为了弄清学生的心理活动,老师应当回想他自己的经验,回顾他自己在解 题时碰到的困难与取得成功的经验。 我们当然知道,如果我们对该论题知识贫乏,是不容易产生好念头的。如 果我们完全没有知识,则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是过去的 经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关 事实,则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子,但是不收集必需的材 料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某 些有关内容,如以前解决的问题,以前证明过的定理。因此,以下列问题开始 工作常常是合适的:你知道一个与此有关的问题吗? 困难就在于:通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关,即,与它 有某种共同之处。我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢?我们建议把 力量放在主要的共同之处上:看着未知数!试想起一个具有相同或相似未知数的 熟悉的问题来。 如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的问题,那是 很幸运的。我们应当争取这样的运气;通过探索我们是可以得到它的。这里 有个问题与你的问题有关,且早已解决,你能利用它吗? 上述问题,如能很好地理解和认真地加以考虑,常常有助于激发起一连串 正确的想法;但它们并不总是有用的,它们并非魔法。如果这些问题不行,我 们必须寻找某些其他的适当接触点,并且探索问题的各个方面;我们不得不变 化、变换、修改该问题。你能否重述这个问题?我们表中的某些问题提示了改变 问题的专门方法,例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等;具 体细节是重要的,但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导致提出某种适当 的辅助问题:如果你不能解决所提出的问题,则应首先尝试去解决某些与此有 关的问题。 尝试去应用各种已知的问题或定理,考虑各种修改,对各种辅助问题进行 试验,我们可能离开原来的问题太远,甚至最后有失掉它的危险。但是还有 个很好的问题可以把我们带回原处:你是否利用了所有的已知数据?你是否利用 了整个条件? 0.例子 我们回到第8节中的例子。 “你是否知道一个与此有关的问题?” 看着未知数,你是否知道一个具有相同未知数的问题?” “好,未知数是什么?” “平行六面体的对角线。” “你是否知道任何具有相同未知数的问题?” 不,我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题 你是否知道任何具有相似未知数的问题?
为了弄清学生的心理活动，老师应当回想他自己的经验，回顾他自己在解 题时碰到的困难与取得成功的经验。 我们当然知道，如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的。如 果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是过去的 经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关 事实，则也不会出现好念头。只有材料还不足以盖房子，但是不收集必需的材 料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某 些有关内容，如以前解决的问题，以前证明过的定理。因此，以下列问题开始 工作常常是合适的：你知道一个与此有关的问题吗? 困难就在于：通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关，即，与它 有某种共同之处。我们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢?我们建议把 力量放在主要的共同之处上：看着未知数!试想起一个具有相同或相似未知数的 熟悉的问题来。 如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的问题，那是 很幸运的。我们应当争取这样的运气；通过探索我们是可以得到它的。 这里 有个问题与你的问题有关，且早已解决，你能利用它吗? 上述问题，如能很好地理解和认真地加以考虑，常常有助于激发起一连串 正确的想法；但它们并不总是有用的，它们并非魔法。如果这些问题不行，我 们必须寻找某些其他的适当接触点，并且探索问题的各个方面；我们不得不变 化、变换、修改该问题。你能否重述这个问题?我们表中的某些问题提示了改变 问题的专门方法，例如普遍化、特殊化、应用类比、舍去一部分条件等等；具 体细节是重要的，但我们现在不能深入讨论。改变问题可能导致提出某种适当 的辅助问题：如果你不能解决所提出的问题，则应首先尝试去解决某些与此有 关的问题。 尝试去应用各种已知的问题或定理，考虑各种修改，对各种辅助问题进行 试验，我们可能离开原来的问题太远，甚至最后有失掉它的危险。但是还有一 个很好的问题可以把我们带回原处：你是否利用了所有的已知数据?你是否利用 了整个条件? 10．例子 我们回到第8节中的例子。 “你是否知道一个与此有关的问题?” …… “看着未知数，你是否知道一个具有相同未知数的问题?” “好，未知数是什么?” “平行六面体的对角线。” “你是否知道任何具有相同未知数的问题?” “不，我们还没有任何关于平行六面体对角线的问题” “你是否知道任何具有相似未知数的问题?
