第一章实数集与函数 习题 §1实数 、设a为有理数,x为无理数。证明 (1)a+x是无理数;(2)当a≠0时,ax是无理数 2、试在数轴上表示出下列不等式的解: (1)x(x2-1)>0:(2)|x-11(x-3|:(3)√x-1-√2x-1≥√3x-2。 3、设a、b∈R。证明:若对任何正数E有a-b<E,则a=b 4、设x≠0,证明|x+-|≥2,并说明其中等号何时成立 5、证明:对任何x∈R有(1)|x-1|+|x-2≥1:(2)|x-1+|x-2|+|x-3|≥2 6、设a、b、c∈R+(R+表示全体正实数的集合)。证明 ≤ 你能说明此不等式的几何意义吗? 7、设x>0,b>0,a≠b。证明+x介于1与2之间 8、设p为正整数。证明:若p不是完全平方数,则√P是无理数。 9、设a、b为给定实数。试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解: (1)|x-a|<|kx-bl:(2)|x-a<x-b;(3)|x2-al|<b。 §2数集、确界原理 、用区间表示下列不等式的解 (1)|1-x|-x≥0:(2)|x+-|≤6: (3)(x-a)(x-b)(x-c)>0(a,b,c为常数,且a<b<c); (4)sinx≥一 2、设S为非空数集。试对下列概念给出定义: (1)S无上界;(2)S无界。 3、试证明由(3)式所确定的数集S有上界而无下界。 4、求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证 (1)S={x|x2<2};(2)S={x|x=n,neN}:(3)S={xlx为(0,1)内的无理数}; (4)S={x|x=1 N 5、设S为非空有下界数集。证明:infs=l∈S分→5=minS 6、设S为非空数集,定义S-={x|-x∈S}。证明:
1 第一章 实数集与函数 习题 §1 实数 1、 设 a 为有理数，x 为无理数。证明： （1）a+ x 是无理数；（2）当 a≠0 时，ax 是无理数。 2、 试在数轴上表示出下列不等式的解： （1）x（ 2 x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3） x −1 - 2x −1 ≥ 3x − 2 。 3、 设 a、b R。证明：若对任何正数 有|a-b|< ，则 a = b。 4、 设 x≠0，证明|x+ x 1 |≥2，并说明其中等号何时成立。 5、 证明：对任何 x R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。 6、 设 a、b、c + R （ + R 表示全体正实数的集合）。证明 | 2 2 a + b - 2 2 a + c |≤|b-c|。 你能说明此不等式的几何意义吗？ 7、 设 x>0，b>0，a≠b。证明 b x a x + + 介于 1 与 b a 之间。 8、 设 p 为正整数。证明：若 p 不是完全平方数，则 p 是无理数。 9、 设 a、b 为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： （1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b；（3）| 2 x -a|<b。 §2 数集、确界原理 1、 用区间表示下列不等式的解： （1）|1-x|-x≥0；（2）| x+ x 1 |≤6； （3）（x-a）（x-b）（x-c）>0（a，b，c 为常数，且 a<b<c）； （4）sinx≥ 2 2 。 2、 设 S 为非空数集。试对下列概念给出定义： （1）S 无上界；（2）S 无界。 3、 试证明由（3）式所确定的数集 S 有上界而无下界。 4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1）S={x| 2 x <2}；（2）S={x|x=n！，n N+ }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}； （4）S={x|x=1- n 2 1 ，n N+ }。 5、 设 S 为非空有下界数集。证明：infS= S =minS。 6、 设 S 为非空数集，定义 − S ={x|-x S}。证明：
