第八章不定积分 习题 1不定积分概念与基本积分公式 1.验证下列等式,并与(3)、(4)两式相比照 (1)Jf(x=f(x)+C; (2)Jj()=f(x)+C 2.求一曲线y=f(x),使得在曲线上每一点(ry处的切线斜率为2x,且通过点(25) 3.验证y=2即x是内在(+)上的一个原函数 4.据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数没有原函数? 5.求下列不定积分 d db 4-4x (7)tan"xdx; (8)sin2xdx 2 os 2 (11)10′·32d; (12)Vxyx√xax 1+x (13) VI-xv1+x (14)(cos x+sin x)dx (15)「(cosx·cos2xkh (16) §2换元积分法与分部积分法 1.应用换元积分法求下列不定积分: (1)jco(3x+4; (2)xe2rdx -dx (4)(1+x)dx 2x+1 (5) (6) 2x+3 dx i
1 第八章 不定积分 习题 §1 不定积分概念与基本积分公式 1． 验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照： （1） f (x)dx = f (x)+ C / ； （2） df (x) = f (x)+ C 2． 求一曲线 y = f (x) ，使得在曲线上每一点 (x, y) 处的切线斜率为 2x ，且通过点 (2,5). 3． 验证 x x y sgn 2 2 = 是 x 在 (− ,+) 上的一个原函数. 4． 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数没有原函数？ 5． 求下列不定积分： （1） − + − dx x x x 3 2 3 1 1 ； （2） − dx x x 2 1 ； （3） gx dx 2 ； （4） ( ) + dx x x 2 2 3 ； （5） − dx x 2 4 4 3 ； （6） ( ) + dx x x 2 2 3 1 ； （7） xdx 2 tan ； （8） xdx 2 sin ； （9） − dx x x x cos sin cos 2 ； （10） dx x x x 2 2 cos sin cos 2 ； （11） • dt t 2t 10 3 ； （12） x x x dx ； （13） + − + − + dx x x x x 1 1 1 1 ； （14） ( ) x + x dx 2 cos sin ； （15） ( ) cos x • cos 2x dx ； （16） ( ) − e − e dx x x 3 §2 换元积分法与分部积分法 1． 应用换元积分法求下列不定积分： （1） ( ) cos 3x + 4 dx ； （2） xe dx x 2 2 ； （3） + dx 2x 1 1 ； （4） ( ) + x dx n 1 ； （5） − + − dx x x 2 2 1 3 1 3 1 ； （6） + dx 2x 3 2 ；
(8) (9)「 xsIn x2adx; (10) dx (11) (12) 1 +cosx 1+sin x (15) ∫xd (16) rn; x(1+x) (20) cot xdx (21)cos xdx sin x cos x (23) -dx (24) dx 3x+8 (25) (26) (x+1) x+1-1 (29) (30) √x+1+1 2.应用分部积分法求下列不定积分: (1)arcsin xdx (2)」hx; (3)xcos xdo (5)(Inx)dx (6)arctan dx (7)h(x) (8) (arcsin x)'dx
2 （7） 8 − 3xdx ； （8） − dx x 3 7 5 1 ； （9） x x dx 2 sin ； （10） + dx x 4 sin 2 1 2 ； （11） + dx 1 cos x 1 ； （12） + dx 1 sin x 1 ； （13） csc xdx ； （14） − dx x x 2 1 ； （15） + dx x x 4 4 ； （16） dx x ln x 1 ； （17） ( ) − dx x x 3 5 4 1 ； （18） − dx x x 2 8 3 ； （19） ( ) + dx x 1 x 1 ； （20） cot xdx ； （21） xdx 5 cos ； （22） dx sin x cos x 1 ； （23） − + dx e e x x 1 ； （24） − + − dx x x x 3 8 2 3 2 ； （25） ( ) + + dx x x 3 2 1 2 ； （26） + dx x a 2 2 1 ； （27） ( ) + dx x a 2 3 2 2 1 ； （28） − dx x x 2 5 1 ； （29） − dx x x 3 1 ； （30） + + + − dx x x 1 1 1 1 . 2． 应用分部积分法求下列不定积分： （1） arcsin xdx ； （2） ln xdx ； （3） x cos xdx 2 ； （4） dx x x 3 ln ； （5） ( ) x dx 2 ln ； （6） x arctan dx ； （7） ( ) + dx x x ln 1 ln ln ； （8） ( ) x dx 2 arcsin ；
