第五章导数和微分 习题 §5.1导数的概念 1、已知直线运动方程为s=10+5t2,分别令△t=10.1,0.01,求从t=4至t=4+Mt 这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。 2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比,试由此给出变速旋转的角速度的 定义。 3、设f(x)=0,f(x)=4,试求极限 lim /(Ax+ Xo) x2,x≥3, 4、设f(x)= 试确定的ab值,使f在x=3处可导 atb.x< 5、试确定曲线y=hx上哪些点的切线平行于下列直线 (1)y=x-1,(2)y=2x-3 6、求下列曲线在指定点P的切线方程与法线方程: (1)y=,pP(2,):(2)y=cosx,P(0,1) 7、求下列函数的导函数: ()(x)=对:(2)f(x) x+1,x≥0, l,x<0 8、设函数 f(x) xSm-X≠ (m为正整数) 0,x=0, 试问:(1)m等于何值时,f在x=0连续; (2)m等于何值时,f在x=0可导 (3)m等于何值时,∫在x=0连续。 求下列函数的稳定点: (1)f(x)=sinx-cosx(2)f(x)=x-hn x 10、设函数f在点x存在左右导数,试证明f在点x连续
1 第五章 导数和微分 习题 §5.1 导数的概念 1、已知直线运动方程为 2 s = 10t + 5t ，分别令 t = 1,0.1,0.01 ，求从 t=4 至 t = 4 + t 这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。 2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的 定义。 3、设 f (x0 ) = 0, f (x0 ) = 4 ，试求极限 x f x x x + → ( ) lim 0 0 。 4、设 + = , 3, , 3, ( ) 2 ax b x x x f x 试确定的 a,b 值，使 f 在 x=3 处可导。 5、试确定曲线 y = ln x 上哪些点的切线平行于下列直线： （1） y = x −1; （2） y = 2x − 3 6、求下列曲线在指定点 P 的切线方程与法线方程： （1） , (2,1);(2) cos , (0,1). 4 2 p y x p x y = = 7、求下列函数的导函数： + = = 1, 0, 1, 0, (1) ( ) ;(2) ( ) 3 x x x f x x f x 8、设函数 = = 0, 0, , 0, 1 sin ( ) x x x x f x m （m 为正整数）， 试问：（1）m 等于何值时,f 在 x=0 连续； （2）m 等于何值时,f 在 x=0 可导； （3）m 等于何值时, f 在 x=0 连续。 9、求下列函数的稳定点： (1)f(x)=sinx-cosx；(2) f (x) = x − ln x。 10、设函数 f 在点 0 x 存在左右导数，试证明 f 在点 0 x 连续
11、设g(0)=g'(0)=0,f(x) 0, 0,x=0, 求f(0) 12、设f是定义在R上的函数,而且对任何x,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2) 若∫(0)=1,证明对任何x∈R,都有f(x)=f(x) 13、证明:若f(x)存在,则 lim /(o+ Ax)-/(xo-Ax) 2f(x0) 14、证明:若函数f在[a,b]上连续,而且f(a)=f(b)=K,f(a)厂"(b)>0,则在(a,b) 内至少有一点5,使∫(5)=K。 15、设有一吊桥,其铁链成抛物线型,而且端系于相距100米高度相同的支柱上,铁 链之最低在悬点下10米处,求铁链与支柱所成的角 16、在曲线y=x3上取一点P,过点P的切线与该曲线交于Q,证明:曲线在Q处的 切线斜率正好是在P处切线斜率的四倍。 §5.2求导法则 1、求下列函数在指定点的导数: (1)设f(x)=3x+2x3+5,求f(O),f( (2)设f(x) 求f(0),f(x) CoSx (3)设∫(x)=√1+√x,求f(0),f()f(4) 2、求下列函数的导数 (1)=3X2+2(2)y I+x+ +nx;(4)y +m+2x+ (5)y=x logs x:(6)y=e cosx tanx (7y=(x2+1)(3x-1)(1-x)(8)y (9)y=,;(1O)y= 1+In x CoS x I+x (1 D)y=(Vx+1)arctan x,(12)y sin x+ cos x
2 11、设 g(0) = g (0) = 0 ， = = 0, 0, , 0, 1 ( )sin ( ) x x x g x f x 求 f (0) 。 12、设 f 是定义在 R 上的函数，而且对任何 x1 , x2 R ，都有 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x + x = f x f x 。 若 f (0) = 1 ，证明对任何 x R ，都有 f (x) = f (x) 。 13、证明：若 ( ) 0 f x 存在，则 2 ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x x f x x f x x x = + − − → 14、证明：若函数 f 在[a,b]上连续，而且 f(a)=f(b)=K，f + (a) f − (b) 0，则在(a,b) 内至少有一点 ，使 f ( ) = K 。 