第三章极限与函数的连续性 §1极限问题的提出 §2数列的极限 1.用定义证明下列数列的极限为零: m (4)lmn+(-) (5)lim(√n+1-√m 10 n! (9) lin 1+2+3 0)im(n+a") 2.用定义证明 n→n 为偶 (3)imx,=1,其中xn= n+1 ,n为奇数 (4) lim x=3,其中 3n+1 ,n=3k+1(k=1,2,…) 2+ 3.用定义证明
第三章 极限与函数的连续性 §1 极限问题的提出 §2 数列的极限 1． 用定义证明下列数列的极限为零： (1) 2 1 lim n 1 n → n + + ； (2) sin lim n n → n ； (3) lim n n → ； (4) 2 ( 1) lim n n n → n + − − ； (5) lim ( 1 ) n n n → + − ； (6) 10 lim ! n n→ n ； (7) lim 1 n n n a → a ( ) ； (8) ! lim n n n → n ； (9) 2 1 2 3 lim n n → n + + + + ； (10) 1 lim 1 n n a a n − → ( + ) . 2．用定义证明： (1) 2 2 3 lim n 2 1 n n → n + = − ； (2) 2 lim n n n → n + = ； (3) lim n n x → = ，其中 1 , 1 , n n n n x n n n − = + 为偶数， 为奇数； (4) lim n n x → = ，其中 3 1 , 1 ( 1, 2, ) 2 , 2 3 n n k n x n k k n n n k n n = + = = + = + + = + − + ， ， . 3．用定义证明：
(1)若 lim a=a,则对任一正整数k,有 lim a=a (2)若 lim a=a,则lim|an|=|al反之是否成立? 3)若iman=a,且a>b,则存在N,当n>N时,有a>b (4)若 且 a>0, 则imy=√a 4.极限的定义改成下面形式是否可以?(其中“彐”是逻辑符号,表示“存在”) (1)VE>0,彐N>0,当n≥N时,有|xn-a< (2)VE>0,彐N>0,当n>N时,有|x-a|≤E (2)VE>0,彐N>0,当n>N时,有|xn-a|kME(M为常数) 5.若{xnyn}收敛,能否断定{xn}、{y}也收敛? 6.设x≤a≤yn(n=12,…),且lim(n-xn)=0,求证 lim x, =a, lim y=a 7.利用极限的四则运算法则求极限: 3n3+2n2-n+1 (1) lim 3m2+2 (2) lim (-2)"+3” (4)lim(+√2+…+y10) 8.求下列极限 (2) lim( +1 +1m2+2 (5) lim( )cos n:
(1) 若 lim n n a a → = ，则对任一正整数 k ，有 lim n k n a a + → = ； (2) 若 lim n n a a → = ，则 lim | n n a a → = .反之是否成立？ (3) 若 lim n n a a → = ，且 a b ，则存在 N ，当 n N 时，有 n a b ； (4) 若 lim n n a a → = ，且 0 n a ，则 lim n n a a → = . 4．极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“ ”是逻辑符号，表示“存在”.） (1) ， N 0 ，当 n N 时,有 n | - |< x a ； (2) ， N 0 ，当 n N 时,有 n | - | x a ； (2) ， N 0 ，当 n N 时,有 n | - | x a M （ M 为常数）. 5．若 x yn n 收敛，能否断定 xn 、 yn 也收敛？ 6．设 ( 1, ) n n = x a y n ，且 lim ( ) 0 n n n y x → − = ，求证： lim n n x a → = ， lim n n y a → = . 7．利用极限的四则运算法则求极限： (1) 3 2 3 2 3 2 1 lim n 3 2 n n n → n n + − + − + ； (2) 1 1 ( 2) 3 lim ( 2) 3 n n n n n→ + + − + − + ； (3) 1 1 2 lim 1 1 4 4 n n n → + + + + + + ； (4) lim ( 1 ) n n n n→ + + + . 8．求下列极限： (1) 1 1 1 lim ( ) 1 2 ( 1) n→ n n + + + + ； (2) 2 2 2 1 1 1 lim ( ) ( 1) (2 ) n→ n n n + + + + ； (3) 2 2 2 1 1 1 lim ( ) 1 2 n n n n n → + + + + + + ； (4) 2 1 3 2 1 lim ( ) 2 2 2n n n → − + + + ； (5) 1 lim (1 ) cos 2 n n n → − ；
7)lim(√√2√2…√2) (8)lim【(n+1)2-n”],0<a<1 24 (10)1n几3·5…(2n-1) (12)lim VnInn 9.证明:若{an},{b}中一个是收敛数列,另一个是发散数列,则{an±b}是发 散数列;又问{ah种1/(b,≠0)是否也是发散数列?为什么? 10.设xn=(-1)y,证明{xn}发散 1l.若a1,a2…,an为m个正数,证明 12.设lima=a,证明: 13.利用单调有界原理,证明limx.存在,并求出它 (1)x=√2,x2=√2xn1,n=2,3, 2)x=√c>0,xn=√c+xn1,n=2,3,…; (4)x=1,x=1+ n=1,2, 1+x
