《经济数学基础》课程教学资源：2003年考研数学（四）真题评注

【详解】只有当(XY)服从二维正态分布时,X与Y不相关分X与Y独立,本题仅 仅已知X和Y服从正态分布,因此,由它们不相关推不出X与Y一定独立,排除(A,若Ⅹ 和Y都服从正态分布且相互独立,则(X,Y)服从二维正态分布,但题设并不知道XY是否独 立,可排除(B);同样要求X与Y相互独立时,才能推出X+Y服从一维正态分布,可排除(D) 故正确选项为(C 【评注】①若X与Y均服从正态分布且相互独立,则(X,Y服从二维正态分布 ②若Ⅹ与Y均服从正态分布且相互独立,则aX+b}服从一维正态分布 ③若(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y相互独立→→X与Y不相关 完全类似结论见《数学复习指南》P458的注 三、(本题满分8分) sIn a /4 7(-x)x∈(O, 试补充定义f(0,使得f(x)在[O,一]上连续 【详解】 lm f(x)= +lim 74r-sin Ax 丌x-0· BaSIn z 2+ lim >ox-sin -- lim t-r cOS a T SIn 7a 丌 由于f(x)在(0,。]上连续,因此定义 f(0)=~1 使f(x)在[0,]上连续 【评注】本题实质上是一求极限问题,但以这种形式表现出来,还考查了连续的概念 完全类似例题在一般教科书上都可找到,或参见《文登数学全真模拟试卷》数学三P24第 四、(本题满分8分) 设u具有二阶连续偏导数,且满足,03f=1,又g(xy)=/1xy2(x2-y2)

6 【详解】 只有当(X,Y) 服从二维正态分布时，X 与 Y 不相关  X 与 Y 独立，本题仅 仅已知 X 和 Y 服从正态分布，因此，由它们不相关推不出 X 与 Y 一定独立，排除(A); 若 X 和 Y 都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但题设并不知道 X,Y 是否独 立，可排除(B); 同样要求 X 与 Y 相互独立时，才能推出 X+Y 服从一维正态分布，可排除(D). 故正确选项为(C). 【评注】 ① 若 X 与 Y 均服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布. ② 若 X 与 Y 均服从正态分布且相互独立，则 aX + bY 服从一维正态分布. ③ 若(X,Y)服从二维正态分布，则 X 与 Y 相互独立  X 与 Y 不相关. 完全类似结论见《数学复习指南》P.458 的[注]. 三 、（本题满分 8 分） 设 ], 2 1 , (0, (1 ) 1 1 sin 1 ( )  − = − − x x x x f x    试补充定义 f(0),使得 f(x)在 ] 2 1 [0, 上连续. 【详解】 lim ( ) 0 f x x→ + = - . 1  + x x x x x     sin sin lim 0 − → + = - 2 2 0 sin lim 1     x x x x − + → + = - x x x 2 0 2 cos lim 1      − + → + = - 2 2 0 2 sin lim 1     x x→ + + = - . 1  由于 f(x)在 ] 2 1 (0, 上连续，因此定义  1 f (0) = − ， 使 f(x)在 ] 2 1 [0, 上连续. 【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念. 完全类似例题在一般教科书上都可找到，或参见《文登数学全真模拟试卷》数学三 P.24 第 三题. 四 、（本题满分 8 分） 设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 1 2 2 2 2 =   +   v f u f ，又 ( )] 2 1 ( , ) [ , 2 2 g x y = f xy x − y

【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题:g=f(u,y),l=xy,v=(x2-y2), 直接利用复合函数求偏导公式即可,注意利用_可2f Quay ovau 详解】g=,②+x ag af af +2 f a2g2a2f,.02f,202ff 所以 (x2+y2)2+(x2+y2) 【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P67第六题和《数学复习指南》P171 【例720,7.22】 五、(本题满分8分) 计算二重积分 I=fe-(+y-x)sin(x2+y2)dxdy 其中积分区域D=(x,y)x2+y2≤ 【分析】从被积函数与积分区域可以看出,应该利用极坐标进行计算 【详解】作极坐标变换:x= rcos,y=rsnO,有 n(x+y )dxdy rdr 7

7 求 . 2 2 2 2 y g x g   +   【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题： g = f (u,v) ， ( ) 2 1 , 2 2 u = xy v = x − y ， 直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用 . 2 2 v u f u v f    =    【详解】 v f x u f y x g   +   =   ， . v f y u f x y g   −   =   故 v f v f x u v f x y u f y x g   +   +    +   =   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ， 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v f v f y v u f x y u f x y g   −   +    −   =   所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) v f x y u f x y y g x g   + +   = +   +   = . 2 2 x + y 【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四 P.67 第六题和《数学复习指南》P.171 【例 7.20,7.22】. 五 、（本题满分 8 分） 计算二重积分 sin( ) . ( ) 2 2 2 2 I e x y dxdy D x y = +  − + − 其中积分区域 D= {( , ) }. 2 2 x y x + y   【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换： x = r cos , y = rsin  ，有 I e e x y dxdy D x y sin( ) ( ) 2 2 2 2 = +   − + = sin . 2 0 0 2 2 e d re r dr r   −     令 2 t = r ，则