第六章微分中值定理及其应用 习题 §1拉格朗日定理和函数的单调性 1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点5,使∫(2)=0: (1)f(x)= xSn-0<x≤-, n(2)f(x) 1≤x≤ 0.x=0 2、证明:(1)方程x-3x+c=0(这里c为常数)在区间[0,1内不可能有两个不 同的实根 (2)方程x"+px+q=0(n为正整数,p、q为实数)当n为偶数时至多有两个实 根;当n为奇数时至多有三个实根 3、证明定理6、2推论2 4、证明(1)若函数f在a,b]上可导,且f(x)≥m,则 f(b)≥f(a)+m(b-a) (2)若函数f在[a,b]上可导,且f(x)M,则 f(b)-f(a)k≤M(b-a) (3)对任意实数x1,x2,都有|snx1-snx2图x2-x1 5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式: In ,其中0<a<b b h (1+2 arctan h<h,其中h>O。 6、确定下列函数的单调区间: (1)f(x)=3x-x2 (2)f(x)=2x2-hx; (3)f(x)=y2x (4)f(x)= 7、应用函数的单调性证明下列不等式 (1)tanx>x-,x∈(0,) (2)一<snx<x,x∈(0,) (3)x--<l(1+x)<x 2(1+x)
1 第六章 微分中值定理及其应用 习题 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点 ，使 f ( ) = 0 ： （1） = = 0, 0; , 1 ,0 1 sin ( ) x x x x f x （2）f（x）=|x|，-1≤x≤1。 2、证明：（1）方程 3 0 3 x − x + c = （这里 c 为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不 同的实根； （2）方程 x + px + q = 0 n （n 为正整数，p、q 为实数）当 n 为偶数时至多有两个实 根；当 n 为奇数时至多有三个实根。 3、证明定理 6、2 推论 2。 4、证明（1）若函数 f 在[a，b]上可导，且 f (x) m ，则 f（b）≥f（a）+ m（b - a）； （2）若函数 f 在[a，b]上可导，且 | f (x) | M ，则 |f（b）- f（a）|≤M（b-a）； （3）对任意实数 1 x ， 2 x ，都有 |sin sin | | | 1 2 2 1 x − x x − x 。 5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1） a b a a b b b a − − ln ，其中 0<a<b； （2） h h h h + arctan 1 2 ，其中 h>0。 6、确定下列函数的单调区间： （1）f（x）= 2 3x − x ； （2）f（x）= 2x ln x 2 − ； （3）f（x）= 2 2x − x ； （4）f（x）= x x 1 2 − 。 7、应用函数的单调性证明下列不等式： （1） ) 3 , (0, 3 tan 3 − x x x x ； （2） ) 2 sin , (0, 2 x x x x ； （3） , 0 2(1 ) ln(1 ) 2 2 2 + − + − x x x x x x x
8、以s(x)记由(a,f(a),(b,f(b)),(x,f(x))三点组成的三角形面积,试 对s(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。 9、设f为a,b]上二阶可导函数,f(a)=f(b)=0,并存在一点c∈(a,b)使得f(c)>0。 证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得∫"(2)<0。 10、设函数f在(a,b)内可导,且∫'单调。证明∫’在(a,b)内连续 1l、设p(x)为多项式,a为p(x)=0的r重实根。证明a必定是p(x)的r-1重 实根 12、证明:设f为n阶可导函数,若方程fx=0有n+1个相异的实根,则方程f(x)=0 至少有一个实根。 13、设a,b>0。证明方程x3+ax+b=0不存在正根 tan x 14、证明: x∈ 15、证明:若函数f,g在区间[a,b上可导,且f'(x)>g'(x),f(a)=g(a),则在(a, b]内有f(x))g(x) §2柯西中值定理和不定式极限 1、试问函数f(x)=x2,g(x)=x3在区间-1,1上能否应用柯西中值定理得到相应的 结论,为什么? 2、设函数f在a,b]上可导。证明:存在ξ∈(a,b),使得 Lf(b)-f(a)=(b2-a2)f(2)。 3、设函数f在点a处具有连续的二阶导数。证明 lim f(a+h)+(a-h)-2/(a) =f"(a) 4、设0<a<B<。证明存在O∈(a,B),使得 B cot e cos B-cosa 5、求下列不定式极限 (1)lm (2)lin sIn x or coS 3x In(1+x)-x tanx-x (3)lim (4)
2 8、以 s（x）记由（a，f（a）），（b，f（b）），（x，f（x））三点组成的三角形面积，试 对 s（x）应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。 9、设 f 为[a，b]上二阶可导函数，f（a）=f（b）=0，并存在一点 c (a,b) 使得 f（c）>0。 证明至少存在一点 (a,b) ，使得 f ( ) 0。 10、设函数 f 在（a，b）内可导，且 f 单调。证明 f 在（a，b）内连续。 11、设 p（x）为多项式， 为 p（x）=0 的 r 重实根。证明 必定是 p (x) 的 r – 1 重 实根。 12、证明：设f 为n阶可导函数，若方程（f x）=0有n+1个相异的实根，则方程 ( ) 0 ( ) f x = n 至少有一个实根。 13、设 a，b>0。证明方程 x + ax + b 3 =0 不存在正根。 