第三章函数极限 习题 §1函数极限概念 1.按定义证明下列极限 (1)imn6x+5 6 (2)lm(x2-6x+10)=2 x→+0X (3) lim (4)lm√4-x2=0; (5)lim cos x= cOS xo x→x0 2.根据定义2叙述lmf(x)≠A 3.设mf(x)=A,证明:lmf(x+h)=A h→0 4.证明:若mf(x)=A,则lmn(x)=4当且仅当A为何值时反之也成立? 5.证明定理3.1 6.讨论下列函数在x→0时的极限或左、右极限: (1)f(x)= (3)f(x)={0 7.设imf(x)=A,证明:lm 8.证明:对黎曼函数lmR(x)=0,x∈[o(当x=0或1时,考虑单侧极限) §2函数极限的性质 1.求下列极限 (1)lim 2(sn x-cosx-x (2)lim (3)lim x12x2-x-1 1 √1+2x-3 (5)lim (n,m为正整数); (6)lm 2
1 第三章 函数极限 习题 §1 函数极限概念 1． 按定义证明下列极限： （1） 6 6 5 lim = + →+ x x x ； （2） lim( 6 10) 2 2 2 − + = → x x x ； （3） 1 1 5 lim 2 2 = − − → x x x ； （4） lim 4 0 2 2 − = → − x x ； （5） 0 lim cos cos 0 x x x x = → 2． 根据定义 2 叙述 f x A x x → lim ( ) 0 3． 设 f x A x x = → lim ( ) 0 ，证明： f x h A h + = → lim ( ) 0 0 4． 证明：若 f x A x x = → lim ( ) 0 ，则 f x A x x = → lim ( ) 0 当且仅当 A 为何值时反之也成立？ 5． 证明定理 3.1 6． 讨论下列函数在 x →0 时的极限或左、右极限： （1） x x f (x) = ； （2） f (x) = x ； （3） + = = 1 , 0 0, 0 2 , 0 ( ) 2 x x x x f x x 7． 设 f x A x = →+ lim ( ) ，证明： A x f x = → + 1 lim 0 8． 证明：对黎曼函数 lim ( ) 0 0 = → R x x x ， 0,1 x0 （当 x0 = 0 或 1 时，考虑单侧极限） §2 函数极限的性质 1． 求下列极限： （1） ( ) 2 2 lim 2 sin x cos x x x − − → ； （2） 2 1 1 lim 2 2 0 − − − → x x x x ； （3） 2 1 1 lim 2 2 1 − − − → x x x x ； （4） ( ) ( ) 2 3 3 0 2 1 1 3 lim x x x x x + − + − → ； （5） 1 1 lim 1 − − → m n x x x （ n,m 为正整数）； （6） 2 1 2 3 lim 4 − + − → x x x ；
a x-a (7)lim (a>0) (8)lm (3x+6)(8x-5)0 2.利用迫敛性求极限 (1)lim x-COSx (2) lim xsin x 3.设lmnf(x)=A,img(x)=B。证明: (1)lm[(x)±g(x)=A±B (2) lim f(x)g(x)=AB; (3)lim f(x) A ≠ x g(x) B f(x)=→ …+an1x+a ,a0≠0,b≠0,m≤n, boy 试求limf(x) 5.设f(x)>0,mf(x)=A,证明:lmyf(x)=4,其中n≥2为正整数 6.证明:Imna2=1(0<a<1) 7. i% lm f(x)=A, lm g(x)=B (1)在某UP(x)内有f(x)<g(x),问是否必有A<B?为什么? (2)证明:若A>B,则在某U°(x0)内有f(x)>g(x) 8.求下列极限 (1)li (2)lm x 1+x" (3)lmx+x2+…+x 1+x-1 (4)lm (5)lm 9.(1)证明:若mn/(x)存在,则ln/(x)=lmf(x) (2)若lmf(x)存在,试问是否成立mf(x)=lmf(x) x→0
2 （7） lim ( 0) 2 0 + − → a x a x a x ； （8） ( ) ( ) ( ) 90 70 20 5 1 3 6 8 5 lim − + − →+ x x x x 2． 利用迫敛性求极限： （1） x x x x cos lim − →− ； （2） 4 sin lim 2 →+ x − x x x 3． 设 f x A g x B x x x x = = → → lim ( ) , lim ( ) 0 0 。证明： （1） f x g x A B x x = → lim ( ) ( ) 0 ； （2） f x g x AB x x = → lim ( ) ( ) 0 ； （3） ( 0) ( ) ( ) lim 0 = → B B A g x f x x x 4． 设 a b m n b x b x b x b a x a x a x a f x n n n n m m m m + + + + + + + + = − − − − ( ) , 0, 0, 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 ， 试求 lim f (x) x→+ 5． 设 f x f x A x x = → ( ) 0, lim ( ) 0 ，证明： n n x x f x = A → lim ( ) 0 ，其中 n 2 为正整数 6． 证明： lim 1(0 1) 0 = → a a x x 7． 