第九章定积分 习题 §1定积分概念 按定积分定义证明:k女=b-a 2.通过对积分区间等分分割并取适当的点集{},把定积分看作是对应的积分和的极限, 来计算下列定积分: (1)xdx (2)[e2dx (3)e2ax; (4) t(0<a<b) §2牛顿—莱布尼茨公式 1.计算下列定积分 (1)[(2x+3kx (4) xIn x x+ 2(x 2.利用定积分求极限 (1)lim 1 (2)lim (n+1)2(n+2)2(x+n)2 (3) (4)lim 2丌 sm-+sm-+…+sm n→n 3,证明:若∫在[ab]上可积,F在叵b上连续,且除有限个点外有F(x)=f(x),则 广/(kk=F(b)-F(a)
第九章 定积分 习题 §1 定积分概念 1． 按定积分定义证明： kdx k(b a) b a = − . 2． 通过对积分区间等分分割，并取适当的点集 i ，把定积分看作是对应的积分和的极限， 来计算下列定积分： （1） 1 0 3 x dx ； （2） 1 0 e dx x ； （3） b a x e dx ； （4） dx( a b) x b a 0 1 2 . §2 牛顿—莱布尼茨公式 1． 计算下列定积分： （1） ( ) + 1 0 2x 3 dx ； （2） + 1 − 0 2 2 1 1 dx x x ； （3） 2 ln e 1 e dx x x ； （4） − 1 − 0 2 dx e e x x ； （5） 3 0 2 tan xdx ； （6） + 9 4 1 dx x x ； （7） + 4 0 1 1 dx x ； （8） ( ) e e x dx x 1 2 ln 1 . 2． 利用定积分求极限： （1） ( ) 3 3 4 1 2 1 lim n n n + + + → ； （2） ( ) ( ) ( ) + + + + + + → 2 2 2 1 2 1 1 1 lim n n n n n n ； （3） + + + + → + 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 lim n n n n n ； （4） − + + + → n n n n n n 1 sin 2 sin sin 1 lim . 3，证明：若 f 在 a,b 上可积， F 在 a,b 上连续，且除有限个点外有 F (x) = f (x) / ，则 f (x)dx F(b) F(a) b a = −
§3可积条件 1.证明:若T是T增加若干个分点后所得的分割,则∑Ax1≤∑Ax 2.证明:若∫在b]上可积,[月<[,则f在[a,月上也可积 3.设∫,g均为定义在[ab]上的有界函数证明:若仅在[ab]中有限个点处f(x)≠g(x) 则当f在,小上可积时,g在上也可积,且∫(k=( 4.设f在[ab]上有界,{an}c[]man=c证明:若∫在[ab]上只有a(n=12 为其间断点,则∫在[ab]上可积 5.证明:若∫在区间△上有界,则 S/()-m(x)=s/()-(x §4定积分的性质 1.证明:若与g都在[小上可积,则∑/()k(n)x=()(x,其中 5,是T所属小区间△中的任意两点,t=12,…,n 2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: (1)xax与[x2dx (2)|2xdx与2 sin xdx 3.证明下列不等式 (1)一< (2)1<[edx<e; (3)1< (4)3√e< In dx<6 4.设∫在[上连续,且f(x)不恒等于零,证明:(/(x)d>0 5.设f与g都在[ab]上可积,证明:M(x)=mx/(x)g(x)m(x)=mmJ/(x)g(x) 在[ab]上也都可积 6.试求心形线r=d(1+cos)0≤6≤2上各点极径的平均值