14、证明： ) 2 , (0, sin tan x x x x x 。 15、证明：若函数 f，g 在区间[a，b]上可导，且 f (x) g (x), f (a) = g(a) ，则在（a， b]内有 f（x）>g（x）。 §2 柯西中值定理和不定式极限 1、试问函数 2 3 f (x) = x , g(x) = x 在区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的 结论，为什么？ 2、设函数 f 在[a，b]上可导。证明：存在 (a,b) ，使得 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 2 f b − f a = b − a f 。 3、设函数 f 在点 a 处具有连续的二阶导数。证明： ( ) ( ) ( ) 2 ( ) lim 2 0 f a h f a h f a h f a h = + + − − → 。 4、设 2 0 。证明存在 (,) ，使得 cot cos cos sin sin = − − 。 5、求下列不定式极限 （1） 0 lim x→ x e x sin −1 ； （2） x x x cos3 1 2sin lim 6 − → ； （3） 0 lim x→ cos 1 ln(1 ) − + − x x x ； （4） 0 lim x→ x x x x sin tan − − ；
an xx (5)lim (6) lim →Secx+ (7)Im(tan x)inr (8)lim x (9)im(1+x2)x; (10)im sin xIn x: (11)lm(-- (12)lm( 6、设函数f在点a的某个邻域具有二阶导数。证明:对充分小的h,存在0,0<0<1 使得 f(a+h)+f(a-h)-2f(a) f(a+ th)+f(a-B) h 2 7、求下列不定式极限 (1) lim In cos(x-D) (2)Iim (T-2 arctan x)In x (3)lm x (4)lim(tan x)an In(1+x) (5)lim (6)lim (cotx-): (7)li +x) (8)lin arctan x 2 8、设f(0)=0,∫在原点的某邻域内连续,且∫(0)≠0。证明 lim x f(x) 9、证明定理6、6中limf(x)=0,img(x)=0情形时的洛必达法则。 10、证明:f(x)=x3e-为有界函数 3泰勒公式 1、求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式: (1)f(x)= x (2)f(x)= arctan到含x的项
3 （5） sec 5 tan 6 lim 2 + − → x x x ； （6） 0 lim x→ ) 1 1 1 ( − − x x e ； （7） 0 lim x→ x x sin (tan ) ； （8） x x x − → 1 1 1 lim ； （9） 0 lim x→ x x 1 2 (1+ ) ； （10） x x x lim sin ln 0 → + ； （11） 0 lim x→ ) sin 1 1 ( 2 2 x x − ； （12） 0 lim x→ 2 1 ) tan ( x x x 。 6、设函数 f 在点 a 的某个邻域具有二阶导数。证明：对充分小的 h，存在 ,0 1， 使得 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 f a h f a h h f a h f a h f a + + − = + + − − 。 7、求下列不定式极限： （1） 2 1 sin ln cos( 1) lim 1 x x x − − → ； （2） x x x lim ( − 2arctan )ln →+ ； （3） x x x sin 0 lim → + ； （4） x x x tan 2 4 lim (tan ) → ； （5） 0 lim x→ − + + x x x x ln(1 ) 1 2 (1 ) ； （6） 0 lim x→ ) 1 (cot x x − ； （7） 0 lim x→ x x e x + − 1 (1 ) ； （8） − →+ x x arctan 2 lim 。 8、设 f（0）=0， f 在原点的某邻域内连续，且 f (0) 0 。证明： lim 1 ( ) 0 = → + f x x x 。 9、证明定理 6、6 中 lim ( ) = 0, lim ( ) = 0 →+ →+ f x g x x x 情形时的洛必达法则。 10、证明： 2 3 ( ) x f x x e − = 为有界函数。 §3 泰勒公式 1、求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式： （1）f（x）= 1+ x 1 ； （2）f（x）= arctanx 到含 5 x 的项；
(3)f(x)=tanx到含x5的项 2、按例4的方法求下列极限: (1)li sin x-x(1+x) (2)lim x-x2In 1+ (3)lim COLX 3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式: (1)f(x)=x3+4x2+5,在x=1处; (2)f(x) ,在ⅹ=0处 1+x 4、估计下列近似公式的绝对误差: (1)sn ,当x≤ (2)√1+x≈1+ x x x∈[0,1] 5、计算:(1)数e准确到10-9; (2)1g1l准确到10-3 §4函数的极值与最大(小)值 1、求下列函数的极值: (1)f(x)=2x2-x+; (2)f(x)= (3)f(x)= )2 (4)f(x)=arctan=In(1+x) 0,x=0 (1)证明:x=0是极小值点 (2)说明f的极小值点ⅹ=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件 3、证明:若函数f在点x0处有∫(x0)<0(>0),厂(x0)>0(<0),则x0为f的极大 (小)值点。 4、求下列函数在给定区间上的最大最小值 (1)y=x-5x+5x2+1,[-1,2];