你看,对角线是个线段,就是直线的一段。你从来没有解决过一个未知 数是直线长度的问题?” “当然,我们曾经解决过这样的问题,例如找出直角三角形的一个边。” 好啊!这里有一个知你的问题有关的问题,且早已解决,你能利用它 你真走运,你想起了一个与你当前问题有关的问题,而且这个问题你以 前已经解决了。你愿意利用它吗?为了能利用它,你能否引进某个辅助元素?” 图1 “看这里,你所想起的是一个关于三角形的问题。图中有三角形吗? 我们希望这最后的提示已明白得足以诱发出解题的思路(即引入一个在图 1中用阴影画出的直角三角形)。这个引入的直角三角形的斜边就是我们所要求 的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备:即使这样明白的提示也不能使 学生开窍,那么他应当动用所有越来越明显的提示。 你是否想在图1中有个三角形?” “在图中,你想有哪种三角形?” 你现在还不能求出这对角线;但你说过你能求出三角形的一个边。那么 现在你该怎么办呢?” “如果对角线是三角形的一个边,你能找出它吗?” 经过或多或少的帮助后,学生终于成功地引进了决定性的辅助元素,即图 中阴影三角形,在鼓励学生进入实际计算之前,教师应确信其学生对问题的理 解已有足够的深度。 我想,画出那个三角形是个好主意,你现在有了个三角形,但是你是否 有未知数?” 未知数是三角形的斜边,我们可用毕达哥拉斯定理去计算它” 如果两边为已知,你会计算。但它们是已知的吗?
…… “你看，对角线是个线段，就是直线的一段。你从来没有解决过一个未知 数是直线长度的问题?” “当然，我们曾经解决过这样的问题，例如找出直角三角形的一个边。” “好啊! 这里有一个知你的问题有关的问题，且早已解决，你能利用它 吗？” “你真走运，你想起了一个与你当前问题有关的问题，而且这个问题你以 前已经解决了。你愿意利用它吗?为了能利用它，你能否引进某个辅助元素?” 图1 “看这里，你所想起的是一个关于三角形的问题。图中有三角形吗?” 我们希望这最后的提示已明白得足以诱发出解题的思路(即引入一个在图 1中用阴影画出的直角三角形)。这个引入的直角三角形的斜边就是我们所要求 的对角线。但是教师应当对下述情况有所准备：即使这样明白的提示也不能使 学生开窍，那么他应当动用所有越来越明显的提示。 “你是否想在图1中有个三角形?” “在图中，你想有哪种三角形?” “你现在还不能求出这对角线；但你说过你能求出三角形的一个边。那么 现在你该怎么办呢?” “如果对角线是三角形的一个边，你能找出它吗?” 经过或多或少的帮助后，学生终于成功地引进了决定性的辅助元素，即图 中阴影三角形，在鼓励学生进入实际计算之前，教师应确信其学生对问题的理 解已有足够的深度。 “我想，画出那个三角形是个好主意，你现在有了个三角形，但是你是否 有未知数?” “未知数是三角形的斜边，我们可用毕达哥拉斯定理去计算它” “如果两边为已知，你会计算。但它们是已知的吗?
“一个边已给定,是c。另一个边,我想也不难求出。是的,另一边是另 个直角三角形的斜边。” “很好!现在我看出你有个计划了。” 11.实现计划 想出一个计划,产生一个求解的念头是不容易的。要成功需要有许多条件 如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中,还要有好运气。但实现计划则容 易得多,我们所需要的主要是耐心。 计划仅给出一个一般性的大纲,我们必须充实细节并耐心地检查每一个细 节,直到每一点都完全清楚了,没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。 如果学生真的拟定出一个计划,则教师就比较清闲了。现在的主要危险是 学生可能会忘记他的计划。因为那些从外界接受计划的和根据教师的权威来采 纳某个计划的学生,很容易发生这种现象;但若是学生自己搞出来的计划(即便 经过某种帮助)并且学生满意地看出了最终的思路,则他就不那么容易忘记。教 师必须坚持让学生检查每一步骤 根据“直观”或“形式”上的论证,我们可以使自己相信每一步骤的正确 性。我们可以集中力量在有问题的疑点上,直到完全搞清楚,毫不怀疑每一步 骤都是正确的为止;或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点 (在许多重要的场合,直接观察与形式证明二者间的区别是足够明显的;更进 步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧!) 主要之点是:学生应当真正地相信每一步骤的正确性。