§3 可积条件 1． 证明：若 / T 是 T 增加若干个分点后所得的分割，则 T i i T i i x x / . 2． 证明：若 f 在 a,b 上可积， , a,b ，则 f 在 , 上也可积. 3． 设 f , g 均为定义在 a,b 上的有界函数.证明：若仅在 a,b 中有限个点处 f (x) g(x)， 则当 f 在 a,b 上可积时， g 在 a,b 上也可积，且 ( ) ( ) = b a b a f x dx g x dx . 4． 设 f 在 a,b 上有界， a a b a c n n n = → , ,lim .证明：若 f 在 a,b 上只有 a (n =1,2, ) n 为其间断点，则 f 在 a,b 上可积. 5． 证明：若 f 在区间 上有界，则 ( ) ( ) ( ) ( ) / // , / // sup f x inf f x sup f x f x x x x x − = − . §4 定积分的性质 1． 证明：若 f 与 g 都在 a,b 上可积，则 ( ) ( ) ( ) ( ) = = → b a n i i i i T f g x f x g x dx 1 0 lim ，其中 i i , 是 T 所属小区间 i 中的任意两点， i = 1,2, , n . 2． 不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小： （1） 1 0 xdx 与 1 0 2 x dx ； （2） 2 0 xdx 与 2 0 sin xdx . 3． 证明下列不等式： （1） 2 sin 2 1 1 1 2 2 0 2 − dx x ； （2） e dx e x 1 0 2 1 ； （3） 2 sin 1 2 0 dx x x ； （4） 6 ln 3 4 e e dx x x e . 4． 设 f 在 a,b 上连续，且 f (x) 不恒等于零，证明： ( ( )) 0 2 b a f x dx . 5． 设 f 与 g 都在 a,b 上可积，证明： ( ) ( ) ( ) ( ) M x f x g x m x f (x) g(x) x a b x a b max , , min , , , = = 在 a,b 上也都可积. 6． 试求心形线 r = a(1+ cos),0 2 上各点极径的平均值
7.设∫在[ab上可积,且在[a上满足(x)≥m>0证明:在[ab]上也可积 8.进一步证明积分第一中值(包括定理97和定理9)中的中值点∈(ab) 9.证明若f与g都在[b]上可积,且g(x)在[ab]上不变号,M,m分别为/(x)在[ab 上的上、下确界,则必存在某实数山(m≤H≤M),使∫(x(t=,s(k 0.证明:若∫在[小上连续,且∫(k=(=0则在(b内至少存在两点 x,x,使/(x)=/(x)=0又若x/()=0,这时在(ab)内是否至少有三个零 点? 1.设厂在[,b]上二阶可导,且∫“(x)>0.证明: a+b flx)dx ()又若/()50x∈则又有/(22/xel 12.证明:(1)hn(+n)<1+ +-<1+ln 1+ (2)lim In n §5微积分学基本定理及定积分计算(续) 1.设∫为连续函数,,v均为可导函数,且可实行复合∫ol与∫o.证明: 4rM=()(x)-)() 2.设/在b上连续,F(x)=/(x-)M证明:F()=/(x)xe小 3.求下列极限 d t (1)lim (2) lim 4.计算下列定积分 (1)2cos xsin 2xdx (2)[√4-x (3) x x(a>0) (4) dx
7． 设 f 在 a,b 上可积，且在 a,b 上满足 f (x) m 0 .证明： f 1 在 a,b 上也可积. 8． 进一步证明积分第一中值（包括定理 9.7 和定理 9.8）中的中值点 (a,b). 9． 证明：若 f 与 g 都在 a,b 上可积，且 g(x) 在 a,b 上不变号， M ,m 分别为 f (x) 在 a,b 上的上、下确界，则必存在某实数 (m M) ，使得 ( ) ( ) ( ) = b a b a f x g x dx g x dx . 10．证明：若 f 在 a,b 上连续，且 ( ) = ( ) = 0 b a b a f x dx xf x dx .则在 (a,b) 内至少存在两点 1 2 x , x ，使 f (x1 ) = f (x2 ) = 0.又若 ( ) 0 2 = b a x f x dx ，这时 f 在 (a,b) 内是否至少有三个零 点？ 11．设 f 在 a,b 上二阶可导，且 ( ) 0 // f x .证明： （1） ( ) − + b a f x dx b a a b f 1 2 ； （2）又若 f (x) 0, xa,b ，则又有 ( ) f (x)dx x a b b a f x b a , , 2 − . 12．