(1) inf S =-supS; (2) sup s =-infso 7、设A、B皆为非空有界数集,定义数集A+B={z|z=x+y,x∈A,yeB}。证明: (1)sup(A+B)=supA+supB:(2) inf (A+B)=infAtinfBo 8、设a>0,a≠1,x为有理数。证明 sup{a'|r为有理数,r<x},当a>1, a2=(inf{a’|r为有理数,r<x},当a(1。 §3函数概念 1、试作下列函数的图象: 3xx|>1, (1)y=x2+1:(2)y=(x+12:(3)y=1-(x+1)2:(4)y= =sgn(sinx):(5)y={x,|xk1 3,|x=1 2、试比较函数y=ax与y=1oga2分别当a=2和a=时的图象。 3、根据图1-2写出定义在[0,1]上的分段函数f(x)和f2(x)的解析表达式。 4、确定下列初等函数的存在域: (1) y=sin(sinx):(2) y=lg (lgx):(3)y=arcsin(1g x):(4) y=lg (arcsin 5、设函数f(x) 2+x,x≤0, 2xx>0 求:(1)f(-3),f(0),f(1);(2)f(Δx)-f(0),f(-△x)-f(0)(△x>0)。 6、设函数f(x) ,求f(2+x),f(2x),f(x2),f(f(x),f( 1+x 7、试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成 (1)y=(1+x);(2)y=( arcsin x2)2:(3)y=lg(1+Ⅵ1+x2);(4)y=2mx。 8、在什么条件下,函数ysax+b 的反函数就是它本身? 9、试作函数y= arcsin(sinx)的图象。 10、试问下列等式是否成立: (tan (arctan)=, xER: (2) arctan(tanx)=x,x≠kπ+-,k=0,±1,±2, 11、试问y=|x|是初等函数吗? 12、证明关于函数y=[x]的如下不等式: (1)当x>0时,1-xx[]≤1:(2)当x<0时,1≤x[-]<1-x。 §4具有某些特性的函数 2
2 （1）inf − S =-supS；（2）sup − S =-infS。 7、 设 A、B 皆为非空有界数集，定义数集 A+B={z|z=x+y，x A，y B}。证明： （1）sup（A+B）=supA+supB；（2）inf（A+B）=infA+infB。 8、 设 a>0，a≠1，x 为有理数。证明 sup{ r a |r 为有理数，r<x}，当 a>1， x a = inf{ r a |r 为有理数，r<x}，当 a<1。 §3 函数概念 1、 试作下列函数的图象： （1）y= 2 x +1；（2）y= 2 (x +1) ；（3）y=1- 2 (x +1) ；（4）y=sgn（sinx）；（5）y= = 3,| | 1. ,| | 1, 3 ,| | 1, 3 x x x x x 2、 试比较函数 y= x a 与 y=log x a 分别当 a=2 和 a= 2 1 时的图象。 3、 根据图 1-2 写出定义在[0，1]上的分段函数 1 f （x）和 2 f （x）的解析表达式。 4、 确定下列初等函数的存在域： （1）y=sin（sinx）；（2）y=lg（lgx）；（3）y=arcsin（lg 10 x ）；（4）y=lg（arcsin 10 x ）。 5、 设函数 f（x）= + 2 , 0. 2 , 0, x x x x 求：（1）f（-3），f（0），f（1）；（2）f（Δx）-f（0），f（-Δx）-f（0）（Δx>0）。 6、 设函数 f（x）= 1+ x 1 ，求 f（2+x），f（2x），f（ 2 x ），f（f（x）），f（ ( ) 1 f x ）。 7、 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成： （1）y= 20 (1+ x) ；（2）y= 2 2 (arcsin x ) ；（3）y=lg（1+ 2 1+ x ）；（4）y= x 2 sin 2 。 8、 在什么条件下，函数 y= cx d ax b + + 的反函数就是它本身？ 9、 试作函数 y=arcsin（sinx）的图象。 10、试问下列等式是否成立： (1)tan（arctanx）=x，x R； (2)arctan（tanx）=x，x≠kπ+ 2 ，k=0，±1，±2，… 11、试问 y=|x|是初等函数吗？ 12、证明关于函数 y=[x]的如下不等式： （1）当 x>0 时，1-x<x[ x 1 ]≤1；（2）当 x<0 时，1≤x[ x 1 ]<1-x。 §4 具有某些特性的函数