设 f x A g x B x x x x = = → → lim ( ) , lim ( ) 0 0 （1）在某 ( ) 0 x o 内有 f (x) g(x) ，问是否必有 A B ？为什么？ （2）证明：若 A B ，则在某 ( ) 0 x o 内有 f (x) g(x) 8． 求下列极限 （1） n x x x x + → − 1 1 lim 0 ； （2） n x x x x + → + 1 1 lim 0 ； （3） 1 lim 2 1 − + + + − → x x x x n n x ； （4） x x n x 1 1 lim 0 + − → ； （5） x x x→ lim 9．（1）证明：若 ( ) 3 0 lim f x x→ 存在，则 ( ) ( ) 3 0 0 lim f x lim f x x→ x→ = （2）若 ( ) 2 0 lim f x x→ 存在，试问是否成立 ( ) ( ) 2 0 0 lim f x lim f x x→ x→ = ？
§3函数极限存在的条件 1.述函数极限lmf(x)的归结原则,并应用它证明 lim cos x不存在 设∫为定义在[a+∞)上的增(减)函数证明:lmf(x)存在的充要条件是∫在[a+∞ 上有上(下)界 3.(1)叙述极限lmf(x)的柯西准则; (2)根据柯西准则叙述lmf(x)不存在的充要条件,并应用它证明 lim sin x不存在 4.设∫在U(x0)内有定义。证明:若对任何数列{xn}cU"(x)且mxn=x,极限 imf(xn)都存在,则所有这些极限都相等 5.设∫为∪P(x)上的递增函数。证明:f(x0-0)f(x0+0)都存在,且 flxo-0)=sup f(x)/(xo+0)=inf f(x) re(ro) 6.设D(x)为狄利克雷函数,x0∈R。证明:lmD(x)不存在 7.证明:若∫为周期函数,且lmnf(x)=0,则f(x)=0 证明定理3.9 §4两个重要的极限 1.求下列极限 sIn 2x (1)im (2)lm six x→0 x (3)lim Cos x (4) lim 2 x (5)lim tan xr-sin x (6)lim arctan x x→0 (7) lim xsin (8)im sin x-sin a x-a (9)Im sin 4x (10) lim 求下列极限 (1)lim (2)lm(1+ax
3 §3 函数极限存在的条件 1． 述函数极限 lim f (x) x→+ 的归结原则，并应用它证明 x x lim cos →+ 不存在 2． 设 f 为定义在 a,+) 上的增（减）函数。证明： lim f (x) x→+ 存在的充要条件是 f 在 a,+) 上有上（下）界 3． （1）叙述极限 lim f (x) x→− 的柯西准则； （2）根据柯西准则叙述 lim f (x) x→− 不存在的充要条件，并应用它证明 x x lim sin →− 不存在 4． 设 f 在 ( ) 0 0 x 内有定义。证明：若对任何数列 ( ) 0 0 x x n 且 0 lim x x n n = → ，极限 ( ) n n f x → lim 都存在，则所有这些极限都相等 5． 设 f 为 ( ) 0 0 x 上的递增函数。证明： ( 0), ( 0) f x0 − f x0 + 都存在，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x f (x) x x x x 0 0 0 0 0 sup , 0 inf 0 0 + − − = + = 6． 设 D(x) 为狄利克雷函数， x0 R 。证明： D(x) x x0 lim → 不存在 7． 证明：若 f 为周期函数，且 lim ( ) = 0 →+ f x x ，则 f (x) 0 8． 证明定理 3.9 §4 两个重要的极限 1． 求下列极限： （1） x x x sin 2 lim →0 ； （2） ( ) 2 3 0 sin sin lim x x x→ ； （3） 2 cos lim 2 − → x x x ； （4） x x x tan lim →0 ； （5） 3 0 tan sin lim x x x x − → ； （6） x x x arctan lim →0 ； （7） x x x 1 lim sin →+ ； （8） x a x a x a − − → 2 2 sin sin lim ； （9） 1 1 sin 4 lim 0 + − → x x x ； （10） x x x 1 cos 1 cos lim 2 0 − − → 2． 求下列极限： （1） x x x − → − 2 lim 1 ； （2） ( ) x x x 1 0 lim 1+ → ；
(3)lim(1 +tan x)ox (4)m/1+x x→0 x0(1-x 2x-1 (5)mn/3x+2 (6)lmn1+ 3.证明: li im cos x cos2.9/= 4.利用归结原则计算下列极限: (1)lmn√ns §5无穷小量与无穷大量 1.证明下列各式 (1)2x-x2=O(xx (2)xsn√x=Ox O (4)(1+x)=1+nx+o(xx→>0)(m为正整数) (5)2x2+x2=0x3)x→a) (6)o(g(x)±o(g(x)=o(g(x)x→x) (7)o(g1(x)·o(g2(x)=o(g1(x)g2(x)(x→x 2.应用定理312求下列极限 x arctan (1)lim (2)lim vifx x- cosx x→01-cosx 3.证明定理3.13 4.求下列函数所表示曲线的渐进线 (1)y= (2)y=arctan x (3)y= 5.试确定a的值,使下列函数与x“当x→0时为同阶无穷小量: (1)sin 2x-2sm x 1+x (3)√1+tanx- 6.试确定的值,使下列函数与x“当x→∞时为同阶无穷大量:
4 （3） ( ) x x x cot 0 lim 1+ tan → ； （4） x x x x 1 0 1 1 lim − + → ； （5） 2 1 3 1 3 2 lim − →+ − + x x x x ； （6） x x x + →+ lim 1 3． 证明： 1 2 cos 2 cos 2 lim lim cos cos 2 0 = → → n x n x x x x 4． 利用归结原则计算下列极限： （1） n n n lim sin → ； （2） n n n n + + → 2 1 1 lim 1 §5 无穷小量与无穷大量 1． 证明下列各式： （1） 2 ( )( 0) x − x 2 = O x x → （2） ( ) → + sin = 0 2 1 x x O x x （3） 1+ x −1 = o(1)(x → 0) （4） (1+ x) = 1+ nx + o(x)(x → 0) n （ n 为正整数） （5） x + x = O(x )(x → ) 3 2 3 2 （6） ( ( )) ( ( )) ( ( ))( ) 0 o g x o g x = o g x x → x （7） ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( ))( ) 1 2 1 2 0 o g x • o g x = o g x g x x → x 2． 应用定理 3.12 求下列极限： （1） x x x x x cos 1 arctan lim → − （2） x x x 1 cos 1 1 lim 2 0 − + − → 3． 证明定理 3.13 4． 求下列函数所表示曲线的渐进线： （1） x y 1 = （2） y = arctan x （3） x x x y 2 3 4 2 3 − + = 5． 试确定 的值，使下列函数与 x 当 x →0 时为同阶无穷小量： （1） sin 2x − 2sin x （2） ( x) x − − + 1 1 1 （3） 1+ tan x − 1− sin x （4） 5 2 3 3x − 4x 6． 试确定 的值，使下列函数与 x 当 x → 时为同阶无穷大量：
(1)√x2+x5 (2)x+x2(2+snx) (3)(+x)+x).(+x) 7.证明:若S为无上界数集,则存在一递增数列{xn}<S,使得xn→+∞(n→∞) 8.证明:若∫为x→r时的无穷大量,而函数g在某∪()上满足g(x)≥K>0,则 为x→P时的无穷大量 9.设∫(x)与g(x)是当x→x时的等价无穷小量,证明: f(x)-g(x)=o(f(x))o*f(x)-g(x)=o(g() 总练习题 1.求下列极限 (1)lm(x-[x; 1+ (3)lim a+x) 6+x)-a-x0b-x) (4)lm (5)In x+√x2-a (6) lim √1+x x→0√1+x 31 (7)lim m,n为正整数 2.分别求出满足下述条件的常数a与b: (1)m/x2+1 ax-b=0; (2)lm(√x2-x+1-ax-b)=0; (3)lm(√x2-x+1-ax-b)=0 3.试分别举出符合下列要求的函数f (1)imf(x)≠f(2); (2)mf(x)不存在 4.试给出函数∫的例子,使f(x)>0恒成立,而在某一点x处有m∫(x)=0。这同极 限的局部保号性有矛盾吗 5.设lmf(x)=A,lmg{a)=B,在何种条件下能由此推出mng((x)=B?
5 （1） 2 5 x + x （2） x x (2 sin x) 2 + + （3） ( )( ) ( ) n 1+ x 1+ x 1+ x 2 7． 证明：若 S 为无上界数集，则存在一递增数列 xn S ，使得 x → +(n → ) n 8． 证明：若 f 为 x →r 时的无穷大量，而函数 g 在某 ( ) 0 r 上满足 g(x) K 0 ，则 fg 为 x →r 时的无穷大量 9． 设 f (x) 与 g(x) 是当 0 x → x 时的等价无穷小量，证明： f (x)− g(x) = o(f (x)) 或 f (x)− g(x) = o(g(x)) 总练习题 1． 求下列极限： （1） (x x) x − → − 3 lim ； （2） ( ) 1 1 lim 1 − → + + x x ； （3） ( (a x)(b x) (a x)(b x)) x + + − − − → − 3 lim ； （4） 2 2 lim x a x x − →+ ； （5） 2 2 lim x a x x − →− ； （6） 0 3 1 1 1 1 lim x x x x x + − − + − − → ； （7） − − → − m n x x n x m 1 1 lim 1 ， m, n 为正整数 2． 分别求出满足下述条件的常数 a 与 b ： （1） 0 1 1 lim 2 = − − + + →+ ax b x x x ； （2） lim ( 1 ) 0 2 − + − − = →− x x ax b x ； （3） lim ( 1 ) 0 2 − + − − = →+ x x ax b x 3． 试分别举出符合下列要求的函数 f ： （1） lim ( ) (2) 2 f x f x → ； （2） f (x) x 2 lim → 不存在 4． 试给出函数 f 的例子，使 f (x) 0 恒成立，而在某一点 0 x 处有 lim ( ) 0 0 = → f x x x 。这同极 限的局部保号性有矛盾吗？ 5． 设 f (x) A g(u) B x a u A = = → → lim ,lim ，在何种条件下能由此推出 g( f (x)) B x a = → lim ？