15、设有一吊桥，其铁链成抛物线型，而且端系于相距 100 米高度相同的支柱上，铁 链之最低在悬点下 10 米处，求铁链与支柱所成的角。 16、在曲线 3 y = x 上取一点 P，过点 P 的切线与该曲线交于 Q，证明：曲线在 Q 处的 切线斜率正好是在 P 处切线斜率的四倍。 §5.2 求导法则 1、求下列函数在指定点的导数： （1）设 ( ) 3 2 5 4 3 f x = x + x + ，求 f (0), f (1), （2）设 x x f x cos ( ) = ，求 f (0), f ( ), （3）设 f (x) = 1+ x ，求 f (0), f (1), f (4), 2、求下列函数的导数： x x x y x x y x x y x x y x x y x x x y y x x y e x x x x m m x y x nx y x x x y x y x n sin cos 1 (11) ( 1)arctan ;(12) ; 1 ln 1 ln ;(10) 1 cos (9) ; tan (7) ( 1)(3 1)(1 );(8) (5) log ;(6) cos ; ; 2 (3) ;(4) 2 1 ; 1 (1) 3 2;(2) 2 2 3 3 3 2 2 2 + + = + = − + = − = = + − − = = = = + = + + + + + − = + =
3、求下列函数的导函数 (1 (2)y=(x2-1)3; (4)y=IndIn x) (5)y=In(sin x);(6)y=lg(x+x+1); 1+x (7)y=lx+√1+x2);(8) 1+ 4 (9)y=(sin x+cos x);(IO)y=cOs4x: (11)y=sin√1+x2;(12)y=(sinx2)3; (13)y= arcsin -:(14) (arctan xx 1+x (15)y arc cot 1:(16)y arcsin(sin (19)y=x=1x;(20)y=xx (21)y=e-sin2x(22)y= 十√x (23)y= sin( sin(si n x));(24)y= sin s sn x (25)y=(X-41)“(X-a2) (an) asin xb (2)y=√ab arcsIn a+bsin x 4、对下列各函数计算f(x),f(1+x),f(x-1) (1)f(x)=x3;(2)f(1+x)=x3 (3)f(入 5、已知g为可导函数,a为实数,试求下列函数f的导数: (1)f(x)=g(x+8(4))(2)f(x)=g(X+g(a)) (3)f(x)=g(xg(4))(4f(x)=g(xg(x)) 6、设f为可导函数,证明:若x=1时有
3 3、求下列函数的导函数： ; sin sin arcsin 1 (26) (25) ( ) ( ) ( ) ; ; ) sin sin( (23) sin(sin(si n ));(24) sin (21) sin 2 ;(22) ; (19) ;(20) ; (17) ;(18) 2 ; ;(16) arcsin(sin ); 1 1 (15) cot ;(14) (arctan ) ; 1 (13) arcsin (11) sin 1 ;(12) (sin ) ; (9) (sin cos ) ;(10) cos 4 ; ; 1 1 1 1 (7) ln( 1 );(8) ln (5) ln(sin );(6) lg( 1); ) ;(4) ln(ln ); 1 1 (3) ( (1) 1 ;(2) ( 1) ; 2 2 1 2 sin 1 sin 2 3 2 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 2 3 1 2 a b x a x b a b y y x a x a x a x x x y x y y e x y x x x y x y x y e y y x x x y arc y x x y y x y x y x x y x x x x x y x x y y x y x x y x x x y y x x y x n x a n a a x x x x x + + − = = − − − = = = = + + = = = = = − + = = = = + = = + = + + − + − − = + + = = = + + = − + = = − = − − + 4、对下列各函数计算 f (x), f (1+ x), f (x −1), 3 3 3; (3) ( 1) (1) ( ) ;(2) (1 ) ; f x x f x x f x x − = = + = 5、已知 g 为可导函数，a 为实数，试求下列函数 f 的导数： (3) ( ) ( ( ));(4) ( ) ( ( )) (1) ( ) ( ( ));(2) ( ) ( ( )); f x g x g a f x g x g x f x g x g a f x g x g a = = = + = + 6、设 f 为可导函数，证明：若 x=1 时有