、证明f(x)=-x是R上的有界函数 x2+1 2、(1)叙述无界函数的定义 (2)证明f(x)=-为(0,1)上的无界函数 (3)举出函数f的例子,使f为闭区间[0,1]上的无界函数。 3、证明下列函数在指定区间上的单调性 (1)y=3x-1在(-∞,+∞)上严格递增 (2)y=sinx在[z,z]上严格递增 (3)y=cosx在[0,π]上严格递减 4、判别下列函数的奇偶性 (1)f(x)=x4+x2-1;(2)f(x)=x+sinx (3)f(x) (4)f(x)=g(x+√1+x2) 5、求下列函数的周期: (1) cosx:(2) tan3x: (3) Cos-+2s 6、设函数f定义在[a,a]上,证明: (1)F(x)=f(x)+f(-x),x∈[-a,a]为偶函数 (2)G(x)=f(x)-f(-x),x∈[-a,a]为奇函数 (3)f可表示为某个奇函数与某个偶函数之和。 7、设f、g为定义在D上的有界函数,满足 f(x)≤g(x),x∈D。 证明:(1)supf(x)≤supg(x);(2)nff(x)≤nfg(x) x∈D 8、设f为定义在D上的有界函数,证明: (1)sup f-f(x))=-inf f(x);(2) inf f(x)=-sup f(x)o 9、证明:tanx在(--,-)上无界,而在( )内任一闭区间[a,b]上有 10、讨论狄利克雷函数 1,当x为有理数 0,当x为无理数 的有界性、单调性与周期性 11、证明:f(x)=x+sinx在R上严格增。 12、设定义在[a,+∞)上的函数f在任何闭区间[a,b]上有界。定义[a,+∞)上的 函数:m(x)=ntff(y),M(x)=Supf(y) 试讨论m(x)与M(x)的图象,其中 (1)f(x)=cosx,x∈[0,+∞);(2)f(x)=x2,x∈[-1,+∞)
3 1、 证明 f（x）= 1 2 x + x 是 R 上的有界函数。 2、 （1）叙述无界函数的定义； （2）证明 f（x）= 2 1 x 为（0，1）上的无界函数； （3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间[0，1]上的无界函数。 3、 证明下列函数在指定区间上的单调性： （1）y=3x-1 在（-∞，+∞）上严格递增； （2）y=sinx 在[- 2 ， 2 ]上严格递增； （3）y=cosx 在[0，π]上严格递减。 4、 判别下列函数的奇偶性： （1）f（x）= 2 1 4 x + 2 x -1；（2）f（x）=x+sinx； （3）f（x）= 2 x 2 x e − ；（4）f（x）=lg（x+ 2 1+ x ）。 5、求下列函数的周期： （1） x 2 cos ；（2）tan3x；（3）cos 2 x +2sin 3 x 。 6、设函数 f 定义在[-a，a]上，证明： （1）F（x）=f（x）+f（-x），x [-a，a]为偶函数； （2）G（x）=f（x）-f（-x），x [-a，a]为奇函数； （3）f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和。 7、设 f、g 为定义在 D 上的有界函数，满足 f（x）≤g（x），x D。 证明：（1） xD sup f（x）≤ xD sup g（x）；（2） xD inf f（x）≤ xD inf g（x）。 8、设 f 为定义在 D 上的有界函数，证明： （1） xD sup {-f（x）}=- xD inf f（x）；（2） xD inf f（x）=- xD sup f（x）。 9、证明：tanx 在（- 2 ， 2 ）上无界，而在（- 2 ， 2 ）内任一闭区间[a，b]上有 界。 10、讨论狄利克雷函数 1，当 x 为有理数， D（x）= 0，当 x 为无理数 的有界性、单调性与周期性。 11、证明：f（x）=x+sinx 在 R 上严格增。 12、设定义在[a，+∞）上的函数 f 在任何闭区间[a，b]上有界。定义[a，+∞）上的 函数：m（x）= ayx inf f（y），M（x）= ayx sup f（y）。 试讨论 m（x）与 M（x）的图象，其中 （1）f（x）=cosx，x [0，+∞）；（2）f（x）= 2 x ，x [-1，+∞）
