第十章数项级数 §1级数问题的提出 1.证明:若微分方程xy"+y+xy=0有多项式解 y=a0+a1x+a2x+……+anx, 则必有a1=0(i=1,2,…,n) 2.试确定系数a,a1…an,…使∑ax"满足勒让德方程 (1-x2)y"-2xy+l(+1)y=0 §2数项级数的收敛性及其基本性质 1.求下列级数的和: 1 (5n-4)(5n+1) (5)>r" nx, IrK l; r "cosnx IrkI 2.讨论下列级数的敛散性:
第十章 数项级数 §1 级数问题的提出 1.证明：若微分方程 xy y xy " ' 0 + + = 有多项式解 2 0 1 2 , n n y a a x a x a x = + + + + 则必有 0 i a i n = ( = ) 2．试确定系数 0 1 , , , , , n a a a 使 0 n n n a x = 满足勒让德方程 2 (1 ) " 2 ' ( 1) 0. − − + + = x y xy l l y §2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： (1) 1 1 ; n (5 4)(5 1) n n = − + (2) 2 1 1 ; n 4 1 n = − (3) 1 1 1 ( 1) ; 2 n n n − − = − (4) 1 2 1 ; 2 n n n = − (5) 1 sin , n n r nx = | | 1; r (6) 1 cos , n n r nx = | | 1. r 2．讨论下列级数的敛散性：
2 (3n-2)(3n+1) n(n+1)(√n+√n+1) 3.证明定理10.2. 4.设级数∑un各项是正的,把级数的项经过组合而得到新级数∑Un,即 其中k=0,k<k<k2<…<k<k<…若∑U收敛,证明原来的级数也收敛 §3正项级数 1.判别下列级数的收敛性 (1)
(1) 1 ; n 2 1 n n = − (2) 1 1 1 ( ); 2 3 n n n = + (3) 1 cos ; n 2 1 n = + (4) 1 1 ; n (3 2)(3 1) n n = − + (5) 1 1 . n n n n n ( 1)( 1) = + + + 3．证明定理 10.2. 4．设级数 1 n n u = 各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数 1 , n n U = 即 1 1 1 2 , n n n U u u u n k k k + + + + = + + + n = 0,1,2, ， 其中 0 0 1 2 1 0, . n n k k k k k k = + 若 1 n n U = 收敛，证明原来的级数也收敛. §3 正项级数 1．判别下列级数的收敛性： (1) 2 1 1 ; n n n = + (2) 2 1 1 1 ; (2 1)2 n n n − = − (3) 1 ; n 2 1 n n n = − − (4) 1 sin ; 2 n n =
m1+a”(a>D (6) n/n n(n+D) (10) lI In n!2 (13) (14) n (15) (x≥0) 33.53.5·73.5·7.9 (17) 1.41.4.71·4·7.10 (19) (n n)
(5) 1 1 1 n n a = + ( 1); a (6) 1 1 ; n n n n = (7) 1 1 ( ) ; 2 1 n n n = + (8) 1 1 ; [ln( 1)]n n n = + (9) 1 2 ( 1) ; 2 n n n = + − (10) 1 2 sin ; 3 n n n = (11) 1 ; ! n n n n = (12) 1 ln ; 2 n n n n = (13) 1 !2 ; n n n n n = (14) 1 !3 ; n n n n n = (15) 2 1 ; 1 ( ) n n n n n = + (16) 2 1 (1 )(1 ) (1 ) n n n x x x x = + + + ( 0); x (17) 3 3 5 3 5 7 3 5 7 9 ; 1 1 4 1 4 7 1 4 7 10 + + + + (18) ln 1 1 ; n n n = (19) ln 1 1 ; (ln ) n n n =
n=1 (21) (23) 2.利用泰勒公式估算无穷小量的阶,从而判别下列级数的收敛性 (1)∑e-(1+-)]P (2)>InPcos (3)∑(√+1-√yh2 1+a一 +n+ 3.已知两正项级数∑un和∑发散,问∑max(un,),∑min(unvn)两级数的 收敛性如何? 4.若正项级数∑an收敛,an1≤an(n=12.…),求证 lim na=0 an=一),n≠k2,k=1,2, k=1,2 求证:(1)∑an收敛 (2) lim na≠0 6.讨论下列级数的收敛性
(20) ln 1 1 ; 2 n n = (21) ln 1 1 ; 3 n n = (22) 1 1 ; 3 n n = (23) 1 . 3 n n n = 2．利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性： (1) 1 1 [ (1 ) ] ; n p n e n = − + (2) 3 ln cos ; p n n = (3) 1 1 ( 1 ) ln ; 1 p n n n n n = − + − + (4) 4 2 1 ( ). n n a n n b = + − + + 3．已知两正项级数 1 n n u = 和 1 n n v = 发散，问 1 max( , ) n n n u v = ， 1 min( , ) n n n u v = 两级数的 收敛性如何？ 4．若正项级数 1 n n a = 收敛， n n 1 a a + ( 1, 2, ) n = ，求证 lim 0 n n na → = . 5．设 2 2 2 2 1 , , 1,2, , 1 , 1,2, , n k a n k k n a k k = = = = 求证:(1) 1 n n a = 收敛; (2) lim 0. n n na → 6．讨论下列级数的收敛性:
(1) n=2 n(Inn)p 5 n- Inn. InIn n n(In n)to In n =2 n(Inn)(InIn n) 7.利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性 ()∑2n=)y(p是实数 (2)ya(a+1)…(a+n-1)1 (a>0,B>0) 8.设an>0且im=1,求证im,=1反之是否成立? 9.利用级数收敛的必要条件证明 (1)im n→(n 2n) (2) lim =0(a>1) 10.设an≥0,且数列{nan}有界,证明级数∑an2收敛 11.设正项级数∑an收敛,证明∑aam也收敛 12.设lman=l,求证 (1)当l>1时, 收敛 (2)当/<1时,∑。发散 问l=1时会有什么结论?
(1) 2 1 ; (ln ) p n n n = (2) 2 1 ; n n n n ln ln ln = (3) 1 2 1 n n n n (ln ) ln ln + = ( 0); (4) 2 1 . (ln ) (ln ln ) p q n n n n = 7．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性: (1) 1 (2 1)!! [ ] (2 )!! p n n n = − ( ); p是实数 (2) 1 ( 1) ( 1) 1 n ! n n n = + + − ( 0, 0). 8．设 0, n a 且 1 lim n n n a l a + → = ,求证 lim n n n a l → = .反之是否成立? 9．利用级数收敛的必要条件证明: (1) 2 lim 0; ( !) n n n → n = (2) ! (2 )! lim 0 n n n → a = ( 1). a 10．设 0 n a ,且数列 { }n na 有界,证明级数 2 1 n n a = 收敛. 11．设正项级数 1 n n a = 收敛,证明 1 1 n n n a a + = 也收敛. 12．设 lim n n a l → = ,求证: (1) 当 l 1 时, 1 1 n a n n + = 收敛; (2) 当 l 1 时, 1 1 n a n n = 发散. 问 l =1 时会有什么结论?