在某些情况老师可 以强调“看出来”与“证明”二者之间的差别而提出:你能清楚地看出这一步 骤是正确的吗?同时你也能证明这一步骤是正确的吗? 12.例子 我们继续第10节末尾留下的工作。学生最后已经得到了解题的思路。他看 出未知数x是直角三角形的斜边,而给定的高度c是边长之一,另一边则是六面 体的一个面的对角线。很可能这刚学生被催促引入一个适当的符号。他应当选 择y表示另一边,即面上的对角线,其两边为a和b。学生现在可能看得更清楚 解题的思路就是应该引进一个辅助未知数y0最后,陆续对这两个直角三角形进 行考虑之后,他得到 X2=y+c y2=a2+b2于是消去辅助未知数y,从而有 x =a +b +c a2+b2+c2 如果学生正确地进行上述细节运算,老师没有理由去打断他,除非必要时 提醒他应当检查每一步。这样,教师可以问:
“一个边已给定，是c。另一个边，我想也不难求出。是的，另一边是另 一个直角三角形的斜边。” “很好!现在我看出你有个计划了。” 11．实现计划 想出一个计划，产生一个求解的念头是不容易的。要成功需要有许多条件， 如已有的知识、良好的思维习惯、目标集中，还要有好运气。但实现计划则容 易得多，我们所需要的主要是耐心。 计划仅给出一个一般性的大纲，我们必须充实细节并耐心地检查每一个细 节，直到每一点都完全清楚了，没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。 如果学生真的拟定出一个计划，则教师就比较清闲了。现在的主要危险是 学生可能会忘记他的计划。因为那些从外界接受计划的和根据教师的权威来采 纳某个计划的学生，很容易发生这种现象；但若是学生自己搞出来的计划(即便 经过某种帮助)并且学生满意地看出了最终的思路，则他就不那么容易忘记。教 师必须坚持让学生检查每一步骤。 根据“直观”或“形式”上的论证，我们可以使自己相信每一步骤的正确 性。我们可以集中力量在有问题的疑点上，直到完全搞清楚，毫不怀疑每一步 骤都是正确的为止；或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点 (在许多重要的场合，直接观察与形式证明二者间的区别是足够明显的；更进一 步的讨论让我们留给哲学家们去进行吧!) 主要之点是：学生应当真正地相信每一步骤的正确性。在某些情况老师可 以强调“看出来”与“证明”二者之间的差别而提出：你能清楚地看出这一步 骤是正确的吗?同时你也能证明这一步骤是正确的吗? 12．例子 我们继续第10节末尾留下的工作。学生最后已经得到了解题的思路。他看 出未知数x是直角三角形的斜边，而给定的高度c是边长之一，另一边则是六面 体的一个面的对角线。很可能这刚学生被催促引入一个适当的符号。他应当选 择y表示另一边，即面上的对角线，其两边为a和b。学生现在可能看得更清楚： 解题的思路就是应该引进一个辅助未知数y0最后，陆续对这两个直角三角形进 行考虑之后，他得到 x2=y 2 +c2 y 2 =a 2 +b2于是消去辅助未知数y，从而有 x2=a 2 +b2 +c2 x= 2 2 2 a + b + c 如果学生正确地进行上述细节运算，老师没有理由去打断他，除非必要时 提醒他应当检查每一步。这样，教师可以问：
“你能清楚地看出具有三边x,y,c的三角形是直角三角形吗?” 对于这个问题,学生可能老老实实回答:“是”。但是如果老师不满足于 学生的直观猜测,他应该继续提问 但是你能证明这个三角形是个直角三角形吗?” 除非整个班级对于立体几何已经有了良好的起点,否则教师不应当提出这 个问题。即使如此,也仍然存在某些危险性,即对这个偶然提出问题的回答可 能成为大多数学生的主要困难。 13.回顾 即使是相当好的学生,当他得到问题的解答,并且很干净利落地写下论证 后,就会合上书本,找点别的事来干干。这样做,他们就错过了解题的一个重 要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答,通过重新考虑与重新检查这个结 果和得出这一结果的路子,学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力。 一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法:没有任何问题是可以解决得 十全十美的。总剩下些工作要做。经过充分的探讨与钴研,我们能够改进这个 解答,而且在任何情况下,我们总能提高自己对这个解答的理解水平 现在学生已经完成了他的计划。他已经写出了答案,检査了每一步。这样, 他似乎有充分理由相信他的解答是正确的了。