总练习题 1、设a、b∈R,证明 (1)max{a,b}=(a+b+a-b):(2)min{a,b}=(a+b-|a-b|)。 2、设f和g都是D上的初等函数。定义 M(x)=maxIf (x),g(x)I, m(x)=minif (x),g(x)), XED 试问M(x)和m(x)是否为初等函数? 3、设函数f(x)= 1+x f(-x),f(x+1),f(x)+1,f(-) ,f(x2),f(f(x))。 f(x) 4、已知f(-)=x+√1+x2,求f(x) 5、利用函数y=[x]求解: (1)某系各班级推荐学生代表,每5人推荐1名代表,余额满3人可增选1名。写 出可推选代表数y与班级学生数x之间的函数关系(假设每班学生数为30-50人) (2)正数x经四舍五入后得整数y,写出y与x之间的函数关系。 6、已知函数y=f(x)的图象,试作下列各函数的图象 (1)y=f(x);(2)y=f(-x);(3)y=-f(-x):(4)y=|f(x)|: (5)y=sgnf(x):(6)y=[lf(x)|+f(x)]:(7)y=-[|f(x)|-f(x)]。 7、已知函数f和g的图象,试作下列各函数的图象: (1)(x)=maxIf (x), g(x)):(2)y(x)=minff(x),g(x))o 8、设f、g和h为增函数,满足f(x)≤g(x)≤h(x),x∈R。 证明:f(f(x))≤g(g(x))≤h(h(x)。 9、设f和g为区间(a,b)上的增函数,证明第7题中定义的函数p(x)和v(x) 也都是(a,b)上的增函数。 10、设f为[-a,a]上的奇(偶)函数。证明:若f在[0,a]上增,则f在[-a,0]上 增(减)。 11、证明: (1)两个奇函数之和为奇函数,其积为偶函数; (2)两个偶函数之和与积都为偶函数 (3)奇函数与偶函数之积为奇函数 12、设f,g为D上的有界函数。证明: (1) inf If (x)+g(x))sinf f(x)+sup g(x) (2)supf(x)+ntfg(x)≤supf(x)+g(x)}。 13、设f,g为D上的非负有界函数。证明 (1)inff(x)·infg(x)≤nff(x)g(x)} (2)supf(x)g(x)}≤supf(x)·Supg(x) x∈D
4 总练习题 1、 设 a、b R，证明： （1）max{a，b}= 2 1 （a+b+|a-b|）；（2）min{a，b}= 2 1 （a+b-|a-b|）。 2、设 f 和 g 都是 D 上的初等函数。定义 M（x）=max{f（x），g（x）}，m（x）=min{f（x），g（x）}，x D 试问 M（x）和 m（x）是否为初等函数？ 3、设函数 f（x）= x x + − 1 1 ，求： f（-x），f（x+1），f（x）+1，f（ x 1 ）， ( ) 1 f x ，f（ 2 x ），f（f（x））。 4、已知 f（ x 1 ）=x+ 2 1+ x ，求 f（x）。 5、利用函数 y=[x]求解： （1）某系各班级推荐学生代表，每 5 人推荐 1 名代表，余额满 3 人可增选 1 名。写 出可推选代表数 y 与班级学生数 x 之间的函数关系（假设每班学生数为 30—50 人）； （2）正数 x 经四舍五入后得整数 y，写出 y 与 x 之间的函数关系。 6、已知函数 y=f（x）的图象，试作下列各函数的图象： （1）y==-f（x）；（2）y=f（-x）；（3）y=-f（-x）；（4）y=|f（x）|； （5）y=sgnf（x）；（6）y= 2 1 [|f（x）|+f（x）]；（7）y= 2 1 [|f（x）|-f（x）]。 7、已知函数 f 和 g 的图象，试作下列各函数的图象： （1） （x）=max{f（x），g（x）}；（2） （x）= min{f（x），g（x）}。 8、设 f、g 和 h 为增函数，满足 f（x）≤g（x）≤h（x），x R。 证明：f（f（x））≤g（g（x））≤h（h（x））。 