(9)sec'xdx (10) ∫√x±ada>0) 3.求下列不定积分: (1)(x)f(xt(x≠-1) (2) dx (4) flax 4.证明 (1)若ln=∫man”xon=23…,则1nn/<an-x-1n2 (2)若/(mm)=」cxsm”xd,则当m+n≠0时, I(m n_cos" -", m-1 m+n m+n cos* xsin" -x n-1 /(m,n-2) 2,3 5.利用上题的递推公式计算: (3)cosxsin+xdx 6.导出下列不定积分对于正整数n的递推公式 l=「xe (2)1,=j(mx)yd (3)1=∫ (arcsin x) )n= 7.利用上题的递推公式计算 (1)reds (2)」x); (3)(arcsin x)'dx (4)e'sin'xdx §3有理函数和可化为有理函数的不定积分 1.求下列不定积分 2 7x+12 (3) (4) dx (5)
3 （9） xdx 3 sec ； （10） ( ) 0 2 2 x a dx a . 3． 求下列不定积分： （1） ( ) ( ) ( ) −1 / f x f x dx ； （2） ( ) ( ) + dx f x f x 2 / 1 ； （3） ( ) ( ) dx f x f x / ； （4） ( ) ( ) e f x dx f x / . 4． 证明： （1）若 I n = tan n xdx,n = 2,3, ，则 2 1 tan 1 1 − − − − = n n n x I n I ； （2）若 ( ) I m n = x xdx m n , cos sin ，则当 m+ n 0 时， ( ) ( ) ( , 2), , 2,3, cos sin 1 2, cos sin 1 , 1 1 1 1 − = + − + + = − − + − + + = + − − + I m n n m m n n m n x x I m n m n m m n x x I m n m n m n 5． 利用上题的递推公式计算： （1） xdx 3 tan ； （2） xdx 4 tan ； （3） x xdx 2 4 cos sin . 6． 导出下列不定积分对于正整数 n 的递推公式： （1） I = x e dx n kx n ； （2） ( ) I = x dx n n ln ； （3） ( ) I = x dx n n arcsin ； （4） I = e xdx x n n sin . 7． 利用上题的递推公式计算： （1） x e dx 3 2x ； （2） ( ) x dx 3 ln ； （3） ( ) x dx 3 arcsin ； （4） e xdx x 3 sin . §3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 1． 求下列不定积分： （1） − dx x x 1 3 ； （2） − + − dx x x x 7 12 2 2 ； （3） + dx x 1 1 3 ； （4） + dx x 1 1 4 ； （5） ( )( ) − + dx x x 2 2 1 1 1 ； （6） ( ) + + − dx x x x 2 2 2 2 1 2
2.求下列不定积分 5-3cosx 2+sn x (3) dx (4) dx 1+ tan x 1+x 总练习题 求下列不定积分: √x-2√x-1 (2)arcsin xdx dx (4)sinx sin 2xdx tan x (7) dx I+tan x d x (10)「sin4xdx (11) (12) +√xkx x3-3x2+4 tan (13) (14) tan x+tan r+I, (15) dx (16)[rdx dx (19)「e (20) dx,其中l=a1+b1x,v=a2+b2x,求递推形式解 习题答案