然而,出现错误总还是可能的, 特别当论证冗长而复杂的时候更是如此。所以要验证。特别是,如果有某种快 速而直观的办法来检验结果或者检验论证,决不要忽略。你能检验这结果吗? 你能检验这个论证吗? 为了确信某个东西的存在或其质量的好坏,我们总喜欢去看看它,摸摸它。 我们总是通过两种不同的感官来感知它。同样,我们也宁可通过两种不同的证 明使我们对结果确信无疑。因此要问:你能用不同方法来导出这结果吗?当然 我们宁愿要简短而直观的论证,而不要冗长而烦琐的,所以要问:你能一下子 看出它吗? 教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉:数学题目之间很少有联 系,和任何其他事物则完全没有什么联系。当我们回顾问题解答的时候,我们 自然有机会来考察一个问题与其它事物的联系。如果学生已经作出了真诚的努 力并且意识到自己完成得不错,那末他们将发现对解答加以回顾确实饶有趣味 这样,他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什么别的,以及下次他如何 能干得同样好。教师应该鼓励学生设想一些情况,在那些情况下,他能再一次 利用所使用的办法,或者应用所得到的结果。你能把这结果或这方法用于某个 其它问题吗? 14.例子 在第12节,学生最后得到了解答:如果长方体自同一角引出的三个边为 b,c,那末对角线为 la2+b2+c
“你能清楚地看出具有三边x，y，c的三角形是直角三角形吗?” 对于这个问题，学生可能老老实实回答：“是”。但是如果老师不满足于 学生的直观猜测，他应该继续提问： “但是你能证明这个三角形是个直角三角形吗?” 除非整个班级对于立体几何已经有了良好的起点，否则教师不应当提出这 个问题。即使如此，也仍然存在某些危险性，即对这个偶然提出问题的回答可 能成为大多数学生的主要困难。 13．回顾 即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证 后，就会合上书本，找点别的事来干干。这样做，他们就错过了解题的一个重 要而有教益的方面。通过回顾所完成的解答，通过重新考虑与重新检查这个结 果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们解题的能力。 一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题是可以解决得 十全十美的。总剩下些工作要做。经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个 解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。 现在学生已经完成了他的计划。他已经写出了答案，检查了每一步。这样， 他似乎有充分理由相信他的解答是正确的了。然而，出现错误总还是可能的， 特别当论证冗长而复杂的时候更是如此。所以要验证。特别是，如果有某种快 速而直观的办法来检验结果或者检验论证，决不要忽略。你能检验这结果吗? 你能检验这个论证吗? 为了确信某个东西的存在或其质量的好坏，我们总喜欢去看看它，摸摸它。 我们总是通过两种不同的感官来感知它。同样，我们也宁可通过两种不同的证 明使我们对结果确信无疑。因此要问：你能用不同方法来导出这结果吗?当然， 我们宁愿要简短而直观的论证，而不要冗长而烦琐的，所以要问：你能一下子 看出它吗? 教师的首要职责之一是不要给学生以下述错觉：数学题目之间很少有联 系，和任何其他事物则完全没有什么联系。当我们回顾问题解答的时候，我们 自然有机会来考察一个问题与其它事物的联系。如果学生已经作出了真诚的努 力并且意识到自己完成得不错，那末他们将发现对解答加以回顾确实饶有趣味。 这样，他们就热切地想知道用真诚的努力还可干些什么别的，以及下次他如何 能干得同样好。教师应该鼓励学生设想一些情况，在那些情况下，他能再一次 利用所使用的办法，或者应用所得到的结果。你能把这结果或这方法用于某个 其它问题吗? 14．例子 在第12节，学生最后得到了解答：如果长方体自同一角引出的三个边为a， b，c，那末对角线为 2 2 2 a + b + c