证明：（1） ( ) n n n 1 ln 1 2 1 ln 1+ 1+ ++ + ； （2） 1 ln 1 2 1 1 lim = + + + → n n n . §5 微积分学基本定理及定积分计算（续） 1．设 f 为连续函数， u, v 均为可导函数，且可实行复合 f u 与 f v .证明： ( ) ( ) ( ) f t dt f (v(x))v (x) f (u(x))u (x) dx d v x u x / / = − 2．设 f 在 a,b 上连续， ( ) ( )( ) = − x a F x f t x t dt .证明： F (x) f (x), x a,b // = . 3． 求下列极限： （1） → x x t dt x 0 2 0 cos 1 lim ； （2） → x t x t x e dt e dt 0 2 2 0 2 2 lim . 4． 计算下列定积分： （1） 2 0 5 cos sin 2 x xdx ； （2） − 1 0 2 4 x dx ； （3） ( 0) 0 2 2 2 − x a x dx a a ； （4） ( ) − + 1 0 2 3 2 1 1 dx x x ；
dx d arcsin xdx i (8)2e sin xdx; (9)I, In xd (10)「evdh COS x (11)x (12) a+x sin x+ cosx 设∫在ad]上可积证明 (1)若∫为奇函数,则f(x)x=0 (2)若∫为偶函数,则(x)女=2(x 6.设∫为(-0,+)上以p为周期的连续函数证明:对任何实数a,恒有 (x) 7.设∫为连续函数证明 (1)5/(sin xdr= /(cos x)dx 8.设J(m,n)=[ sin"xcos"xdx(m,n为正整数)证明: m-1 m+n 并求J(2m2n) 9.证明:若在(0,+∞)上∫为连续函数,且对任何a>0有 g(x)=「,/(=常数,x∈(0+), 则∫(x)=,x∈(0.+∞),c为常数 1.设厂为连续可微函数,试求4(x-1)(0+,并用此结果求(x-)sm 1.设y=f(x)为[x上严格增的连续曲线(图912)试证存在5∈(b),使图中两阴 影部分面积相等
（5） − + 1 0 1 dx e e x x ； （6） + 2 0 2 1 sin cos dx x x ； （7） 1 0 arcsin xdx ； （8） 2 0 sin e xdx x ； （9） e e 1 ln x dx ； （10） 1 0 e dx x ； （11） ( 0) 0 2 + − dx a a x a x x a ； （12） + 2 0 sin cos cos dx x x x . 5． 设 f 在 − a,a 上可积.证明： （1）若 f 为奇函数，则 ( ) = 0 − a a f x dx ； （2）若 f 为偶函数，则 ( ) ( ) = − a a a f x dx f x dx 0 2 . 6．设 f 为 (− ,+) 上以 p 为周期的连续函数.证明：对任何实数 a ，恒有 ( ) ( ) = a+ p p a f x dx f x dx 0 . 7．设 f 为连续函数.证明： （1） ( ) ( ) = 2 0 2 0 sin cos f x dx f x dx ； （2） ( ) ( ) = 0 0 sin 2 xf sin x dx f x dx . 8．设 ( ) = 2 0 , sin cos J m n x xdx m n （ m, n 为正整数）.证明： ( ) ( ) J (m n) m n m J m n m n n J m n 2, 1 , 2 1 , − + − − = + − = , 并求 J(2m,2n). 9．证明：若在 (0,+) 上 f 为连续函数，且对任何 a 0 有 ( ) = ( ) ax x g x f t dt 常数， x(0,+)， 则 ( ) = , x (0,+) x c f x ， c 为常数. 10．设 f 为连续可微函数，试求 ( ) ( ) − x a x t f t dt dx d ，并用此结果求 ( ) − x x t tdt dx d 0 sin . 11．设 y = f (x) 为 a,b 上严格增的连续曲线（图 9-12）.试证存在 (a,b) ，使图中两阴 影部分面积相等