4 2． 求下列不定积分： （1） − dx 5 3cos x 1 ； （2） + dx x 2 2 sin 1 ； （3） + dx 1 tan x 1 ； （4） + − dx x x x 2 2 1 ； （5） + dx x x 2 1 ； （6） + − dx x x x 1 1 1 2 . 总练习题 求下列不定积分： （1） − − dx x x x 4 3 2 1 ； （2） x arcsin xdx ； （3） + dx x 1 1 ； （4） e xdx x sin 2 sin ； （5） e dx x ； （6） − dx x x 1 1 2 ； （7） + − dx x x 1 tan 1 tan ； （8） ( ) − − dx x x x 3 2 2 ； （9） dx x 4 cos 1 ； （10） xdx 4 sin ； （11） − + − dx x x x 3 4 5 3 2 ； （12） ( ) arctan 1+ x dx ； （13） + dx x x 2 4 7 ； （14） + + dx x x x tan tan 1 tan 2 ； （15） ( ) − dx x x 100 2 1 ； （16） dx x x 2 arcsin ； （17） − + dx x x x 1 1 ln (18) dx x x 7 sin cos 1 ； （19） + − dx x x e x 2 1 1 ； （20） = dx u v I n n ，其中 u a b x v a b x 1 1 2 2 = + , = + ，求递推形式解. 习题答案
§1不定积分概念与基本积分公式 4 +c ax (3) +c (4) In 4 In 9 In 6 (5)-arcsn x+C (6)(r-arctan x)+C (7)tanx-x+C (8)(2x-sin2x)+C (9) sn x-cosx+C (10) tan x-cot x+C; 90 (11) In 90 (12)x8+C; (13)2arcsin x+C (14)x--cos2x+C; (15)sin x+-sin 3x +C (16) Be-3e +-e+Ci §2换元积分法与分部积分法 1.(1)sm(3x+4)+C; (2)e2x+C; In/2x-1+C (4)(1+x)+c )0+m(:(02+C (7) √(8-3x) +c )-3(7-5x)2+C; (9)--coSx+C (10)-co2x+z+C (11)tan-+C (12)tan x-secx+C (13)-In csc x+cot x+C (14) x+c (15)-arctan -+C (16)hhx+C;
5 §1 不定积分概念与基本积分公式 2． 1 2 y = x + . 5．（1） x C x x x − + − + 3 2 4 3 2 4 ； （2） x x C x + − + 3 3 3 4 ln 3 ； （3） C g x + 2 ； （4） C x x x + • + + ln 6 2 6 ln 9 9 ln 4 4 ； （5） arcsin x + C 2 3 ； （6） (x − arctan x)+ C 3 1 ； （7） tan x − x +C ； （8） (2x − sin 2x) + C 4 1 ； （9） sin x −cos x +C ； （10） − tan x −cot x +C ； （11） C t + ln 90 90 ； （12） x 8 + C 15 15 8 ； （13） 2arcsin x +C ； （14） x − cos 2x + C 2 1 ； （15） x x + C + sin 3 3 1 sin 2 1 ； （16） e e e e C x x x x − − + + 3 − −3 3 1 3 3 3 1 ； §2 换元积分法与分部积分法 1．（1） sin (3x + 4) + C 3 1 ； （2） e C x + 2 2 4 1 ； （3） ln 2x −1 + C 2 1 ； （4） ( ) C n x n + + + + 1 1 1 ； （5） ( x) C x + arcsin 3 + 3 1 3 arcsin ；（6） C x + + ln 2 2 2 2 ； （7） − ( − x) + C 3 8 3 9 2 ； （8） − ( − x) + C 3 2 7 5 10 3 ； （9） − x + C 2 cos 2 1 ； （10） x + C − + 4 cot 2 2 1 ； （11） C x + 2 tan ； （12） tan x −sec x +C ； （13） − ln csc x + cot x +C ； （14） − − x +C 2 1 ； （15） C x + 2 arctan 4 1 2 ； （16） ln ln x +C ；