与C,B’与C’,这样就有了两个三角 形,ABC和A'B'C。 “做得好,但是这些三角形有什么用?” “去证明结论;∠BAC=∠BAC” “好,如果你希望汪明这点,你需要两个什么样的三角形?” 全等三角形。噢,对了,我可以选择B,C,B’,C,使得 AB=A'B’,AC=A'C” 好极了!现在你希望证明什么? 我希望证明两个三角形全等, △ABC=△A'B’C 如果我能证明这点,则立即可得结论∠BAC=∠B’A'C 妙!你有了一个新目标,这目标是一个新结论。看着这结论!并且尝试
而且把那些与它们相对应的问题与建议也划上线。例如，“求证题”是和“求 解题”相对应的(在“求解题，求证题”标题下的第5，6小节中，我们再系统地 讨论这种对应关系)。 “前提是什么?” “两角在不同的平面上，其中一个的每一边平行于另一角的对应边，且方 向相同。” “结论是什么?” “两角相等。” “画张图，引入适当的符号。” 学生画出图4中的线，并在教师的或多或少的帮助下，标出图4中的字母。 “前提是什么?请用你的符号表达出来。” “A，B，C和A'，B'，C'不在同一平面上，且AB∥A'B'， AC∥A'C'。AB的 方向与A'B'的方向相同，而AC的方向与 A'C'的方向相同。” 图4 “结论是什么?” “看着结论! 尝试想起一个具有相同或相似结沦的熟悉的定理。” “如果两个三角形全等，则对应角相等。” “很好! 现在有一个与你的问题有关的定理，且早已证明。你能否利用 它?” “我想如此，不过我还不清楚怎么办。” “为了可能利用它，你是否应该引入某个辅助元素?” …… …… “好，你提得非常好的那个定理是关于三角形的，是关于一对全等三角形 的。在你的图中有没有三角形?” “没有，但我能引进一些。让我连接B与C，B'与C'，这样就有了两个三角 形，ABC和A'B'C'。” “做得好，但是这些三角形有什么用?” “去证明结论；∠BAC=∠B’A’C’” “好，如果你希望汪明这点，你需要两个什么样的三角形?” “全等三角形。噢，对了，我可以选择B，C，B'，C'，使得 AB=A'B'， AC=A'C'” “好极了!现在你希望证明什么?” “我希望证明两个三角形全等， △ABC=△A'B'C' 如果我能证明这点，则立即可得结论∠BAC=∠B'A'C'。” “妙!你有了一个新目标，这目标是一个新结论。看着这结论! 并且尝试