12.设∫为[2r]上的单调递减函数证明:对任何正整数n恒有「f(x)5m≥0 证明:当x0)有不等广m(0 14.证明:若f在[ab]上可积,g在[x,月上单调且连续可微,以(a)=a()=b,则 有八(=()(0M 5.证明:若在[上∫为连续函数,g为连续可微的单调函数,则存在5∈[b],使得 广(=8)(+8)/( §6可积性理论补叙 1.证明性质2中关于下和的不等式(3) 2.证明性质6中关于下和的极限ms(T)=s 3设∫(x)= 为有理数 0,x为无理数 试求∫在]上的上积分和下积分;并由此判断∫在p]上 是否可积 4.设∫在[ab上可积,且f(x)0,x∈b]试问√厂在b]上是否可积?为什么? 5.证明:定理9.15中的可积第二充要条件等价于“任给E>0,存在δ>0,对一切满足 卩<d的T,都有∑mA,=S()-s(门)<E 6.据理回答 (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和“的性质? (2)何种连续函数具有“所有下和(或上和)都相等“的性质? (3)对可积函数,若“所有下和(或上和)都相等“,是否仍有(2)的结论 7.本题的最终目的是要证明:若f在[ab]上可积,则∫在[ab]内必定有无限多个处处稠 密的连续点这可用区间套方法按以下顺序逐一证明 (1)若T是[ab]的一个分割,使得S()-()<b-a,则在T中存在某个小区间△, 使得o!<1 (2)存在区间1={a1,b]<(ab),使得o(1)=spf(x)-nff(x)<1 3)存在区间1=[a,b]=(a,b),使得o/()=s甲/()-mf(x)< (4)继续以上方法,求出一区间序列Ln=[gnb]c(an1,bn),使得
12．设 f 为 0,2 上的单调递减函数.证明：对任何正整数 n 恒有 ( )sin 0 2 0 f x nxdx . 13．证明：当 x 0 时有不等式 ( 0) 1 sin 2 + c x t dt x c x . 14．证明：若 f 在 a,b 上可积， 在 , 上单调且连续可微， () = a,() = b ，则 有 ( ) ( ( )) ( ) = f x dx f t t dt b a / . 15．证明：若在 a,b 上 f 为连续函数， g 为连续可微的单调函数，则存在 a,b ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + b a b a f x dx g a f x dx g b f x dx . §6 可积性理论补叙 1．证明性质 2 中关于下和的不等式（3）. 2．证明性质 6 中关于下和的极限 s(T ) s T = →0 lim . 3．设 ( ) = 0 . , , ， 为无理数 为有理数 x x x f x 试求 f 在 0,1 上的上积分和下积分；并由此判断 f 在 0,1 上 是否可积. 4．设 f 在 a,b 上可积，且 f (x) 0, xa,b.试问 f 在 a,b 上是否可积？为什么？ 5．证明：定理 9.15 中的可积第二充要条件等价于“任给 0 ，存在 0 ，对一切满足 T 的 T ，都有 = S(T )− s(T ) T i i . 6．据理回答： （1）何种函数具有“任意下和等于任意上和“的性质？ （2）何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等“的性质？ （3）对可积函数，若“所有下和（或上和）都相等“，是否仍有（2）的结论？ 7．本题的最终目的是要证明：若 f 在 a,b 上可积，则 f 在 a,b 内必定有无限多个处处稠 密的连续点.这可用区间套方法按以下顺序逐一证明： （1）若 T 是 a,b 的一个分割，使得 S(T)− s(T) b − a ，则在 T 中存在某个小区间 i ， 使得 1 f i . （2）存在区间 I a ,b (a,b) 1 = 1 1 ，使得 ( ) sup ( ) inf ( ) 1 1 1 1 = − I f x f x x I x I f . （3）存在区间 ( ) 2 2 2 1 1 I = a ,b a ,b ，使得 ( ) ( ) ( ) 2 1 sup inf 2 2 2 = − I f x f x x I x I f . （ 4 ）继续以上方法，求出一区间序列 ( ) 1 1 , , n = an bn an− bn− I ，使得