你能检验这个结果吗?教师不能指望从缺乏经验的学生那里得到这个问题 的良好回答。但是学生应该很早就获得下述经验:用字母表达的问题比纯粹数 字题好。对于用字母表示的题,其结果很容易进行几次检验,而用数字表示的 题则不然。我们的例子虽然很简单,也足以证明这点。教师可以对结果提出好 几个问题,对这些问题,学生可以很容易地回答“是”;但如回答“不是” 这将表明结果中存在严重的缺点 你是否使用了所有的数据?是否所有数据a,b,c都在你的对角线公式中 出现?” “长、宽、高在我们的问题中起的作用是一样的,我们的问题对a,b,c 来说是对称的。你所得的公式对a,b,c对称吗?当a,b,c互换时公式是否保持 不变 “我们的问题是一个立体几何问题给定尺寸a,b,c,求平行六面体的对 角线。我们的问题与平面几何的问题类似:给定尺寸a、b,求矩形的对角线 这里立体几何问题的结果是否与平面几何的结果类似?” “如果高c减小,并且最后等于零,这时平行六面体变成平行四边形。在 你的公式中,令c=0,是否得到矩形对角线的正确公式?” 如果高c增加,则对角线也增加。你的公式是否表明这点?” “如果平行六面体的三个量度a,b,c按同一比例增加,则对角线也按同 比例增加。在你的公式中,如将a,b,c分别代以12a,12b,12c,则对角线 也将乘以12,是否这样?” “如果a,b,c的单位是尺,则你的公式给出的对角线的单位也是尺;如 果将所有单位改为寸,则公式应保持正确,是否如此?” (后两个问题基本上是等价的。参见“量纲检验”一节) 上述一些问题有几个好处。首先,公式通过这么多的检验,这一事实不能 不使一个聪明的学生产生深刻的印象。学生以前就相信公式是正确的,因为公 式是他仔细推导出来的。但是现在经过这么多检验,他就更深信无疑了,这种 信心的增加来源于一种“实验的数据”。正是由于上述问题,公式的细节获得 了新的意义,而且和不同的事实联系起来了。这样,公式就更容易记住,学生 的知识得以巩固。最后,上述问题很容易转到类似的题目上。对于类似题目获 得一些经验以后,一个聪明的学生就能觉察出所包含的普遍概念:即,利用所 有有关数据,改变数据,对称,类比。如果他养成了把注意力集中在这些地方 的习惯,他解题的能力肯定会提高。 你能检验这个论证吗?在困难而重要的场合,可能需要逐步地重新检验论 证。但通常,重新检査一下令人恼火之点就够了。在本例,可以建议讨论以前 提过的问题:你能证明具有三边x,y,c的三角形是直角三角形吗(见第12节末
你能检验这个结果吗?教师不能指望从缺乏经验的学生那里得到这个问题 的良好回答。但是学生应该很早就获得下述经验：用字母表达的问题比纯粹数 字题好。对于用字母表示的题，其结果很容易进行几次检验，而用数字表示的 题则不然。我们的例子虽然很简单，也足以证明这点。教师可以对结果提出好 几个问题，对这些问题，学生可以很容易地回答“是”；但如回答“不是”， 这将表明结果中存在严重的缺点。 “你是否使用了所有的数据?是否所有数据a，b，c都在你的对角线公式中 出现?” “长、宽、高在我们的问题中起的作用是一样的，我们的问题对a，b，c 来说是对称的。你所得的公式对a，b，c对称吗?当a，b，c互换时公式是否保持 不变?” “我们的问题是一个立体几何问题给定尺寸a，b，c，求平行六面体的对 角线。我们的问题与平面几何的问题类似：给定尺寸a、b，求矩形的对角线， 这里立体几何问题的结果是否与平面几何的结果类似?” “如果高c减小，并且最后等于零，这时平行六面体变成平行四边形。在 你的公式中，令c=0，是否得到矩形对角线的正确公式?” “如果高c增加，则对角线也增加。你的公式是否表明这点?” “如果平行六面体的三个量度a，b，c按同一比例增加，则对角线也按同 一比例增加。在你的公式中，如将a，b，c分别代以12a，12b，12c，则对角线 也将乘以12，是否这样?” “如果a，b，c的单位是尺，则你的公式给出的对角线的单位也是尺；如 果将所有单位改为寸，则公式应保持正确，是否如此?” (后两个问题基本上是等价的。参见“量纲检验”一节) 上述一些问题有几个好处。首先，公式通过这么多的检验，这一事实不能 不使一个聪明的学生产生深刻的印象。学生以前就相信公式是正确的，因为公 式是他仔细推导出来的。但是现在经过这么多检验，他就更深信无疑了，这种 信心的增加来源于一种“实验的数据”。正是由于上述问题，公式的细节获得 了新的意义，而且和不同的事实联系起来了。这样，公式就更容易记住，学生 的知识得以巩固。最后，上述问题很容易转到类似的题目上。对于类似题目获 得一些经验以后，一个聪明的学生就能觉察出所包含的普遍概念：即，利用所 有有关数据，改变数据，对称，类比。如果他养成了把注意力集中在这些地方 的习惯，他解题的能力肯定会提高。 你能检验这个论证吗?在困难而重要的场合，可能需要逐步地重新检验论 证。但通常，重新检查一下令人恼火之点就够了。在本例，可以建议讨论以前 提过的问题：你能证明具有三边x，y，c的三角形是直角三角形吗(见第12节末