d f(x 则必有∫()=0或f(1)=1 7、定义双曲函数如下 双曲正弦函数shx= 2:双曲余弦函数che2+e 双曲正切函数tx=shx:双曲余切函数c chx cothx= 证明 (1)(shx)’=chx (2)(chx)=shx; (3)(thx)'= chx (4)( coth x)'=- 8、求下列函数的导数 (1) y=shx: (2) y=ch(shx) (3) y=ln (chx) (4)y= arctan(thx)。 9、以sh-x,ch-x,h-x,coth-x分别表示各双曲函数的反函数。试求下列函 数的导数: (1)y=sh x: (3)y=th x (4)y=coth-x (5)y=th x-coth" x: (6) y=sh(tan x) §5.3参变量函数的导数 1、求下列由参变量方程所确定的导数: x=cost (1) y=sin t (2) 1+1在t>0处 2、设 x=a(t-sin t), dy y=a(l-cost).dxT 3、设双曲方程x=1-12,y=t-t2,求它在下列点处的切线方程与法线方程
4 ( ) ( ) 2 2 f x dx d f x dx d = 。 则必有 f (1) = 0 或 f（1）=1。 7、定义双曲函数如下： 双曲正弦函数 shx= 2 x x e e − − ；双曲余弦函数 chx= 2 x x e e − + ； 双曲正切函数 thx= chx shx ；双曲余切函数 cothx= shx chx 。 证明： （1） (shx) =chx； （2） (chx) = shx ； （3） ch x thx 2 1 ( ) = ； （4） sh x x 2 1 (coth ) = − 。 8、求下列函数的导数： （1）y= sh x 3 ； （2）y=ch（shx）； （3）y=ln（chx）； （4）y=arctan（thx）。 9、以 sh x −1 ， ch x −1 ，th x −1 ， x 1 coth − 分别表示各双曲函数的反函数。试求下列函 数的导数： （1）y= sh x −1 ； （2）y= ch x −1 ； （3）y= th x −1 ； （4）y= x 1 coth − ； （5）y= th x −1 - x 1 coth − ； （6）y= (tan ) 1 sh x − 。 §5.3 参变量函数的导数 1、求下列由参变量方程所确定的导数 dx dy ： （1） = = y t x t 4 4 sin cos , 在 t=0， 2 处； （2） + − = + = t t y t t x 1 1 , 1 在 t>0 处。 2、设 = − = − (1 cos ). ( sin ), y a t x a t t 求 2 | dx t= dy ， t= dx dy | 。 3、设双曲方程 x = 1 - 2 t ，y = t - 2 t ，求它在下列点处的切线方程与法线方程：
(1)t=1 (2)t 4、证明曲线 x=a(cost+tsin t) 上任一点的法线到原点距离等于a 5、证明:圆r=2asin(a>0)上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角。 6、求心形线r=a(1+cosO)的切线与切点向径之间的夹角。 §5.4高阶导数 1、求下列函数在指定点的高阶导数 (1)f(x)=3x3+4x2-5x-9,求∫"(1),f"(1),f((1) (2)f(x)= 求∫"(0)f"(1)f"(-1) 2、设函数f在点x=1处二阶可导,证明:若f(1)=0,f"(1)=0,则在x=1处有 d f(x2)=2f2(x) 3、求下列函数的高阶导数: (1)f(x)=xlnx,求f"(x) (2)f(x)=e,求f"(x) (3)f(x)=ln(1+x),求f5(x);(4)f(x)=x3e2,求f0(x)。 4、设f为二阶可导函数,求下列各函数的二阶导数 (1) y=f (lnx ) (2)y=f(x)n∈N;(3)y=f(f(x))。 5、求下列函数的n阶导数 y-inx: (2)y=a2(a>0,a≠1) (3) (4)y (5)f(x) (6)y=e" sin bx(a,b均为实数) 6、求由下列参量方程所确定的函数的二阶导数
5 （1）t=1； （2）t= 2 2 。 4、证明曲线 = − = + (sin cos ) (cos sin ), y a t t t x a t t t 上任一点的法线到原点距离等于 a。 5、证明：圆 r= 2a sin (a 0) 上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角。 6、求心形线 r= a(1+ cos) 的切线与切点向径之间的夹角。 §5.4 高阶导数 1、求下列函数在指定点的高阶导数： （1）f（x）= 3 4 5 9 3 2 x + x − x − ，求 (1), (1), (1) (4) f f f ； （2）f（x）= 2 1 x x + ，求 f (0), f (1), f (−1). 。 2、设函数 f 在点 x=1 处二阶可导，证明：若 f (1) = 0, f (1) = 0 ，则在 x=1 处有 ( ) ( ) 2 2 2 2 f x dx d f x dx d = 。 3、求下列函数的高阶导数： （1）f（x）=xlnx，求 f (x) ； （2）f（x）= 2 x e − ，求 f (x) ； （3）f（x）=ln（1+x），求 ( ) (5) f x ； （4）f（x）= x x e 3 ，求 ( ) (10) f x 。 4、设 f 为二阶可导函数，求下列各函数的二阶导数； （1）y=f（lnx）； （2）y= n N+ f x n ( ), ； （3）y=f（f（x））。 5、求下列函数的 n 阶导数： （1）y=lnx； （2）y= a (a 0,a 1) x ； （3）y= (1 ) 1 x − x ； （4）y= x ln x ； （5）f（x）= x x n 1− ； （6）y= e bx a b ax sin ( , 均为实数）。 6、求由下列参量方程所确定的函数的二阶导数 2 2 dx d y ：