(6) lim n→ n − ； (7) lim n n → ( ) ； (8) lim [( 1) ] n n n n n → + − ， 0 1 a ； (9) lim n 2 n → n − ； (10) 1 1 lim 2 n n n → n ( − ) ( ) ； (11) 1 lim n n n → ！ ； (12) lim ln n n n n → . 9．证明：若 an ， bn 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则 a b n n 是发 散数列；又问 a bn n 和 ( 0) n n n a b b 是否也是发散数列？为什么？ 10．设 ( 1)n n = − x ，证明 xn 发散. 11．若 1 2 , , , m a a a 为 m 个正数，证明： 1 2 1 2 lim max( , , , ) n n n n m m n a a a a a a → + + + = . 12．设 lim n n a a → = ，证明： (1) [ ] lim n n n a a → n = ； (2) 若 0, 0 n a a ，则 lim 1 n n n a → = . 13．利用单调有界原理，证明 lim n n x → 存在，并求出它： (1) 1 2 1 2 , 2 , 2, n x x x n − = = = ； (2) 1 1 , , 2, n n x c x c x n − = = + = ； (3) n n c x n = （c > 0） ！ ； (4) 1 0 1 , 1 , 1, 1 n n n x x x n x − − = = + = + . 14．若 1 1 = = x a y b a b , 0 ( ) , 1 1 , , 2 n n n n n n x y x x y y + + + = =
证明: lim x=lmy 明:若a>0,且lim=1>1,lima=0 16.设iman=a,证明: a:(又问,它的逆命题成立否?) n (2)若an>0,则 lim /a, a2…an=a 17.应用上题的结果证明下列各题: 1(a>0 (3)lim√n=1 lin (6)若mnh1=a(>0),则mb 18.用定义证明下列数列为无穷大量 (1){n (3){hn} (4) 19.证明:若{x}为无穷大量,{y}为有界变量,则{x±yn}为无穷大量 20.(1)两个无穷大量的和的极限如何?试讨论各种可能性? (2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形 (3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形 21.利用lm1+ ,求下列极限: +1
证明： lim lim n n n n x y → → = . 15．证明：若 0 n a ，且 1 lim 1 n n n a l → a + = ， lim n n a → = . 16．设 lim n n a a → = ，证明： (1) 1 2 lim n n a a a a → n + + + = ；（又问，它的逆命题成立否？） (2) 若 0 n a ，则 1 2 lim n n n a a a a → = . 17．应用上题的结果证明下列各题： (1) 1 1 3 lim n n → n + + + + = ； (2) lim 1 ( 0) n n a a → = ； (3) lim 1 n n n → = ； (4) 1 lim 0 n n n → = ！ ； (5) 1 lim n n n n → + + + + = ； (6) 若 1 lim ( ) n n n n b a b b + → = ，则 lim n n n b a → = . 18．用定义证明下列数列为无穷大量： (1) n ； (2) n！ ； (3) ln n ； (4) 1 1 3 n + + + + . 19．证明：若 xn 为无穷大量， yn 为有界变量，则 x y n n 为无穷大量. 20．(1) 两个无穷大量的和的极限如何？试讨论各种可能性？ (2)讨论无穷大量和无穷小量的和、差、商的极限的情形； (3)讨论无穷大量和无穷小量的乘积可能发生的各种情形. 21．利用 1 lim 1 n n e → n + = ，求下列极限： (1) 1 lim 1 n n→ n − ； (2) 1 lim 1 1 n n→ n + + ；
)=(2 §3函数的极限 1.用极限定义证明下列极限: (x-2)(x-1) (5)lim√x2+5=3 x(x-1)1 (7)1m=-6= (8)m~1 2.用极限的四则运算法则求下列极限: (1)lim x→02x2-x-1 (2) lim x2-1 x+12x2-x-1 (n,m为正整数
(3) 1 lim 1 2 n n→ n + ； (4) 2 1 lim 1 n n→ n + . §3 函数的极限 1．用极限定义证明下列极限： (1) 2 1 3 1 lim x 9 2 x →− x − = − ； (2) 2 3 3 1 lim x 9 6 x → x − = − ； (3) 1 1 lim 2 1 x x x → − = − ； (4) 1 ( 2)( 1) lim 0 x 3 x x → x − − = − ； (5) 2 2 lim 5 3 x x → + = ； (6) 2 1 ( 1) 1 lim x 1 2 x x → x − = − ； (7) 2 3 lim x 9 x → x = − ； (8) 1 lim 1 x 2 x → x − = + ； (9) 2 lim x 1 x x → x + = + ； (10) 2 2 5 lim 1 x 1 x → x − = − . 2．用极限的四则运算法则求下列极限： (1) 2 2 0 1 lim x 2 1 x → x x − − − ； (2) 2 2 1 1 lim x 2 1 x → x x − − − ； (3) 3 2 3 0 ( 1) (1 3 ) lim x 2 x x → x x − + − + ； (4) 2 1 lim x x x x → − ； (5) 3 1 2 lim x 3 x → x + − − ； (6) 2 2 3 5 6 lim x x x → x x − + − + ； (7) 1 1 lim 1 n m x x → x − − （ n m, 为正整数）；