9、设 f 和 g 为区间（a，b）上的增函数，证明第 7 题中定义的函数 （x）和 （x） 也都是（a，b）上的增函数。 10、设 f 为[-a，a]上的奇（偶）函数。证明：若 f 在[0，a]上增，则 f 在[-a，0]上 增（减）。 11、证明： （1）两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数； （2）两个偶函数之和与积都为偶函数； （3）奇函数与偶函数之积为奇函数。 12、设 f，g 为 D 上的有界函数。证明： （1） xD inf {f（x）+g（x）}≤ xD inf f（x）+ xD sup g（x）； （2） xD sup f（x）+ xD inf g（x）≤ xD sup {f（x）+g（x）}。 13、设 f，g 为 D 上的非负有界函数。证明： （1） xD inf f（x）· xD inf g（x）≤ xD inf {f（x）g（x）}； （2） xD sup {f（x）g（x）}≤ xD sup f（x）· xD sup g（x）
14、将定义在[0,+∞)上的函数f延拓到R上,使延拓后的函数为(i)奇函数;(i) 偶函数。设 (1)f(x)=sinx+1:(2)f(x)s1-√1-x2,0≤x≤1 15、设f为定义在R上以h为周期的函数,a为实数。证明:若f在[a,a+h]上有界 则f在R上有界。 16、设f在区间I上有界。记 M=sup f(x),m=nff(x)。 证明 sup f(x)-f(x")|=M-m 习题答案 §1实数 4、当x=±1时等号成立。 9、(1)当a④时,xb a+ 当a>b时 2 (2)当a为b时,xa+b (3)当a≥b>0时,√a-b<x<√a+b:当a<b时,|x|<√a+b。 2数集、确界原理 ) (2)x∈[-3 (3)x∈(a,b)U(c,+∞); (4)x∈[x+2kx,2丌+2kπ],k=0,±1,±2,… 4、(1)sus=√2,infs=√2:(2)sups=∞,infs=1 (3)supS=1, infs=0; (4) supS=1, infs= §3函数概念 16x,0≤ 4x.0≤x≤ 3、f1(x) f(x)=18-16x<x≤, 4-4x,-<x≤1 0.-<x≤1 、(1)(-∞,+∞);(2)(1,+∞);(3)[1,100]:(4)(0,10) (1)-1,2,2:(2)2-2,-△x
5 14、将定义在[0，+∞）上的函数 f 延拓到 R 上，使延拓后的函数为（ⅰ）奇函数；（ⅱ） 偶函数。设 （1）f（x）=sinx+1；（2）f（x）= − − , 1. 1 1 ,0 1, 3 2 x x x x 15、设 f 为定义在 R 上以 h 为周期的函数，a 为实数。证明：若 f 在[a，a+h]上有界， 则 f 在 R 上有界。 16、设 f 在区间 I 上有界。记 M= xI sup f（x），m= xI inf f（x）。 证明 sup | ( ) ( ) | , f x f x x x I − =M-m。 习题答案 §1 实数 4、当 x=±1 时等号成立。 9、（1）当 a<b 时，x< 2 a + b ；当 a>b 时，x> 2 a + b ； （2）当 a>b 时，x> 2 a + b ； （3）当 a≥b>0 时， a − b <|x|< a + b ；当|a|<b 时，|x|< a + b 。 §2 数集、确界原理 1、（1）x （-∞， 2 1 ）； （2）x [-3- 8 ，-3+ 8 ]∪[3- 8 ，3+ 8 ]； （3）x （a，b）∪（c，+∞）； （4）x [ 4 +2kπ， 4 3 +2kπ]，k=0，±1，±2，…。 4、（1）supS= 2 ，infS=- 2 ；（2）supS=+∞，infS=1； （3）supS=1，infS=0；（4）supS=1，infS= 2 1 §3 函数概念 3、 ( ) 1 f x = − 1; 2 1 4 4 , , 2 1 4 ,0 x x x x ( ) 2 f x = − 1. 2 1 0, , 2 1 4 1 8 16 , , 4 1 16 ,0 x x x x x 4、（1）（-∞，+∞）；（2）（1，+∞）；（3）[1，100]；（4）（0，10）。 5、（1）-1，2，2；（2） x 2 -2，-Δx