4 （3）f（x）= tanx 到含 5 x 的项。 2、按例 4 的方法求下列极限： （1） 0 lim x→ 3 sin (1 ) x e x x x x − + ； （2） − + → x x x x 1 lim ln 1 2 ； （3） 0 lim x→ − x x x cot 1 1 。 3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式： （1）f（x）= 4 5 3 2 x + x + ，在 x = 1 处； （2）f（x）= 1+ x 1 ，在 x = 0 处。 4、估计下列近似公式的绝对误差： （1） 6 sin 3 x x x − ，当|x|≤ 2 1 ； （2） , [0,1] 2 8 1 1 2 + + − x x x x 。 5、计算：（1）数 e 准确到 9 10 − ； （2）lg11 准确到 5 10 − 。 §4 函数的极值与最大（小）值 1、求下列函数的极值： （1）f（x）= 3 4 2x − x ； （2）f（x）= 2 1 2 x x + ； （3）f（x）= x x 2 (ln ) ； （4）f（x）= ln(1 ) 2 1 arctan 2 x − + x 。 2、设 f（x）= = 0, 0. , 0, 1 sin 4 2 x x x x （1）证明：x = 0 是极小值点； （2）说明 f 的极小值点 x = 0 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。 3、证明：若函数 f 在点 0 x 处有 ( ) 0( 0), ( ) 0( 0) f + x0 f − x0 ，则 0 x 为 f 的极大 （小）值点。 4、求下列函数在给定区间上的最大最小值： （1）y = 5 5 1,[ 1,2] 5 4 3 x − x + x + − ；
(2)y=2 tanx-tanx, 0, (3)y=√xhx(0.+∞)。 5、设f(x)在区间I上连续,并且在I上仅有唯一的极值点xa。证明:若x0是f的 极大(小)值点,则x。必是f(x)在I上的最大(小)值点 6、把长为1的线段截为两段,问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最 ? 7、有一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V时,要使容器的表面积为最小,问底 的半径与容器高的比例应该怎样? 8、设用某仪器进行测量时,读得n次实验数据为a1,a2…an。问以怎样的数值x表 达所要测量的真值,才能使它与这n个数之差的平方和为最小 9、求一正数a,使它与其倒数之和最小 10、求下列函数的极值 (1)f(x)=|x(x2-1)| (2)f(x)= x(x2+1) x4-x2+1 (3)f(x)=(x-1)(x+1) 11、设f(x)=ahx+bx2+x在x1=L,x2=2处都取得极值,试求a与b;并问这 时f在x,与x,是取得极大值还是极小值? 12、在抛物线y2=2px哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。 13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=akm的B城,轮船运费的单价 是a元km,火车运费的单价是β元/km(B>a),试求运河边上的一点M,修建铁路MB 使总运费最省 §5函数的凸性与拐点 1、确定下列函数的凸性区间与拐点: (1)y=2x3-3x2-36x+25 (2)y=x+ (3)y=x2+ (4)y=lh(x2+1) (5) 、问a和b为何值时,点(1,3)为曲线y=ax+bx2的拐点?
5 （2）y = − 2 2 tan tan , 0, 2 x x ； （3）y = x ln x,(0,+) 。 5、设 f（x）在区间 I 上连续，并且在 I 上仅有唯一的极值点 0 x 。证明：若 0 x 是 f 的 极大（小）值点，则 0 x 必是 f（x）在 I 上的最大（小）值点。 6、把长为 l 的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最 大？ 7、有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为 V 时，要使容器的表面积为最小，问底 的半径与容器高的比例应该怎样？ 8、设用某仪器进行测量时，读得 n 次实验数据为 a a an , , 1 2 。问以怎样的数值 x 表 达所要测量的真值，才能使它与这 n 个数之差的平方和为最小。 9、求一正数 a，使它与其倒数之和最小。 10、求下列函数的极值： （1）f（x）=| ( 1) | 2 x x − ； （2）f（x）= 1 ( 1) 4 2 2 − + + x x x x ； （3）f（x）= 2 3 (x −1) (x +1) 。 11、设 f（x）= a x + bx + x 2 ln 在 x1 =1, x2 = 2 处都取得极值，试求 a 与 b；并问这 时 f 在 1 x 与 2 x 是取得极大值还是极小值？ 12、在抛物线 y 2px 2 = 哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。 13、要把货物从运河边上 A 城运往与运河相距为 BC= a km 的 B 城，轮船运费的单价 是 元/km，火车运费的单价是 元/km（ > ），试求运河边上的一点 M，修建铁路 MB， 使总运费最省。 §5 函数的凸性与拐点 1、确定下列函数的凸性区间与拐点： （1）y = 2 3 36 25 3 2 x − x − x + ； （2）y = x x 1 + ； （3）y = x x 2 1 + ； （4）y = ln( 1) 2 x + ； （5）y = 2 1 1 + x 。 2、问 a 和 b 为何值时，点（1，3）为曲线 y = 3 2 ax + bx 的拐点？